2021年中考第二轮数学专题复习：三角形 综合性专项训练
1、如图，已知两个全等的等腰三角形如图所示放置，其中顶角顶点（点A）重合在一起，连接BD和CE，交于点F． （1）求证：BD＝CE；
（2）当四边形ABFE是平行四边形时，且AB＝2，∠BAC＝30°，求CF的长．
2、如图，在等边△ABC中，BD＝CE，连接AD、BE交于点F． （1）求∠AFE的度数； （2）求证：AC•DF＝BD•BF；
（3）连接FC，若CF⊥AD时，求证：BD＝DC．
3、（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为________，线段AD、BE之间________的关系.
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.①请判断∠AEB的度数，并说明理由；②当CM=5时，AC比BE的长度多6时，求AE的长.
4、如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC． ①判断DF和PF的数量关系，并证明； ②求证：
＝
．
5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是AB边上的中线，点E为线段CD上一点（不与点C、D重合），连接BE，作EF⊥BE与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF． （1）求证：△CFG∽△EBG； （2）求∠EFB的度数； （3）求
的值．
6、在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA（如图1）.
（1）求证：∠BAD=∠EDC；
（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM. ①依题意将图2补全；
②小姚通过观察、实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证明DA=AM，只需证△ADM是等边三角形； 想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可.
请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA=AM（一种方法即可）.
7、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm ， ∠B＝30°，点D在BC边上由C向B匀速运动（D不与B、C重合），匀速运动速度为1cm/s ， 连接AD ， 作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E ．
（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变________（填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA＝75°，则∠BAD＝________．
（2）点D运动3s后到达图2位置，求CD的长 ． 此时△ABD和△DCE是否全等，请说明理由；
（3）在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化，判断当△ADE是等腰三角形时，∠BDA等于多少度（请直接写出结果）
8、△ABC和△DCE都是等边三角形，△DCE绕点C旋转，连接AE，BD． 猜测发现 ：（1）如图1，AE与BD是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．
问题解决 ：（2）若B、C、E三点不在一条直线上，且∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝3，求BD的长．
拓展运用 ：（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及tan∠ADC的值．
9、如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，
DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是 ．
（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的
数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
10、如图，在△ABC中，AB=42，∠B=45°，∠C=60°. （1）求BC边上的高线长.
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到 △PEF.
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数. ②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长.
11、如图1，在等边△ABC中，AB＝2，点D是直线BC上一点，在射线DA上取一点E，使AD＝AE，以AE为边作等边△AEF，连接EC．
(1)若点D是BC的中点，则EA＝__________；EC＝__________；
(2)如图2，连接BF，当点D由BC中点向点C运动时，请判断BF和EC的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点D在BC延长线上，连接BF，BE，当BE∥AC时，求BF的长．
12、在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是BC、AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连按BD、AE． 观察猜想
AE(1)如图①，当∠BAC＝60°时，填空：①BD＝__________； ②直线BD、AE所夹锐角为__________； 类比探究
AE (2)如图②，当∠BAC＝90°时，试判断BD值及直线BD、AE所夹锐角的度数，并
说明理由； 拓展应用
(3)在(2)的条件下，若DE＝2，将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在射战AC上时，请直接写出AE2的值．
13、已知，等边△ABC和等腰△CDE中，CD＝DE，∠CDE＝120°，CB＝CE． （1）如图①，若点B和点E重合，则AB与BD之间的数量关系是 ；位置关系是 ；
（2）若将如图①的△CDE绕C旋转至图②位置，连BE，G为BE中点，连AG，
DG，试探究AG与DG之间的关系，并证明．
（3）如图③，AB＝3，连接BE，AD；G、H分别为BE、AD中点，在△CDE绕C旋转过程中，请直接GH取值范围．
14、在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．
特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明． 猜想论证：
（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 联系拓展：
（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）
