河南省安阳市2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A0,2,4,6，BnN|2n3，则集合AB的子集个数为（ ） A．8

2.设i为虚数单位，复数A．1

B．7

C．6

D．4

a2i为纯虚数，则实数a的值为（ ） 1iB．1

C．2

D．2

3.已知数列an的前n项和Sn2n1，则数列log2an的前10项和等于（ ） A．1023

B．55

C．45

D．35

4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股(股勾)24朱实黄实弦实，化简，得勾2股2弦2．设勾股形中勾

股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）

A．866

22B．500 C．300 D．134

x2y235.已知圆(x1)y的一条切线ykx与双曲线C：221(a0，b0)有

ab4两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A．(1,3)

B．(1,2)

C．(3,)

D．(2,)

2xy40,6.已知点M的坐标(x,y)满足不等式组xy20,N为直线y2x2上任一点，

y30,则|MN|的最小值是（ ）

A．5 5B．25 5C．1 D．17 27.已知a0且a1，如图所示的程序框图的输出值y[4,)，则实数a的取值范围为（ ）

A．(1,2]

B．(,1]

12C．(1,2) D．[2,)

cos8.函数f(x)2的图象大致是（ ） 1xxx

9.如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积为6，C1BC的正切值为

1，当3ABADAA1的值最小时，长方体ABCDA1B1C1D1外接球的表面积为（ ）

A．10

B．12

C．14

D．16

10.已知函数f(x)Asin(2x)且关于直线x1（A0，0）得图象在y轴上的截距为1，2212对称，若对于任意的x0,2，都有m3mf(x)，则实数m的取2值范围为（ ） A．1,

23B．1,2

C．,2

23D．313313, 2211.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）

A．8

B．10

C．12

D．14

12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(4x)f(x)，且x(2,2]时，

111(|x||x),0x2,则函数g(x)f(x)|log4|x||的零点个数是f(x)2xx(x22x),2x0,（ ） A．4

B．7

C．8

D．9

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知平面向量a(1,2)，b(2,m)，且|ab||ab|，则|a2b| ．

14.已知n30(2x1)dx，则(33nx)的展开式中x2的系数为 ． xy2x215.已知抛物线C1：yax（a0）的焦点F也是椭圆C2：1（b0）的一

4b22个焦点，点M，P(,1)分别为曲线C1，C2上的点，则|MP||MF|的最小值为 ．

16.已知数列bn是首项为34，公差为1的等差数列，数列an满足an1an2n（nN*），且a1b37，则数列32bn的最大值为 ． an三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 如图，在圆内接四边形ABCD中，AB2，AD1，

3BC3BDcosCDsin．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求四边形ABCD周长的取值范围．

18. 如图，已知四边形ABCD和ABEG均为平行四边形，点E在平面ABCD内的射影恰好为点A，以BD为直径的圆经过点A，C，AG的中点为F，CD的中点为P，且

ADABAE．

（Ⅰ）求证：平面EFP平面BCE； （Ⅱ）求二面角PEBB的余弦值．

19. 2016年时红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神．首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动．

公园 获得签名人数 然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品． （Ⅰ）求此活动中各公园幸运之星的人数；

（Ⅱ）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为纪念品的概率；

（Ⅲ）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．

甲 45 乙 60 丙 30 丁 15 2，求恰好2位幸运之星获得2y2x220. 已知椭圆C：221(ab0)的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴

ab垂直的直线交椭圆C于M、N两点，MNF2的面积为3，椭圆C的离心力为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：ykxm与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两

3． 2个不同的点，若存在实数，使得OAOB4OP，求m的取值范围．

21. 已知函数f(x)xalnx与g(x)3b的图象在点(1,1)处有相同的切线． x（Ⅰ）若函数y2(xn)与yf(x)的图象有两个交点，求实数n的取值范围； （Ⅱ）设函数H(x)f(x)ln(e1)，x(0,m)，求证：H(x)xm． 2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为xy2x2y0，直线l的参数方程为

22x1t,3OM（为参数），射线的极坐标方程为． tyt4（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；

（Ⅱ）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． 23.选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)|x3||x2|．

（Ⅰ）若xR，f(x)6aa恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数yf(x)的图象与直线y9围成的封闭图形的面积．

2

2017届高三毕业班第一次模拟考试数学（理科）答案

一、选择题

1-5:ACCDD 6-10:BACCB 11、12：DD

二、填空题

13.5 14.1 15.2 16.

1 362三、解答题

17.解：（Ⅰ）∵3BC3BDcosCDsin， ∴3sinBDC3sincossinsin， ∴3sin()3sincossinsin，

∴3(sincossincos)3sincossinsin， ∴3sincossinsin，∴tan3，又(0,)，∴（Ⅱ）根据题意，BAD3．

2，由余弦定理， 327， 3BD2AB2AD22ABADcosBAD41221cos2222又BDCBCD2CBCDcos(CBCD)3CBCD

3(CBCD)2(CBCD)2(CBCD)，

442∴CBCD27， 又CBCD7，

∴四边形ABCD的周长ABBCCDDA的取值范围为(37,327]．

18.解:（Ⅰ）∵点E在平面ABCD内的射影恰好为点A，∴AE平面ABCD， 又AE平面ABEG，∴平面ABCD平面ABEG．

又以BD为直径的圆经过点A，C，ADAB，∴ABCD为正方形． 又平面ABCD平面ABEGAB，∴BC平面ABEG． ∵EF平面ABEG，EFBC， 又ABAEGE，∴ABEAEB又AG的中点为F，∴AEF∵AEFAEB4，

4，

2，∴EFBE，

又BE平面BCE，BC平面BCE，BCBEB，∴EF平面BCE． 又EF平面EFP，∴平面EFP平面BCE．

x（Ⅱ）如图，建立以A为原点，AD的方向为轴的正方向，AB的方向为y轴的正方向，AE的方向为z轴的正方向的空间直角坐标系，

设AB2，则A(0,0,0)，E(0,0,2)，P(2,1,0)，G(0,2,2)． ∵AG的中点为F，∴F(0,1,1)，

故PE(2,1,2)，PF(2,2,1)，

nPE0,2xy2z0,设平面EFP的法向量为n(x,y,z)，则∴ nPF0,2x2yz0,令x3，则n(3,2,2)．

易知平面ABEG的一个法向量为m(1,0,0)，

设二面角PEFB为，

mn3317∴cos， 17|m||n|17容易看出二面角PEFB为锐角，故二面角PEFB的余弦值为317． 17

19.解：（Ⅰ）甲、乙、丙、丁四个公园中幸运之星的人数为：

4560301510=3，10=4，102，101． 1501501501504（Ⅱ）根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为C4(241)， 2427． 1282所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为C4()2()21434（Ⅲ）由题意，X取值为2，3，4，服从超几何分布，

210

C82C2C83C2C84C2812，，． P(X3)P(X4)P(X2)444

C10C1015C10315所以X的分布列为：

X P 2 3 4 28 151528116所以E(X)234．

1515351 32b220.解：（Ⅰ）根据已知椭圆C的焦距为2c，当yc时，|MN||x1x2|，

a12b2c由题意MNF2的面积为|F1F2||MN|c|MN|3，

2a由已知得

c3，∴b21，∴a24， a22y21． ∴椭圆C的标准方程为x4（Ⅱ）若m0，则P(0,0)，由椭圆的对称性得APPB，即OAOB0， ∴m0能使OAOB4OP成立．

1若m0，由OAOB4OP，得OPOAOB，

44因为A，B，P共线，所以14，解得3．

ykxm,设A(x1,kx1m)，B(x2,kx2m)，由2得24xy40,(k24)x22mkxm240，

由已知得4mk4(k4)(m4)0，即k2m240，

2222m242km且x1x22，x1x22，

k4k4由AP3PB，得x13x2，即x13x2，∴3(x1x2)24x1x20， 12k2m24(m24)22220∴2，即mkmk40． 22(k4)k44m2当m1时，mkmk40不成立，∴k2，

m12222224m2(4m2)m22∵km40，∴2m40，即0，

m1m2122∴1m24，解得2m1或1m2．

综上所述，m的取值范围为m|2m1或m0或1m2． 21.解：（Ⅰ）因为f'(x)1所以f(x)xlnx．

设T(x)f(x)2x2nlnxx2n，则T'(x)1ab,a1,ab，y'2，根据题意，得解得 xx13b,b2,11， x当x(0,1)时，T'(x)0，当x(1,)时，T'(x)0， 所以T(x)maxT(1)12n，

又因为x→0时，T(x)→；当x→时，T(x)→， 故欲使两图象有两个交点，只需12n0，n1， 2所以实数n的取值范围为(,).

121exexx1（Ⅱ）由H(x)xlnxln(e1)，x(0,m)，得H'(x)1x． xxe1x(e1)x设h(x)ex1，则h'(x)e1，当x(0,)时，h'(x)0，h(x)单调递增， 所以h(x)h(0)0，所以H'(x)0，所以H(x)H(m)． 要证H(x)xxmmm，只需证H(m)，即mlnmln(em1)， 222mmem1mem1m变形得ln，等价于e2，等价于e2e2m，

m2m令tmtt(t0)，则只需证etet2t，设g(t)ee2t(t0)，则2g'(t)etet20，

所以g(t)g(0)0，

所以etet2t对t0恒成立，即H(x)222m． 222.解：（Ⅰ）∵xy，xcos，ysin， 圆C的普通方程为xy2x2y0， ∴2cos2sin0， ∴圆C的极坐标方程22sin(2224)．

x1t,（t为参数）消去t后得yx1， yt,∴直线l的极坐标方程为sincos1．

（Ⅱ）当333时，|OP|22sin()22，∴点P的极坐标为(22,)， 4444|OQ|1222222332，∴点Q的极坐标为(． ,)，故线段PQ的长为242223.解：（Ⅰ）∵f(x)|x3||x2||x3x2|5，

∴56aa2，解得a(,1][5,)．

2x1,x2,（Ⅱ）f(x)|x3||x2|5,3x2,当f(x)9时，x5或x4．

12x,x3,画出图象可得，围成的封闭图形为等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，所以面积为S1(95)428． 2