数学初中九年级上册《反比例函数的图象与性质》教案

课 题 5.2 反比例函数的图象与性质（一） 课型 新授课 教学目标 1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。 2．体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。 3．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。 掌握反比例函数的作图。 反比例函数的三种表示方法的相互转换。 自主探究法 教 学 内 容 及 过 程 教具 三角尺 教学重点 教学难点 教学方法 一、回顾交流、问题牵引 回顾：1.一次函数的图象是怎样的呢？你能画出y＝－2x-1的图象吗？ 2.什么叫做反比例函数： 3.你能提供一个生活情境来表现反比例函数中两个变量之间的相依关系吗？与同伴交流。 学生思考、交流、回答。 迁移：同学们，请你们猜一猜，反比例函数的图象是什么样的呢？你能画出y的图象吗？ 学生动手画图，相互观摩。 议一议 （1）你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？与同伴进行交流。 （2）如果在列表时所选取的数值不同，那么图象的形状是否相同？ （3）连接时能否连成折线？为什么必须用光滑的曲线连接各点？ （4）曲线的发展趋势如何？ 学生先分四人小组进行讨论，而后小组汇报 做一做 作反比例函数y4x4的图象。 x学生动手画图，相互观摩。 想一想 观察y44和y的图象，它们有什么相同点和不同点？ xx学生小组讨论，弄清上述两个图象的异同点。 二、随堂练习 课本随堂练习 1 [探索与交流] 对于函数y3来说，当x<0时，x的值逐渐减小，y的值将怎样变化？对于函数xy7，当x>0时，x的值逐渐增大，y的值将怎样变化？ 2x学生分四人小组全班探索。 三、课堂总结 在进行函数的列表，描点作图的活动中，就已经渗透了反比例函数的性质，因此在作图象的过程中，大家要进行积极的探索。另外，反比例函数的图象是非线性的，它的图象是双曲线。 四、布置作业 课本习题5.2 1 板书设计： 课后反思：

第六章 反比例函数

2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象

素材一 新课导入设计 情景导入

趣

归纳导入 教师幻灯片展示下列问题：

(1)练习：

①任意写一个在第二象限的点的坐标：__答案不唯一，如(－2，2)__； ②直线y＝－x＋3经过第__一、二、四__象限；

6

③已知矩形的面积为6，则它的长y与宽x之间的函数关系式为__y＝__，y是x的__

x反比例__函数；

m＋1

④若函数y＝2x是反比例函数，则m＝__－2__；

6

⑤反比例函数y＝的图象经过点(1，__6__)．

x

(2)什么是反比例函数？

(3)反比例函数的定义中需要注意什么？ (4)当初我们从哪些方面研究了一次函数？ (5)画一次函数图象的步骤是什么？

(6)借助图象我们研究了一次函数的哪些性质？

[说明与建议] 说明：通过对问题的回答，激起学生对函数研究的兴趣．建议：通过对上面问题的回答，使学生回顾研究一次函数的过程，类比研究一次函数的思路，来研究反比例函数．

复习导入 问题：

(1)什么叫做反比例函数？

(2)反比例函数的定义中需要注意什么？(此时老师板书反比例函数的表达式) (3)函数有几种表达形式？

(4)大家还记得一次函数的图象是什么吗？那么反比例函数的图象又会是怎样的？ [说明与建议] 说明：通过问题串引导学生回顾反比例函数的定义，通过追问让学生回忆根据关系式可以列表格，根据表格描点可以得到反比例函数的图象，既复习了函数图象的定义，又让学生体会三种表示方法可以相互转化．建议：问题(1)(2)由学生口答完成后，教师板书反比例函数的表达式．学生口答完函数的表达形式有列表法、图象法、关系式法之后，教师追问：如何用表格法和图象法表示反比例函数？接着教师引导学生根据反比例函数关系式可以列表格，再根据表格描点可以得到反比例函数的图象，体会函数三种表示方法可以相互转化．最后老师追问：一次函数的图象是什么？那么反比例函数的图象又会是怎样的？从而引出本节课课题，导入新课．

置疑导入

归纳导入

复习导入

类比导入

悬念激

素材二 教材母题挖掘

教材母题——第154页习题6.2第3题

2

在同一平面直角坐标系内，画出函数y＝与函数y＝x－1的图象，并利用图象求它们

x的交点坐标．

【模型建立】

反比例函数和一次函数的综合题常涉及图象交点、特殊线段、三角形面积等，这些几何图形的边长常常与某些点的坐标相关．这类题体现了在知识交汇处命题的特色．

【变式变形】

k

1．已知反比例函数y＝和一次函数y＝mx＋n的图象的一个交点是A(－3，4)，且一次

x函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式．

1215

[答案：反比例函数的表达式为y＝－ 一次函数的表达式为y＝－x＋或y＝2x＋

x2210]

图6－2－1

k

2．如图6－2－1，Rt△ABO的顶点A是双曲线y＝与直线y＝－x－(k＋1)在第二象限

x3

的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO＝. 2

(1)求这两个函数的表达式；

(2)求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．

3

[答案：(1)反比例函数的表达式为y＝－ 一次函数的表达式为y＝－x＋2 (2)A(－

x1，3)，C(3，－1) S△AOC＝4]

素材三 考情考向分析

[命题角度1] 考查反比例函数的图象

k

反比例函数y＝(k≠0)的图象是由两支曲线组成的，叫做双曲线．当k>0时，两支曲

x线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内．由于反比例函

k

数y＝(k≠0)的自变量x的取值范围是x≠0，所以画反比例函数图象时，应注意所画的曲

x线不能与x轴相交，也不能与y轴相交．

2

例 [甘孜州中考] 在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象的两支分别在(A)

x

A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限

[命题角度2] 考查一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的位置 反比例函数图象与一次函数图象的位置均由k决定．解决同一坐标系中两种函数共存问题，首先明确同一字母系数在不同函数表达式中的含义．

k

例 [自贡中考] 关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝(k≠0)在同一坐标系中的图象大致是

x(D)

图6－2－2

[命题角度3] 考查一次函数与反比例函数的图象的综合应用 一次函数与反比例函数的综合运用是初中数学知识中最基础、最核心的内容，是考查学生数学思想方法、基础知识和常用技能以及数学学习过程的重要知识点，其中一次函数与反比例函数的图象的交点问题是考查的重点问题之一，反比例函数与一次函数两个图象的交点坐标一定适合两个函数的表达式，两个函数的表达式所组成的方程组的解即是图象的交点坐标．

2k

例 [广州中考] 已知一次函数y＝kx－6的图象与反比例函数y＝－的图象交于A，B

x两点，点A的横坐标为2.

(1)求k的值和点A的坐标；

(2)判断点B所在的象限，并说明理由．

[答案：(1)k＝2 A(2，－2) (2)点B在第四象限 理由略]

素材四 教材习题答案 2－2－2

下图给出了反比例函数y＝和y＝的图像，你知道哪一个是y＝的图像吗？为什xxx么？

－2

解：k＝－2<0，反比例函数的图像在第二、四象限内，故图(1)是y＝的图像．

x

P154习题6.2

6－6

1．分别画出函数y＝和y＝的图像．

xx解：(1)列表：

x 6y＝ x－12 1－ 2－6 －1 －3 －2 －2 －3 －1 －6 1－ 2－12 1 212 1 6 2 3 3 2 6 1 12 1 2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点． 6

连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y＝的图像(如下图)．

x

(2)列表： x y＝－6 x－12 －6 1 2－3 －2 －1 1－ 212 1 21 2 3 6 12 1－ 21 2 3 6 －12 －6 －3 －2 －1 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点． －6

连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y＝的图像，如下图．

x

6

2．小华画的反比例函数y＝的图像如图所示，你认为他画得对吗？反比例函数的图像

x可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？

6

解：不对，反比例函数的图像不能与x轴相反，也不能与y轴相交．因为y＝中x≠0，

x所以y≠0.

2

3．在同一平面直角坐标系内，画出函数y＝与函数y＝x－1的图像，并利用图像求它

x们的交点坐标．

解：(1)列表：

x 2y＝ xy＝x－1 … … … －3 2－ 3－4 －2 －1 －3 －1 －2 －2 1 2 0 2 1 1 3 2 32 (2)描点．

(3)连线，如图．

2

由图像知，y＝的图像交y＝x－1的图像于点(－1，－2)和(2，1)．

x

素材五 图书增值练习

．

素材六 数学素养提升 喝酒也要用数学

同学们，你们可能听说过龟兔赛跑的故事，但你们听说过龟兔喝酒的轶事吗？

在兔子和乌龟的赛跑中，乌龟获胜．但兔子很不服气，总想想个办法报复他一下．好好出出心中这口恶气． 想来想去，兔子终于想出了一个自以为是的妙法：决定约乌龟喝酒，灌他个酩酊大醉．这样，就可在大庭广众之下，痛痛快快羞辱他一番，让乌龟滚回自己的鳖窝，以解自己心中多年的闷气．

某一天的中午，乌龟应约来到了一家快餐部．兔子很热情的点了菜、要了酒，与乌龟对饮起来．

不多会儿，他们都有了醉意，谁也不愿再喝．可兔子见自己的目的没有达到，哪肯善罢甘休？便加大了劝酒的力度．

就在这僵局上，乌龟灵机一动，说：“兔大哥，我们都已喝醉，谁也不能再喝了．要喝，咱俩数喝酒好不好？”

“怎么数？”兔子问． “我们从一开始数，每次至少数一个数，最多连续数两个数，谁数到21谁喝一杯酒．”乌龟道．]

兔子听后脑瓜一转：一次可以数一个数，也可以连续数两个数，双方都有主动权，这个办法很公道．于是眼珠一转说：“好！我们就来数数喝酒．”

经过一番推让，还是兔子先数：“1、2”，“3、4” 乌龟跟上数，“5、6”兔子又数，“7、8”乌龟接上，“9、10”，“11”，“12、13”，“14”，“15、16”，……一轮结束，兔子数到了21．不用多说，兔子端起酒杯一饮而尽．

接着第二轮：兔子又数：“1”，“2”乌龟跟上，“3、4”兔子又数，“5、6”乌龟再接上．“7、8”，“9、10”，“11、12”，“13、14”……结果兔子又数到了21，于是又一饮而尽．六轮下来，兔子连续六次数到了21．无奈，兔子连喝了六大杯．

兔子慢慢静下来，脑瓜又一转：“不行，这次我让乌龟先数．”想到此，立刻又展开了“新的喝酒大战”．

说也奇怪，21这个可怕的数字仍是兔子数到，最后兔子喝成了烂泥一滩． 同学们，你们能揭开乌龟再次获胜的奥秘吗？

第2课时.反比例函数的性质

目标：

1能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质． 2 提高学生观察、分析能力和对图象的感知水平，领会研究函数的一般要求． 重点：探索反比例函数的主要性质.

难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题． 三、教学过程分析

第一环节：要点回顾 铺平道路 内容：

1. 下列函数中，哪些是反比例函数？

13121 （2）y （3）y2 （4）y （5）y

xxx3xx1232. 你能想到y的图象吗？它是什么形状？有什么特点？y呢？

xx（1）y教学策略：

让学生找出题目中的反比例函数，运用空间想象能力，勾勒出反比例函数y2，xy3的图象，并回顾每个函数的图象特点，在具体问题中加深对反比例函数定义以及图x象的再认知． 设计意图：

反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力． 第二环节：设问质疑 探究尝试 内容1：试一试 观察反比例函数y246，y，y的图象，你能发现它们的共同特征吗? xxx

(1)函数图象分别位于哪几个象限内？

(2)在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？ (3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？ 教学策略：

1．本环节的问题串，能有效的激发学生的思考热情，教师要善于运用启发性的语言，调动起学生思维的“小宇宙”．

2．对于问题（2）、（3），教师要给学生留有充分的讨论、交流的时间和空间，让学生对图象进行细致的观察、类比、分析、交流，鼓励学生尽可能多的从图象中获取信息，并对信息进行分析、综合、概括、归纳，形成知识系统．

3．在讨论、交流过程中，教师要指导学生勇于表达自己的想法，善于倾听他人的见解，让讨论在质疑、追问中进行． 设计意图：

本环节意在通过观察三个反比例函数的图象，分析、归纳、概括出反比例函数的主要性质．在问题的设置上，引导学生从对图象的直观观察开始，逐步上升到理性的分析，顺应学生思维的发展，在有效的问题引领下，培养学生的逻辑思维能力和数形结合能力． 内容2：议一议

考察当k=-2，-4，-6时，反比例函数yk的图象，它们有哪些共同特征？ x

教学策略：

前面已经对k0时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全放手给学生，让学生通过类比，分析、归纳、概括出k0时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨． 设计意图：

通过对k0时反比例函数图像特征的探究，培养学生利用数形结合探究问题的意识，发展学生类比分析问题的能力，使学生在知识上更加完善，在能力上逐步提高． 内容3：说一说

你能尝试着说说反比例函数y教学策略：

k

的图象有哪些共同特征吗？ x

k的图象性质，从具x 1．在具体问题探究的基础上，让学生尝试着总结反比例函数y体问题的分析进一步上升到理性的概括、归纳．

2．鼓励学生大胆表述自己的想法，语言即使不规范、不完整，教师也要给以充分的肯定、表扬，在讨论、交流的基础上使语言更加完善． 设计意图：

“试一试”、“议一议”已经对反比例函数的图象特征进行了细致的分析，内容3主要是将知识进行了系统的归纳、概括，通过讨论、交流，形成完整、规范的结论，培养了学生的语言表达能力和对知识的归纳、概括能力． 第三环节：实际运用 巩固新知 内容：练一练

1.下列函数：①y1317；②y；③y；④y中 xx2xx （1）图象位于二、四象限的有 ；

（2）在每一象限内，y随x的增大而增大的有 ； （3）在每一象限内，y随x的增大而减小的有 ． 2. 若函数y是 ．

3.点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在反比例函数y大小关系是 ． 变式：

点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在反比例函数y关系是 ． 教学策略：

1．留有充分的时间，让学生完成。在此基础上，小组交流，每名成员完成一个题目的讲解，力争让所有学生都积极地投入到知识的学习中．

2．问题3的变式中蕴含分类讨论思想，教学中让学生思考，然后交流各自的想法，关注学生思维的广度和深度．

m2的图象在其象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围x3的图象上，若x1x20，则y1,y2的x3的图象上，若x1x2，则y1,y2的大小x设计意图：

1.通过几个小题目的练习，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对反比例函数性质的理解．

2.运用变式训练，拓展学生思维的广度，渗透分类讨论的数学思想．

3.课堂上以小组合作讲解的形式，让每个学生都融入到表达与倾听中，调动每个学生的主观能动性，夯实基础． 第四环节：激趣质疑 再探新知 内容1：想一想

在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？

（1）让我们从具体的反比例函数y

此时，S1与S2有什么关系？为什么？ （2）对于一般的反比例函数y

教学策略：

1. 给出具体的反比例函数y2开始考虑： xk呢？ x2，让学生按题目要x求，取点、构造矩形S1、S2，自主探究S1与S2之间的关系，然后由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨．

2．在前面探究的基础上，对于一般的反比例函数yk，可以完全放手给学生，充分x利用小组成员间的合作，探究、归纳、概括出一般性的结论——矩形面积总等于k，教师在整个过程中要给以适时的点拨和及时的总结． 设计意图：

如果直接探究函数y出简单的反比例函数yk，对于有些学生来说有一定的困难．为了突破这一难点，先给x2，在探究了具体函数的基础上，再由特殊到一般，进一步探究xyk，符合学生的认知规律． x 在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点P作x轴的垂线，连接PO（O为原点），

内容2：变一变

与坐标轴围成的三角形面积为S1；过点Q作x轴的垂线，连接QO，与坐标轴围成的三角形面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？ 教学策略：

将问题直接抛给学生，类比前面探究问题的方法，让学生来寻求解决问题的策略． 设计意图：

通过变式探究，开阔学生的思路，促进学生思维的发展，形成有效的知识建构． 第五环节：活学活用 巩固提高

1．如图，P(x,y)是反比例函数y3的图象在第一象限分支上的一个动点，xPAx轴于点A， PBy轴于点B， 随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（ ）

A．不变 B.增大 C.减小 D.无法确定

2．如图，P(x,y)是反比例函数y3的图象在第一象限分支上的一个动点，过点Px作PAx轴于点A，连接PO，则△PAO的面积为 ．

3．已知点P(3,2)、点Q(2,a)都在反比例函数yk的图象上.过点P分别作两坐标x轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是S1；过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是S2.求a、S1、S2的值 教学策略：

3个题目都比较基础，教师可以让学生完成，然后共同交流，总结知识，提炼方法． 设计意图：

巩固所学知识，加深对反比例函数性质的理解． 第六环节：归纳总结 纳入系统 内容：

本节课你学到了反比例函数的哪些新知识? 你有哪些感悟和收获？ 你还有想继续探究的问题吗？ 你对小组成员有什么评价和建议呢？ 教学策略：

引导学生对自己的学习过程进行提炼、反思，从知识上和方法上进行总结． 设计意图：

引导学生关注数学的学习过程，及时总结、反思、交流，同时重视小组内的合作和交流，倾听小组成员的评价、建议，取长补短，共同提高． 第七环节：分层达标 课后延伸 A层：

1.下列函数中，图象位于第一、三象限的有 ；在图象所在象限内，y的值随x的增大而增大的有 ．

20.152；（2）y；（3）y；（4）y 3xxx75x12.已知点A（-1，y1）、B（-2，y2）在双曲线y上，则y1 y2(填“>、<或=”）．

x(1) yB层：

已知点(2,y1)，(1,y2)，(1,y3)，(2,y4)都在反比例函数y1的图象上，比较y1、y2、xy3与y4的大小．

C层：

已知点(2,y1)，(1,y2)，(3,y3)都在反比例函数y大小．

教学策略：让学生根据自身的学习情况，自主选择适合的题目。尽可能当堂反馈检测结果，如果时间不允许，可以课后反馈，但一定要及时．

设计意图：设置不同层次、具有选择性的题目，供不同的学生选择，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”． 四、教学设计反思

1．学生在学习本节课前经历过一次函数图象和性质的探索过程，对函数图象和性质的探究方法有了初步的认识，这些对本节课知识的学习起到了很好的铺垫作用．本节课又不同于研究一次函数，由于反比例函数的图象相对于一次函数图象的特殊性，使得对反比例函数图象和性质的探索过程更加细致、全面．教学设计中，特别注重了比例函数性质的探索过程，通过问题的引领让生更全面的对函数进行观察和比较，给学生创设了充足的讨论时间和空间，鼓励学生用自己的语言对观察和概括的结论进行充分的表达和描述． 2．学生能做的让学生做，学生能说的让学生来说，教学设计中关注了学生主体作用的发挥，教师进行适时的引领和点拨，教学中教师要用鼓动性的语言，激发学生探究的热情，点燃学生学习的激情．

3．本节课学生的参与度较高，教师要了解学生参与活动中情感与智力的参与程度，及时进行多角度的积极评价，帮助学生建立自信，发挥评价的教育功能．

k的图象上，比较y1、y2、y3的x