必修1_第三章_函数的应用教案(导学案

审题人：李书波

学习目标 1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2. 掌握零点存在的判定定理.

学习过程 一、课前准备

（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）

复习1：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的解法. 判别式= . 当 0，方程有两根，为x1,2 ；当 0，方程有一根，为x0 ； 当 0，方程无实根.

复习2：方程ax2+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象之间有什么关系？ 判别式 一元二次方程 二次函数图象 0 0 0 二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：函数零点与方程的根的关系 问题：

① 方程x22x30的解为 ，函数yx22x3的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

② 方程x22x10的解为 ，函数yx22x1的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

③ 方程x22x30的解为 ，函数yx22x3的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是相应二次函数yax2bxc0(a0)的图象与x轴交点的 .

你能将结论进一步推广到yf(x)吗？

新知：对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点（zero point）.

反思：

函数yf(x)的零点、方程f(x)0的实数根、函数yf(x) 的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？

试试：

（1）函数yx24x4的零点为 ； （2）函数yx24x3的零点为 .

小结：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点. 探究任务二：零点存在性定理

问题：① 作出yx24x3的图象，求f(2),f(1),f(0)的值，观察f(2)和f(0)的符号

② 观察下面函数yf(x)的图象，

在区间[a,b]上 零点；f(a)f(b) 0； 在区间[b,c]上 零点；f(b)f(c) 0； 在区间[c,d]上 零点；f(c)f(d) 0. 新知：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根. 讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.

※ 典型例题

例1求函数f(x)lnx2x6的零点的个数.

小结：函数零点的求法.

① 代数法：求方程f(x)0的实数根；

② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

※ 动手试试

练1. 求下列函数的零点： （1）yx25x4；

练2. 求函数y2x3的零点所在的大致区间.

三、总结提升

（2）y(x1)(x23x1).

※ 学习小结

①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 函数f(x)(x22)(x23x2)的零点个数为（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.若函数f(x)在a,b上连续，且有f(a)f(b)0．则函数f(x)在a,b上（ ）. A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点 C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定

3. 函数f(x)ex14x4的零点所在区间为（ ）. A. (1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)

4. 函数yx2x20的零点为 .

5. 若函数f(x)为定义域是R的奇函数，且f(x)在(0,)上有一个零点．则f(x)的零点个数为 .

§3.1.2 用二分法求方程的近似解

审题人：李书波

学习目标 1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；

2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P~ P91，找出疑惑之处）

复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？

对于函数yf(x)，我们把使 的实数x叫做函数yf(x)的零点.

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴 函数yf(x) .

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点.

复习2：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：二分法的思想及步骤

问题：在一个风雨交加的夜里，从邢台到南和防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条20km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子．20km长，大约有400多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？经过几次排查可以将故障缩短在两个电线杆之间（50m）？

思考：假设电话线故障点大概在函数的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？

新知：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数yf(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection). 反思：

给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如何呢？ ①确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0，给定精度ε； ②求区间(a,b)的中点x1；

③计算f(x1)： 若f(x1)0，则x1就是函数的零点； 若f(a)f(x1)0，则令bx1（此时零点x0(a,x1)）； 若； f(x1)f(b)0，则令ax1（此时零点x0(x1,b)）

④判断是否达到精度ε；即若|ab|，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．

※ 典型例题

例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程2x3x7的近似解.

※ 动手试试

练1. 求方程log3xx3的解的个数及其大致所在区间.

练2. 下列函数中能用二分法求零点的是（ ）.

三、总结提升

※ 学习小结

① 二分法的概念； ②二分法步骤； ③二分法思想. 学习评价

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 若函数f(x)在区间a,b上为减函数，则f(x)在a,b上（ ）.

A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点 C. 没有零点 D. 至多有一个零点

2. 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.

3. 函数f(x)2xln(x2)3的零点所在区间为（ ）. A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6)

4. 用二分法求方程x32x50在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得f(2)1，f(3)16，f(2.5)5.625，那么下一个有根区间为 .

5. 函数f(x)lgx2x7的零点个数为 ，大致所在区间为 .

§3.1 函数与方程（练习）

审题人：李书波

学习目标 1. 体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件；

2. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解； 3. 初步形成用图象处理函数问题的意识.

学习过程 一、课前准备

（预习教材P86~ P94，找出疑惑之处）

复习1：函数零点存在性定理.

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点.

复习2：二分法基本步骤.

①确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0，给定精度ε； ②求区间(a,b)的中点x1；

③计算f(x1)： 若f(x1)0，则x1就是函数的零点； 若f(a)f(x1)0，则令bx1（此时零点x0(a,x1)）； 若； f(x1)f(b)0，则令ax1（此时零点x0(x1,b)）

④判断是否达到精度ε；即若|ab|，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．

二、新课导学

※ 典型例题

例1若函数f(x)xaxb的两个零点是2和3，求函数g(x)bxax1的零点．

例2若关于x的方程x26x8a恰有两个不等实根，求实数a的取值范围.

小结：利用函数图象解决问题，注意|f(x)|的图象.

22※ 动手试试

练1. 若函数f(x)唯一的零点在区间1,3,1,4,1,5内，那么下列命题中错误的是（ ）

A.函数f(x)在1,2或2,3内有零点 B.函数f(x)在3,5内无零点 C.函数f(x)在2,5内有零点 D.函数f(x)在2,4内不一定有零点

练2. 选择正确的答案.

（1）若函数f(x)xx2x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:

32f(1)2,f(1.5)0.625,f(1.25)0.984,f(1.375)0.260,f(1.4375)0.162,f(1.40625)0.05432

那么方程xx2x20的一个近似根(精确度0.1)为( ) A 1.2 B 1.3 C 1.4 D 1.5

（2函数f(x) =log2x+2x-1的零点必落在区间

11A., 8411B. , 42 （ ）

C.,1

12D.(1,2)

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 零点存在性定理； 2. 二分法思想及步骤； 学习评价 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 若yf(x)的最小值为2，则yf(x)1的零点个数为（ ）. A. 0

B. 1 C. 0或l D. 不确定

ab)0．则（ ）. 22. 若函数f(x)在a,b上连续，且同时满足f(a)f(b)0，f(a)f(ab]上有零点 2abB. f(x)在[,b]上有零点

2abC. f(x)在[a,]上无零点

2abD. f(x)在[,b]上无零点

2A. f(x)在[a,3. 方程|x22|lgx的实数根的个数是（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D.无数个

4. 方程2xx4的一个近似解大致所在区间为 .

5. 下列函数：① y=lgx； ② y2x； ③ y= x2；④ y= |x| －1. 其中有2个零点的函数的序号是 .

§3.2函数模型及其应用

审题人：李书波

学习目标 1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；

2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异； 3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.

学习过程 一、课前准备

（预习教材P95~ P98，找出疑惑之处） 阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”

有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．

二、新课导学

※ 典型例题

例1（教材P95）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？

反思：根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.

探究任务：幂、指、对函数的增长差异（教材P98）

问题：幂函数yxn(n0)、指数函数yax(a1)、对数函数ylogax(a1)在区间(0,)上的单调性如何？增长有差异吗？

思考：log2x,2x,x2大小关系是如何的？增长差异？

结论：在区间(0,)上，尽管yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度．而ylogax(a1)的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax．

※ 动手试试 练1. 如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：yat(t≥0，a>0且a≠1)．有以下叙述

y 1① 第4个月时，剩留量就会低于； 1 54 (2,)② 每月减少的有害物质量都相等； 9

O

1 2 3 t(月)

111③ 若剩留量为,,所经过的时间分别是t1,t2,t3，则t1t2t3.

248 其中所有正确的叙述是 .

练2. 经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n个月，对某种商品需求总量fn (万件)近似地满足关系 1nn1352nn1,2,3,,12． 150写出明年第n个月这种商品需求量gn (万件)与月份n的函数关系式.

三、总结提升 fn※ 学习小结

1. 几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数； 2. 应用建模（函数模型）；

※ 知识拓展

解决应用题的一般程序：

① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；

④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义． 学习评价 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y与时间x的函数图象大致是（ ）.

2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（ ）. A. 一次函数 B. 二次函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数

3. 一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为（ ）.

A. y=20-2x （x≤10） B. y=20-2x （x<10） C. y=20-2x （5≤x≤10） D. y=20-2x（5log2x,2x,x2的大小关系是 . 4. 当2x4时，

5. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有 台计算机被感染. （用式子表示）