12．3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )
A．SSS C．AAS
B．ASA
D．角的平分线上的点到角两边的距离相等
2．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的平分线(保留作图痕迹，但不写作法)．
3．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
第3题图
第4题图
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC＝10 cm，CD＝6 cm，则DE的长为( )
A．10 cm
B．6 cm
C．4 cm
D．2 cm
5．如图，已知点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，垂足分别为D，E，求证：OB＝OC.
1
6．命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是 ，结论是 ．
7．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上， ．求证： ． 请你补全已知和求证，并写出证明过程．
8．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A．M点
B．N点
C．P点
D．Q点
1
第8题图 第9题图
9．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是( )
A．8
B．6 D．2
C．4
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边1
AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作
2射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为( )
A．15
B．30
C．45
D．60
第10题图
第11题图
11．如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，BD∶DC＝2∶1.若AC＝3 cm，则AB＝ ． 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长．
1
13．证明：全等三角形对应边上的中线相等．
如图，已知△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线．求证：AD＝A′D′.
14．感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易证：DB＝DC.
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC.
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第2课时 角的平分线的判定
1．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO.能判定OC是∠AOB的平分线的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
第1题图
第2题图
2．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC＝QD，则∠AOQ＝ ． 3．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
4．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点 C．三条高的交点
B．三条角平分线的交点 D．以上均不对
5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ．
6．如图，铁路OA和铁路OB交于点O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河
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岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
7．D，E分别是△ABC中边AB，AC上的一点，在△ABC内有一点O，使OE＝OD，则AO平分∠CAB吗？
解：AO平分∠CAB.理由如下： ∵点O到∠CAB两边的距离相等， ∴点O在∠CAB的平分线上． ∴AO平分∠CAB.
以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．
8．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是( )
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A．∠1＝∠2
B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2
D．无法确定
9．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝( )
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
第9题图
第10题图
10．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是 ．
11．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有 处．
12．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．
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13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当点D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC？请说明理由．
14．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD； (2)OA⊥OC； (3)AB＋CD＝AC.
1
参：
12．3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质
1．A
2．解：作图略． 3．B 4．C
5．证明：∵点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，
∴OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°. 在△BEO与△CDO中，
∠BEO＝∠CDO，
OE＝OD，
∠EOB＝∠DOC，
∴△BEO≌△CDO(ASA)． ∴OB＝OC.
6．两个三角形是全等三角形，它们对应边上的高线相等． 7．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△PDO和△PEO中，
∠PDO＝∠PEO，∠POD＝∠POE， OP＝OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD＝PE. 8．A
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9．C 10．B 11．6cm．
12．解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE.
CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)． ∴AE＝AC.
∴△DEB的周长为DE＋DB＋EB＝CD＋DB＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝10 cm.
13．证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′. 又∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线， 11
∴BD＝BC，B′D′＝B′C′.
22∴BD＝B′D′.
在△ABD和△A′B′D′中，
AB＝A′B′，
∠B＝∠B′， BD＝B′D′，
∴△ABD≌△A′B′D′(SAS)． ∴AD＝A′D′.
14．证明：过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠F＝90°.
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∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°， ∴∠B＝∠FCD. 在△DFC和△DEB中，
∠F＝∠DEB，∠FCD＝∠B， DF＝DE，
∴△DFC≌△DEB(AAS)． ∴DC＝DB.
第2课时 角的平分线的判定
1．D 2． 35°．
3．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠DFC＝90°.
BE＝CF，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
DB＝DC，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)．∴DE＝DF. ∴AD是∠BAC的平分线． 4．B 5．4∶5∶6．
6．解：图略．提示：作∠AOB的平分线，与AB的交点即为点M的位置．
7．解：不正确．以上解法忽视了OD，OE分别垂直于AB，AC的条件，故产生错误．正确的结论是“AO不一定平分∠CAB”． 8．A 9．B
1
10．31.5． 11．4． 12．
证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F. 又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF， ∴DE＝DF，DG＝DF. ∴DE＝DG.
∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线． 13．解：移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由如下：
∵D是BC的中点， ∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△DEB和△DFC中，
∠DEB＝∠DFC，
∠B＝∠C，
BD＝CD，
∴△DEB≌△DFC(AAS)． ∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC. 14．
1
证明：(1)过点O作OE⊥AC于点E. ∵∠B＝90°，AO平分∠BAC， ∴OB＝OE. ∵O为BD的中点， ∴OB＝OD. ∴OE＝OD.
又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°， ∴CO平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，
AO＝AO，
OE＝OB， ∴Rt△ABO≌△Rt△AEO(HL)． ∴∠AOB＝∠AOE＝1
2
∠BOE.
同理，∠COD＝∠COE＝1
2∠DOE.
∵∠AOC＝∠AOE＋∠COE，
∴∠AOC＝111
2∠BOE＋2∠DOE＝2×180°＝90°.
∴OA⊥OC.
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO， ∴AB＝AE.同理可得CD＝CE.
1
∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC.
1
