高考物理复习 导体切割磁感线的运动

高考物理复习 导体切割磁感线的运动

重点难点

1．楞次定律：

推广可以具体简化为以下三种情况：①阻碍原磁通的变化；②阻碍导体间的相对运动；③阻碍原电流的变化．

2．应用法拉第电磁感应定律时应注意：

ΔΦnBΔS①一般用E = n（或E = ）求平均电动势，用E = Blυ求瞬时电动势，但当ΔsΔtΔtΔΦ

随Δt均匀变化时，由于电动势恒定，平均电动势和瞬时电动势相等，可用E = n求某一

Δt时刻的电动势；

②匀强磁场中，B、l、υ相互垂直，导体平动切割磁感线时E = Blυ，绕固定转轴转动时

E = Bl2ω．

规律方法

【例1】如图所示，在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，有一个质量为m、半径为r、电阻为R的均匀圆形导线圈，线圈平面跟磁场垂直（位于纸面内），线圈与磁场边缘（图中虚线）相切，切点为A，现在A点对线圈施加一个方向与磁场垂直，位于线圈平面内的，并跟磁场边界垂直的拉力F，将线圈以速度υ匀速拉出磁场．以切点为坐标原点，以

1

2

F的方向为正方向建立x轴，设拉出过程中某时刻线圈上的A点的坐标为x．

（1）写出此时F的大小与x的关系式；

（2）在F-x图中定性画出F-x关系图线，写出最大值F0的表达式． 【解析】由于线圈沿F方向作切割磁感线运动，线圈上要产生顺时针方向的感应电流，从而要受到与F方向反向的安培力Ff作用，由图可知，此时线圈切割磁感线的有效长度l = 2r-(r-x)2

线圈上感应电动势，感应电流i =

2

E R线圈所受安培力大小为Ff = Bil，方向沿x负方向 因线圈被匀速拉出，所以F = Ff 8Bυr4Bυ2

解上各式得F = x-x

2

2

RR4Brυ（2）当x = r时，拉力F最大，最大值为F0 =

22

R

图线如图所示．

训练题如图（甲）所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距l＝0.20m，电阻

R＝1.0Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整

个装置处于磁感强度B＝0.50T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下，现用一外力F沿轨道

方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图（乙）所示，求杆的质量m和加速度a．

答案：a=10m/s2，m=0．1kg

【例2】如图所示，两根相距l平行放置的光滑导电轨道，与水平面倾角均为α轨道间有电阻R，处于磁感应强度为B方向竖直向上的匀强磁场中，一根质量为m、电阻为R/4的金属杆ab，由静止开始沿导电轨道下滑．设下滑中ab杆始终与轨道保持垂直，且接触良好，导电轨道有足

够的长度，且电阻不计，求ab杆沿轨道下滑可达到的最终速度．

【解析】当ab杆沿轨道加速下滑至速度υ时，ab杆上的电动势为E = BLυcosα

ab杆与导电轨道组成的回路中的电流为I =

E4BLcos 15RRR44B2l2cosab杆受到的安培力为F = BIl = 方向水平向右．

5R当ab杆的速度增大至某一值υm时，ab杆受到的合外力F合恰减为零，此时ab杆的加速度

a也减为零，之后ab杆保持速度υm沿轨道匀速下滑．速度υm即是ab杆沿轨道下滑可达到的

最终速度．

据共点合力平衡条件，有mgsinα = Fcosα

4B2lmcos5mgRsin即mgsinα = ·cosα，解得：υm = ． 2224Blcos5R训练题如图所示，具有水平的上界面的匀强磁场，磁感强度为B，方向水平指向纸内，一个质量为m，总电阻为R的闭合矩形线框abcd在竖直平面内，其ab边长为L，bc边长为h，磁场宽度大于h，线框从ab边距磁场上界面H高处自由落下，线框下落时，保持ab边水平且线框平面竖直．已知ab边进入磁场以后，cd边到达上边界之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值，此时cd边距上边界为h1，求：

（1）线框ab边进入磁场时的速度大小；

（2）从线框ab边进入磁场到线框速度达到最大的过程中，线框中产

B a H 2d c b

生的热量；

答案：（1）v=（2gh）

1/2

322

44

（2）Q=mg（H+h+h1）—mRg/2BL

能力训练

1．（05年如东）一直升飞机停在南半球某处上空．设该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度为B．直升飞机螺旋桨叶片的长度为l，螺旋桨转动的频率为f，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动．螺旋桨叶片的近轴端为a，远轴端为b，如图所示．如果忽略到转轴中心线的距离，用E表示每个叶片中的感应电动势，则

（ A ）

A．E = πflB，且a点电势低于b点电势 B．E = 2πflB，且a点电势低于b点电势 C．E = πflB，且a点电势高于b点电势 D．E = 2πflB，且a点电势高于b点电势

2．如图是电磁驱动的原理图，把一个闭合线圈放在蹄形磁铁的两磁极间，蹄形磁铁和闭合线圈都可以绕OO′轴转动．当转动蹄形磁铁时，线圈将（ B ） A．不动 B．跟随磁铁一起转动 C．向与磁铁相反的方向转动 D．磁铁的磁极未知，无法判断

3．如图所示，C是一只电容器，先用外力使金属杆ab贴着水平平行金属导轨在匀强磁场中沿垂直磁场方向运动，到有一定速度时突然撤销外力．不计摩擦，则ab以后的运动情况可能是 （ C ）

A．减速运动到停止 B．来回往复运动 C．匀速运动 D．加速运动

4．在匀强磁场中放一电阻不计的平行金属导轨，导轨跟大线圈M相接，如图所示，导轨上放一根导线ab，磁感线垂直导轨所在的平面，欲使M所包围的小闭合

线圈N产生顺时针方向的感应电流，则导线的运动可能是 （ CD ）

A．匀速向右运动 B．加速向右运动 C．减速向右运动 D．加速向左运动 5．（05年南京）如右图所示，光滑的水平平行放置的导轨左端连有电阻R，导轨上架有一根裸金属棒ab，整个装置处于垂直轨道平面的匀强磁场中，今从静止起用力拉金属棒(保持棒与导轨垂直)，若拉力恒定，经时间t1后ab的速度为v，加速度为a1，最终速度可达2v；若拉力的功率恒定，经时间t2后ab的速度也

a R F B b

2222

为v，加速度为a2，最终速度也可达2v。求a1和a2满足的关系。（不计其他电阻）

答案：a2=3a1

6．（05年如东）水平固定的光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一阻值为R的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。

（1）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求通过电阻R的电量和电阻R中产生的热量 （2）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求金属棒通过的位移

（3）如果将U型金属框架左端的电阻R换为一电容为C的电容器，其他条件不变，如图所示。求金属棒从开始运动到达稳定状态时电容器的带电量和电容器所储存的能量（不计电路向外界辐射的能量）

b b R a v0 C a v0 答案：（1）由动量定理得Ft0mv0 即ILBt0mv0 所以q由能量守恒定律得Qmv0 BL1mv02 2（2）

EEBLsBSBLsqRmv0R22 qItt所以stttBLBLRR

（3）当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，

ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，

当ab棒以稳定速度v匀速运动时，BLv=UC=Qc/C 而对导体棒ab利用动量定理可得 —BLQc=mv-mv0

由上述二式可求得： vmv0CBLmv0QCBLv cmB2L2CmB2L2Cmv011112Ecmv02mv2mv02m()2222mB2L2C

7．（05年宿迁）两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L，足够长，在其上放置两根长也为L且与导轨垂直的金属棒ab和cd，它们的质量分别为2m、m，电阻阻值均为R（金属导轨及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。

（1）现把金属棒ab锁定在导轨的左

b d 甲 F a c B a c v0 B b d O 乙

端，如图甲，对cd施加与导轨平行的水平向右的恒力F，使金属棒cd向右沿导轨运动，当金属棒cd的运动状态稳定时，金属棒cd的运动速度是多大？

（2）若对金属棒ab解除锁定，如图乙，使金属棒cd获得瞬时水平向右的初速度v0，当它们的运动状态达到稳定的过程中，流过金属棒ab的电量是多少？整个过程中ab和cd相对运动的位移是多大？

答案：⑴当cd棒稳定时，恒力F和安培力大小相等，方向相反，以速度v匀速度运动，有：

2FRF=BIL 又IBLv 联立得： v22

BL2R ⑵ab棒在安培力作用下加速运动，而cd在安培力作用下减速运动，当它们的速度相同，达到稳定状态时，回路中的电流消失，ab，cd棒开始匀速运动。

设这一过程经历的时间为t，最终ab、cd的速度为v′，通过ab棒的电量为Q。 则对于ab棒由动量守恒：BILt＝2mv′ 即：BLQ＝2 mv′

同理，对于cd棒：－BILt＝mv′－mv0 即： BLQ＝m（v0-v′）得：Q2mv0

3BLS设整个过程中ab和cd的相对位移为S，由法拉第电磁感应定律得： EBL

tt流过ab的电量：Q

4mv0RE t 得：S222R3BL8．（05年南通）如图，光滑平行的水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO1O1′O′矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d的匀强磁场，磁感强度为B。一质量为m，电阻为r的导体棒ab，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d0。现用一大小为F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由静止开始运动，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计）。求： （1）棒ab在离开磁场右边界时的速度； （2）棒ab通过磁场区的过程中整个回路所消 耗的电能；

R b l0 F O l O′ M a O1 B O1’ N （3）试分析讨论ab棒在磁场中可能的运动情况。 答案：（1）ab棒离开磁场右边界前做匀速运动， P 速度为vm，则有 EBlvm I对ab棒 F－BIl＝0

Q E Rr

解得 vmF(Rr) B2l212（2）由能量守恒可得： F(d0d)W电mvm

2mF2(Rr)2解得： W电F(d0d)

2B4l4（3）设棒刚进入磁场时速度为v

2Fd01 由 Fd0mv2 可得 v m2棒在进入磁场前做匀加速直线运动，在磁场中运动可分三种情况讨论： 2Fd0F(Rr)2d0B4l4①若（或F），则棒做匀速直线运动； mB2l2m(Rr)22Fd0F(Rr)2d0B4l4②若（或F＞），则棒先加速后匀速； mB2l2m(Rr)22Fd0F(Rr)2d0B4l4③若（或F＜＝，则棒先减速后匀速。 mB2l2m(Rr)2