玉树市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（ ） A．0＜a≤ B．0≤a≤ C．0＜a＜ D．a＞

2． 函数y=ax+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（ ） A．（0，1）

3． 若关于的不等式

B．（2，1）

C．（2，0）

D．（0，2）

xa0的解集为3x1或x2，则的取值为（ ）

x24x311A． B． C． D．2

22x2y24． 已知双曲线C：221（a0，b0），以双曲线C的一个顶点为圆心，为半径的圆

ab2被双曲线C截得劣弧长为a，则双曲线C的离心率为（ ）

321043426A． B． C． D．

55555． 集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，集合S=A∩B，则集合S的子集有（ ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．8个

6． 不等式x（x﹣1）＜2的解集是（ ）

A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＞1或x＜﹣2} D．{x|x＞2或x＜﹣1}

7． 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（ ） A．程序流程图 B．工序流程图 C．知识结构图 D．组织结构图 则当0＜x＜4时，不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（ ） A．（0，1）∪（2，3）

o

8． 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），当0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），

B．（0，1）∪（3，4）

C．（1，2）∪（3，4）

D．（1，2）∪（2，3）

9． 直线3xy10的倾斜角为（ ）

A．150 B．120 C．60 D．30 10．抛物线y=4x2的焦点坐标是（ ） A．（0，1）

B．（1，0）

C．

oooD．

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11．设函数的集合，平面上点的集合

，则在同一直角坐标系中，P中函数

的图象恰好经过Q中

两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10

12．利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．

14．如果实数x,y满足等式x2y3，那么

22y的最大值是 ． x

且i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：

15．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是 ． 16．若正方形P1P2P3P4的边长为1，集合M={x|x=①当i=1，j=3时，x=2； ②当i=3，j=1时，x=0；

③当x=1时，（i，j）有4种不同取值； ④当x=﹣1时，（i，j）有2种不同取值； ⑤M中的元素之和为0．

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其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）

17．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种． 18．△ABC外接圆半径为

B，C对应的边分别为a，b，c，b=2， ，内角A，若A=60°，则c的值为 ．

三、解答题

19．已知函数

，且

． ，求

的图象在直线

的最小值；

的下方．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若对于任意，都有（Ⅲ）证明：函数

20．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．

（I）求p的值；

（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．

21．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为

，求直线l的方程．

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22．已知数列{an}满足a1=，an+1=an+（Ⅰ）

＜

；

（n∈N*）．证明：对一切n∈N*，有

（Ⅱ）0＜an＜1．

23．已知cos（

24．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数fxx3（1）试讨论fxx0的单调性；

+θ）=﹣，

＜θ＜

，求

的值．

31ax23ax1,a0． 2（2）证明：对于正数a，存在正数p，使得当x0,p时，有1fx1； （3）设（1）中的p的最大值为ga，求ga得最大值．

第 4 页，共 17 页

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玉树市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意

当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数 ∴

⇒0＜a≤

综上所述0≤a≤ 故选B

【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．

2． 【答案】D

【解析】解：令x=0，则函数f（0）=a0+3=1+1=2． ∴函数f（x）=ax+1的图象必过定点（0，2）． 故选：D．

【点评】本题考查了指数函数的性质和a0=1（a＞0且a≠1），属于基础题．

3． 【答案】D 【解析】

试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程

xa0，解得x3,x1,xa，其对应的根分别为x3,x1,x2，所以a2，故选2x4x3D.

考点：不等式与方程的关系. 4． 【答案】B

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考点：双曲线的性质． 5． 【答案】C

【解析】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}， ∴集合S=A∩B={1，3}， 则集合S的子集有22=4个， 故选：C．

【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合子集个数的求解，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．

6． 【答案】B

【解析】解：∵x（x﹣1）＜2， ∴x2﹣x﹣2＜0，

即（x﹣2）（x+1）＜0， ∴﹣1＜x＜2，

即不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}．

故选：B

7． 【答案】D

【解析】解：用来描述系统结构的图示是结构图， 故选D．

某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示．

【点评】本题考查结构图和流程图的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

8． 【答案】D

【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2）， ∴f（0）=0，且f（2+x）=﹣f（2﹣x），

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∴f（x）的图象关于点（2，0）中心对称， 又0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1）， 故可作出fx（x）在0＜x＜4时的图象，

由图象可知当x∈（1，2）时，x﹣2＜0，f（x）＜0， ∴（x﹣2）f（x）＞0；

当x∈（2，3）时，x﹣2＞0，f（x）＞0， ∴（x﹣2）f（x）＞0；

∴不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（1，2）∪（2，3） 故选：D

【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题．

9． 【答案】C 【解析】

试题分析：由直线3xy10，可得直线的斜率为k考点：直线的斜率与倾斜角. 10．【答案】C

【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上， 故焦点坐标为（0，故选C． 关键．

11．【答案】B

），

3，即tan360o，故选C.1

【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的

【解析】本题考查了对数的计算、列举思想

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a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合； a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；

a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个 12．【答案】C

【解析】解：由ln（3a﹣1）＜0得＜a＜，

则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是P=， 故选：C．

二、填空题

13．【答案】 9 ．

【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22， 所以总城市数为11÷0.22=50，

平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18， 所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9． 故答案为：9

14．【答案】3 【解析】

考点：直线与圆的位置关系的应用. 1

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【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中把

y的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题. x） ．

15．【答案】 （﹣4，

【解析】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8， =2． ∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2． 设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，

根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离， 即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4， ∴n2=8m=32，可得n=±4故答案为：（﹣4，

，

）．

）．

因此，点P的坐标为（﹣4，

【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．

16．【答案】 ①③⑤

【解析】解：建立直角坐标系如图： ∵集合M={x|x=

对于①，当i=1，j=3时，x=对于②，当i=3，j=1时，x=对于③，∵集合M={x|x=∴∴

=（1，﹣1），•

=1；

•=

=1；

则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．

且i，j∈{1，2，3，4}}，

=（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确； =（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误； 且i，j∈{1，2，3，4}}， =（0，﹣1），

•

==1；

=（1，0）， •

=1；

∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；

④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；

⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2； 当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0， ∴M中的元素之和为0，故⑤正确． 综上所述，正确的序号为：①③⑤，

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故答案为：①③⑤．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得﹣1），

=

=（0，﹣1），

=

难题．

17．【答案】 75

【解析】计数原理的应用． 【专题】应用题；排列组合． 根据分类计数加法得到结果．

【解答】解：由题意知本题需要分类来解，

=（1，

=（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于

【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，

第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31C63=60， 第二类，若从其他六门中选4门有C=15，

∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法． 故答案为：75．

【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．

18．【答案】 ．

【解析】解：∵△ABC外接圆半径为∴由正弦定理可得：

∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0， ∴解得：c=1+故答案为：基础题．

，或1﹣．

（舍去）．

，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，

，解得：a=3，

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于

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三、解答题

19．【答案】

【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性 【试题解析】（Ⅰ）对所以所以（Ⅱ）由因为所以对于任意设令

当x变化时，

，则 ，解得

与

．

的变化情况如下表：

，

，都有

．

．

求导，得，解得． ，得

，

，

，

所以当

时，

，都有．

的图象在直线”，

， ．

，即时，

，

， ，解得，得

． ，所以，即

在

．

上为增函数．

（当且仅当即可．

时等号成立）． 的下方”

．

成立，

因为对于任意所以 ． 所以的最小值为（Ⅲ）证明：“函数等价于“即要证所以只要证由（Ⅱ），得所以只要证明当设所以令由所以

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所以

故函数

20．【答案】

．

的图象在直线

的下方．

，准线方程为

．

【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为

所以，直线l的方程为由

消y并整理，得

…

…

．…

设A（x1，y1），B（x2，y2） 则x1+x2=3p，

又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4， 所以，3p+p=4，所以p=1…

（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x． 由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．… 由方程组

（1）

可得ky2﹣2y+4k﹣2=0（2）… 当k=0时，由方程（2），得y=﹣1． 把y=﹣1代入y2=2x，得

．

这时．直线m与抛物线只有一个公共点

当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）． 由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k2﹣2k﹣1＜0． 解得于是，当

．

且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这

．…

时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，… 因此，所求m的取值范围是

【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

21．【答案】

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【解析】解：将圆的方程写成标准形式，得x2+（y+7）2=25， 所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．… 因为直线l被圆所截得的弦长是所以，弦心距为

即圆心到所求直线l的距离为

．…

，

，

因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0． 所以圆心到直线l的距离为因此，

，…

解得b=﹣2，或b=﹣12．… 即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．… 与弦长一半的平方的和的灵活运用．

22．【答案】

所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．

【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方

【解析】证明：（Ⅰ）∵数列{an}满足a1=，an+1=an+∴an＞0，an+1=an+∴

∴对一切n∈N*，

＞0（n∈N*），an+1﹣an=

， ＜

．

＜＞0，

（n∈N*），

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k∈N*，∴

∴当n≥2时， =＞3﹣[1+

]

，

，

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=3﹣[1+=3﹣（1+1﹣=

，

， ）

]

∴an＜1，又

∴对一切n∈N*，0＜an＜1．

【点评】本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．

23．【答案】 【解析】解：∵∵cos（∴sin（

＜θ＜

，∴

+θ∈（

，

），

=

+θ）=﹣，∴sin（+θ）=sinθcos

，① cosθ﹣sin，②

+θ）=﹣

=

=﹣，

（cosθ+sinθ）=﹣，

+cosθsin

∴sinθ+cosθ=﹣cos（

+θ）=cos

sinθ=（cosθ﹣cosβ）=﹣，

∴cosθ﹣sinθ=﹣

联立①②，得cosθ=﹣∴

=

，sinθ=﹣，

==．

【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三 角函数关系式的合理运用．

24．【答案】（1）证明过程如解析；（2）对于正数a，存在正数p，使得当x0,p时，有1fx1；（3）ga的最大值为3

第 15 页，共 17 页

【解析】【试题分析】（1）先对函数fxx331ax23ax1,a0进行求导，再对导函数的值的 2符号进行分析，进而做出判断；（2）先求出函数值

1312f01,faa3a211aa21，进而分fa1和fa1两种情形进行

222分析讨论，推断出存在p0,a使得fp10，从而证得当x0,p时，有1fx1成立；（3）

借助（2）的结论：fx在0,上有最小值为fa，然后分0a1，a1两种情形探求ga的解析表达式和最大值。

证明：（1）由于fx3x31ax3a3x1xa，且a0，

2故fx在0,a上单调递减，在a,上单调递增． （3）由（2）知fx在0,上的最小值为fa． 即2p31ap6a0满足pa的实根，

2当0a1时，fa1，则ga是方程fp1满足pa的实根，



所以ga3a19a230a9又ga在0,1上单调递增，故gamaxg13． 当a1时，fa1，由于f01,f1故0,p0,1．此时，ga1． 综上所述，ga的最大值为3．

4．

91a11， 2第 16 页，共 17 页

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