高中数学选修1-2、2-2导学案

§1.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）

学习目标 1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用；

2. 了解线性回归模型与函数模型的差异，了解衡量两个变量之间线性相关关系得方法---相关系数. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P2~ P4，找出疑惑之处） 问题1：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？

复习1：函数关系是一种 关系，而相关关系是一种 关系.

复习2：回归分析是对具有 关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：    .

二、新课导学

※ 学习探究

实例 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高/cm和体重/kg数据如下表所示：

编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 48 57 50 54 61 43 59 问题：画出散点图,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.

解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此 选 自变量x， 为因变量. (1)做散点图:

从散点图可以看出 和 有比较好的

相关关系.

(2) x= y=

8xiyi

i18x2i

i1

8i8xy所以bxiyi18

x2i8x2i1aybx 于是得到回归直线的方程为

(3)身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报其体重为 y

问题：身高为172cm的女大学生,体重一定是上述预报值吗?

思考：线性回归模型与一次函数有何不同?

新知：用相关系数r可衡量两个变量之间 关系.计算公式为

r =

r>0, 相关, r<0 相关;

相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系 ，它们的散点图越接近 ；r ，两个变量有 关系.

※ 典型例题

例1某班5名学生的数学和物理成绩如下表: 学生 学科 A B C D E 数学成绩(x) 88 76 75 62 物理成绩(y) 78 65 70 62 60 (1) 画散点图;

(2) 求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程;

(3) 该班某学生数学成绩为96,试预测其物理成绩;

变式：该班某学生数学成绩为55,试预测其物理成绩;

小结：求线性回归方程的步骤：

※ 动手试试

练.(07广东文科卷）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据

x 3 4 5 6 (1)请画出上表数据的散点图； y 2.5 3 4 4.5 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值32.5435464.566.5)

三、总结提升

※ 学习小结

1. 求线性回归方程的步骤：

2. 线性回归模型与一次函数有何不同

※ 知识拓展

在实际问题中，是通过散点图来判断两变量之间的性关系的，

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列两个变量具有相关关系的是（ ） A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与视力 C.人的身高与体重

D.匀速直线运动中的位移与时间

2. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ ） A. 预报变量在x 轴上，解释变量在 y 轴上 B. 解释变量在x 轴上，预报变量在 y 轴上

C. 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D. 可选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上

3. 回归直线ybxa必过（ ） A. (0,0) B. (x,0) C. (0,y) D. (x,y)

4.r越接近于1，两个变量的线性相关关系 . 5. 已知回归直线方程y0.5x0.81,则x25时,y的估计值为 . 课后作业 一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有 缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x (转/秒) 16 14 12 8 有缺点零件数 y （件） 11 9 8 5 （1）画散点图； （2）求回归直线方程；

（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？

§1.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

学习目标 1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用; 2. 了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 3. 会用相关指数，残差图评价回归效果. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P4~ P7，找出疑惑之处）

复习1：用相关系数r可衡量两个变量之间 关系.r>0, 相关, r<0 相关; r越接近于1，两个变量的线性相关关系 ，它们的散点图越接近 ；r ，两个变量有 关系.

复习2：评价回归效果的三个统计量： 总偏差平方和；残差平方和；回归平方和.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：如何评价回归效果？ 新知：

1、评价回归效果的三个统计量 (1)总偏差平方和：

(2)残差平方和：

(3)回归平方和：

2、相关指数：R2表示 对 的贡献，公式为：

R2

R2的值越大，说明残差平方和 ，说明模型拟合效果 .

3、残差分析：通过 来判断拟合效果.通常借助 图实现.

残差图：横坐标表示 ，纵坐标表示 .

残差点比较均匀地落在 的区的区域中，说明选用的模型 ，带状区域的宽度越 ，说明拟合精度越 ，回归方程的预报精度越 .

※ 典型例题

例1关于x与y有如下数据：

x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 为了对x、y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：y6.5x17.5，y7x17，试比较哪一个模型拟合的效果更好?

小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.

例2 假定小麦基本苗数x与成熟期有效苗穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下： x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 （1）画散点图； （2）求回归方程并对于基本苗数56.7预报期有效穗数；

（3）求R2，并说明残差变量对有效穗数的影响占百分之几.

n (参考数据：x2ni5101.51,1xiyi6746.76,

ii15(y2iy)50.18，

yi)29.117）

i15(yii1

※ 动手试试

练1. 某班5名学生的数学和物理成绩如下表: 学生 学科 A B C D E 数学成绩(x) 88 76 75 62 物理成绩(y) 78 65 70 62 60 （导学案第1页例1） （4）求学生A,B,C,D,E的物理成绩的实际成绩和回归直线方程预报成绩的差eiy2yi.并作出残差图评价拟合效果.

小结：

1. 评价回归效果的三个统计量: 2. 相关指数评价拟合效果： 3. 残差分析评价拟合效果：

三、总结提升

※ 学习小结

一般地，建立回归模型的基本步骤：

1、确定研究对象，明确解释、预报变量； 2、画散点图；

3、确定回归方程类型（用r判定是否为线性）； 4、求回归方程； 5、评价拟合效果. ※ 知识拓展

在现行回归模型中，相关指数R2表示解释变量对预报变量的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好.如果某组数据可以采取几种不同的回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2作出选择，即选择R2大的模型. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 两个变量 y与x的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数 R2如下 ，其中拟合 效果最好的模型是（ ）.

A. 模型 1 的相关指数R2为 0.98 B. 模型 2 的相关指数R2为 0.80 C. 模型 3 的相关指数R2为 0.50 D. 模型 4 的相关指数R2为 0.25

2. 在回归分析中，残差图中纵坐标为（ ）. A. 残差 B. 样本编号 C. x D. en

3. 通过e1,e2,,en来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分工称为（ ）. A.回归分析 B.性检验分析 C.残差分析 D. 散点图分析 4.R2越接近1,回归的效果 . 5. 在研究身高与体重的关系时，求得相关指数

R2 ，可以叙述为“身高解释了69%的体重变化，而随机误差贡献了剩余 ”所以身高对体重的效应比随机误差的 . 课后作业 练.(07广东文科卷）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据 (1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于xx 3 4 5 6 ay 的线性回归方程ybx；

2.5 3 4 4.5 (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值32.5435464.566.5) （4）求相关指数评价模型.

§1.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）

学习目标 1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用;

2. 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.

3. 了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

学习过程 一、课前准备 （预习教材P4~ P7，找出疑惑之处） 复习1：求线性回归方程的步骤

复习2：作函数y2x和y0.2x25的图像

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：如何建立非线性回归模型？

实例一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y与x之间的回归方程. 温度x/C 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y个 7 11 21 24 66 115 325 （1）根据收集的数据，做散点图

上图中，样本点的分布没有在某个 区域，因此两变量之间不呈

关系，所以不能直接用线性模型.由图，可以认为样本点分布在某一条指数函数曲线yebxa的周围（a,b为待定系数）.

对上式两边去对数，得

lny

令zlny,，则变换后样本点应该分布在直线

的周围.这样，就利用 模型来建立y和x的非线性回归方程.

x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 zlny 作散点图（描点(xi,zi)） 由上表中的数据得到回归直线方程

z

因此红铃虫的产卵数y和温度x的非线性回归方程为

※ 典型例题

例1一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，

温度x/C 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y个 7 11 21 24 66 115 325 （散点图如由图，可以认为样本点集中于某二次曲线yc23xc4的附近，其中c1,c2为待定参数）试建立y与x之间的回归方程.

思考：评价这两个模型的拟合效果.

小结：利用线性回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图建模确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.

三、总结提升

※ 学习小结

利用线性回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图建模确定方程”这三个步骤进行.

※ 知识拓展

非线性回归问题的处理方法： 1、 指数函数型yebxa

① 函数yebxa的图像：

② 处理方法：两边取对数得lnyln(ebxa)，即lnybxa.令zlny,把原始数据（x,y）转化为（x,z），再根据线性回归模型的方法求出b,a.

2、对数曲线型yblnxa

① 函数yblnxa的图像 ② 处理方法：设xlnx，原方程可化为ybx a

再根据线性回归模型的方法求出a,b. 3、ybx2a型

处理方法：设xx2，原方程可化为ybxa，再根据线性回归模型的方法求出a,b.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 两个变量 y与x的回归模型中，求得回归方程为ye0.2x32，当预报变量x10时（ ）. A. 解释变量ye30 B. 解释变量y大于e30 C. 解释变量y小于e30 D. 解释变量y在e30左右

2. 在回归分析中，求得相关指数R20.，则（ ）. A. 解释变量解对总效应的贡献是11% B. 解释变量解对总效应的贡献是% C. 随机误差的贡献是% D. 随机误差的贡献是0.%

3. 通过e1,e2,,en来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分析称为（ ）. A．回归分析 B．性检验分析 C．残差分析 D. 散点图分析

4.在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线yebxa的周围，令

zlny，求得回归直线方程为z0.25x2.58，则该模型的回归方程为 . 5. 已知回归方程y0.5lnxln2,则x100时,y的估计值为 . 课后作业 为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.

§1.2.1 性检验的基本思想及天数x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个 6 12 25 49 95 190 其初步应用

学习目标 1.通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验性检验的必要性; 2.会根据22列联表求统计量K2.

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

学习过程 一、课前准备

（预习教材P12~ P14，找出疑惑之处）

复习1：回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步骤.

二、新课导学

※ 学习探究 新知1：

1.分类变量： . 2. 22列联表： .

试试：你能列举出几个分类变量吗？

探究任务：吸烟与患肺癌的关系

1.由列联表可粗略的看出：

(1)不吸烟者有 患肺癌; (2)不吸烟者有 患肺癌.

因此，直观上课的结论： . 2.用三维柱柱图和二维条形图直观反映: (1)根据列联表的数据,作出三维柱形图:

由上图可以直观地看出, 吸烟与患肺癌 .

(2) 根据列联表的数据,作出二维条形图:

由上图可以直观地看出, 吸烟与患肺癌 .

根据列联表的数据,作出等高条形图:

由上图可以直观地看出, 吸烟与患肺癌 .

反思：（性检验的必要性）通过数据和图形,我们得到的直观印象是患肺癌有关.那是否有一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？

新知2：统计量K2

吸烟与患肺癌列联表

假设

H0：吸烟与患肺癌没关系，

则在吸烟者和不吸烟者中患肺癌不患肺癌者的相应比例 .即

因此， 越小，说明吸烟与患肺癌之间关系 ；反之， .

K2=

※ 典型例题

例1 吸烟与患肺癌列联表

不患肺癌 患肺癌 总计 求K2. 不吸烟 7775 42 7817 吸 烟 2099 49 2148 总 计 9874 91 9965

※ 动手试试

练1. 性别与喜欢数学课程列联表： 喜欢数学 不喜欢数学 总 计 男 37 85 122 女 35 143 178 总 计 72 228 300 求K2.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 分类变量： . 2. 22列联表： . 3. 统计量K2： .

※ 知识拓展

1. 分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两

个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”. 2. 性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）： 反证法 假设检验 要证明结论A 备择假设H1 在A不成立的前在H1不成立的条件下，即H0成立提下进行推理 的条件下进行推理 推出有利于H1成立的小概率事件推出矛盾，意味（概率不超过的事件）发生，意着结论A成立 味着H1成立的可能性（可能性为（1－））很大 没有找到矛盾，不能对A下任何推出有利于H1成立的小概率事件结论，即反证法不发生，接受原假设 不成功 课后作业 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：

求K2. 不健康 健 康 总计 不优秀 41 626 667 优 秀 37 296 333 总 计 78 922 1000

§1.2.2 性检验的基本思想及其初步应用

学习目标 通过探究“秃顶是否与患心脏病有关系”引出性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和

条形图展示患心脏病的秃顶比例比患其它病的秃顶比例高，让学生亲身体验性检验的实施步骤与必要性 学习过程 一、课前准备

（预习教材P14~ P16，找出疑惑之处） 复习1：统计量K2：

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

复习2：性检验的必要性：

二、新课导学

※ 学习探究

新知1：性检验的基本思想： 1、 性检验的必要性：

2、 性检验的原理及步骤： 反证法 假设检验 备择假设H1 要证明结论A 在A不成立的前提下进行推理 推出矛盾，意味着结论A成立 在H1不成立的条件下，即H0成立的条件下进行推理 推出有利于H1成立的小概率事件（概率不超过的事件）发生，意味着H1成立的可能性（可能性为（1－））很大 没有找到矛盾，不能对A下任何推出有利于H1成立的小概率事件结论，即反证法不发生，接受原假设 不成功 探究任务：吸烟与患肺癌的关系

第一步：提出假设检验问题 H0：

2第二步：根据公式求K观测值

k=

（它越小，原假设“H0：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越 ；它越大，备择假设

“H1： ” 成立的可能性越大.）

第三步：查表得出结论

系？你所得的结论在什么范围内有效？

小结：用性检验的思想解决问题： 第一步： 第二步： 第三步：

例2为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表： 喜欢数学课程 不喜欢数学 总 计 85 122 男 37 143 178 女 35 228 300 总计 72 由表中数据计算得到K2的观察值k4.513. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间

有关系？为什么？

0.001 10..83

P(k2>k) k 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1..323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 ※ 典型例题

例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关

※ 动手试试

练1. 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：

不健康 健 康 总计 请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有不优秀 41 626 667 关”？ 优 秀 37 296 333

总 计 78 922 1000

三、总结提升

※ 学习小结

1. 性检验的原理：

2. 性检验的步骤：

※ 知识拓展

利用性检验来考察两个分类变量是否有关，能精确的给出这种判断的可靠程度.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 （ ）

A. 若k=6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟者中，有99个患肺病.

B. 从性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么他有99%的可能性患肺病.

C. 若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使推断出现错误. D. 以上三种说法都不对. 2. 下面是一个22列联表

则表中a,b的之分别是（ ）

A. 94,96 B. 52,50 C. 52,54 D. 54,52

3.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表: 则认为喜欢玩游戏与认为作业量多少有关系的把握大约为( ) A. 99% B. 95% C. 90% D.无充分依据

4. 在性检验中,当统计量K2满足 时,我们有99%的把握认为这两个分类变量有关系.

5. 在22列联表中,统计量K2= .

课后作业 为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下列联表 能以97.5%的把握认为药物有效吗?为什么? 患 病 未患病 总 计

用 药 41 626 667

不用药 37 296 333

总 计 78 922 1000

统计案例检测题

测试时间:90分钟 测试总分:100分

一、选择题（本大题共12小题，每题4分） 1、散点图在回归分析中的作用是 （ ） A．查找个体数目 B．比较个体数据关系 C．探究个体分类

D．粗略判断变量是否呈线性关系

2、对于相关系数下列描述正确的是 （ ） A．r>0表明两个变量相关 B．r<0表明两个变量无关

C．r越接近1，表明两个变量线性相关性越强 D．r越小，表明两个变量线性相关性越弱

3、预报变量的值与下列哪些因素有关 （ ） A．受解释变量影响与随机误差无关 B．受随机误差影响与解释变量无关 C．与总偏差平方和有关与残差无关 D．与解释变量和随机误差的总效应有关

4、下列说法正确的是 （ ） A．任何两个变量都具有相关系 B．球的体积与球的半径具有相关关系 C．农作物的产量与施肥量是一种确定性关系 D．某商品的产量与销售价格之间是非确定性关系

5、在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的 不健康 健 康 总计 （ ） 不优秀 a 21 73 A. 预报变量在x 轴上，解释变量在 y 轴上 优 秀 2 25 27 B. 解释变量在x 轴上，预报变量在 y 轴上 总 计 认为作业多b 46 认为作业不多100 总计 C. 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 玩游戏 18 9 27 D. 可以选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上

不玩游戏 8 15 23 6、回归直线ybxa必过 （ ） 总 计 26 24 50 高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

A．(0,0) B．(x,0) C．(0,y) D．(x,y)

16、在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查1768人，经计算的K2=27.63，根据这一数据分析，我们

有理由认为打鼾与患心脏病是 的.(填“有关”“无关”) 7、三维柱形图中，主、副对角线上两个柱形高度的 相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大 三、解答题（本大题共2小题，每题18分） （ ）

患 病 未患病 总 计 18、为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下列联表 A．和 B．差 C．积 D．商 用 药 不用药 41 37 626 296 667 333 8、两个变量 y与x的回归模型中，求得回归方程为ye0.2x32，当预报变量x10 （ ）

能以97.5%的把握认为药物有效吗?为什么?

78 922 1000 总 计 A. 解释变量ye30 B. 解释变量y大于e30

C. 解释变量y小于e30 D. 解释变量y在e30左右

9、在回归分析中，求得相关指数R20.，则（ ）

A. 解释变量解对总效应的贡献是11%

B. 解释变量解对总效应的贡献是%

C. 随机误差的贡献是%

C. 随机误差的贡献是0.% 10、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 （ ） A．若k=6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟者中，有99个患肺病. B．从性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么他有99%的可能

性患肺病.

C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断出现错误.

D．以上三种说法都不对.

11、3. 通过e1,e2,,en来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分析称为

（ ）

A．回归分析 B．性检验分析 C．残差分析 D. 散点图分析

12、在性检验时计算的K2的观测值k=3.99，那么我们有 的把握认为这两个分类变量有关系

（ ）

A．90% B．95%

C．99% D．以上都不对

二、填空题（本大题共4小题，每题4分）

13、已知回归直线方程y0.5x0.81,则x25时,y的估计值为 .

14、如下表所示：

不健康 健 康 总计 2 计算K= .

41 626 667 不优秀

15、下列关系中：

37 296 333 优 秀

（1）玉米产量与施肥量的关系；

78 922 1000 总 计 （2）等边三角形的边长和周长；

（3）电脑的销售量和利润的关系； （4）日光灯的产量和单位生产成本的关系. 不是函数关系的是 .

18、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值32.5435464.566.5)

§2.1.1 合情推理（1）

学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理

在数学发现中的作用.

学习过程 一、课前准备

（预习教材P28~ P30，找出疑惑之处）

在日常生活中我们常常遇到这样的现象：

（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.

以上例子可以得出推理是

的思维过程.

x 3 4 5 6 y 二、新课导学

2.5 3 4 4.5 ※ 学习探究

探究任务：归纳推理

问题1:哥德猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： . 问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 .

新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的 的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理.

※ 典型例题

例1 观察下列等式：1+3=4=22，

1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42，

1+3+5+7+9=25=52，

……

你能猜想到一个怎样的结论？

变式：观察下列等式：1=1

1+8=9，

1+8+27=36，

1+8+27+=100， ……

你能猜想到一个怎样的结论？

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

例2已知数列aann的第一项a11，且an11a(n1,2,3...)，试归纳出这个数列的通项公式.

n

变式：在数列{a}中，a11nn2(ana)（n2），试猜想这个数列的通项公式.

n

※ 动手试试

练1. 应用归纳推理猜测11112222的结果.

练2. 在数列{a2ann}中，a11，an12a（nN*）,试猜想这个数列的通项公式. n

三、总结提升

※ 学习小结

1．归纳推理的定义.

2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 知识拓展

1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在10年通过对F0102213，F12215，F23222117，F3221257，F4422165537的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所

有的自然数n，任何形如F2nn21的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现

F55221429496729716700417不是素数，推翻费马猜想.

2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

2.若f(n)n2n41,nN，下列说法中正确的是（ ）.

A.f(n)可以为偶数 B. f(n)一定为奇数 C. f(n)一定为质数 D. f(n)必为合数

3.已知f(x1)2f(x)f(x)2,f(1)1 （xN*），猜想f(x）的表达式为（ ）. A.f(x)422x2 B.f(x)x1

C.f(x)12x1 D.f(x)2x1

4.f(n)111123n(nN357)，经计算得f(2)2,f(4)2,f(8)2,f(16)3,f(32)2猜测当n2时，有__________________________.

5. 从112,23432,3456752中得出的一般性结论是_____________ . 课后作业 1. 对于任意正整数n，猜想(2n1)与(n1)2的大小关系.

2. 已知数列{a，a21n}的前n项和Sn13，满足SnS2an(n2)，计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表

n达式.

§2.1.1 合情推理（2）

学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;

2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P30~ P38，找出疑惑之处）

1.已知 ai0(i1,2,,n)，考察下列式子：(i)a111a1；(ii)(a)(11a2)4； 1a1a2

(iii)(a1a2a3)(1a11)9. 我们可以归纳出，对a1,a2,,an也成立的类似不等式为 . 1a2a32. 猜想数列

113,135,157,179,的通项公式是 .

二、新课导学

※ 学习探究

鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 新知：类比推理就是由两类对象具有

和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理. ※ 典型例题

例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.

类比 角度 实数的加法 实数的乘法 运算 结果 运算律 逆运算 单位元 变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质. 圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 圆的面积 圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两 弦不等，距圆心较近的弦较长 以点(x0,y0)为圆心，r为半径的圆的方程为 (xx0)2(yy0)2r2 例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

三、总结提升

变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质. 三角形 四面体 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 1三角形的面积为S(abc)r（r为三角形内切2圆的半径） 新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，

学习评价 然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. 未必可靠.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 动手试试 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

SOM1N1OM1ON11.下列说法中正确的是（ ）.

练1. 如图，若射线OM，ON上分别存在点M1,M2与点N1,N2，则三角形面积之比.

A.合情推理是正确的推理 SOM2N2OM2ON2B.合情推理就是归纳推理 若不在同一平面内的射线OP，OQ上分别存在点P1,P2，点Q1,Q2和点R1,R2，则类似的结论是什么？

C.归纳推理是从一般到特殊的推理

D.类比推理是从特殊到特殊的推理

2. 下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab” B.“若(ab)cacbc”类推出

“(ab)cacbc”

abab （c≠0）” cccnnnnnn（ab）ab” 类推出（D.““ab）ab

※ 学习小结

1．类比推理是由特殊到特殊的推理.

2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.

3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.

※ 知识拓展

试一试下列题目： 1. 南京∶江苏

A. 石家庄∶河北 B. 渤海∶中国 C. 泰州∶江苏 D. 秦岭∶淮河 2. 成功∶失败

A. 勤奋∶成功 B. 懒惰∶失败 C. 艰苦∶简陋 D. 简单∶复杂 3.面条∶食物

A. 苹果∶水果 B. 手指∶身体 C. 菜肴∶萝卜 D. 食品∶巧克力 C.“若(ab)cacbc” 类推出“

'3. 设f0(x)sinx,f1(x)f0(x)，

1119111116练2. 在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；

ABCABCD21111125在五边形ABCDE中，不等式成立.猜想，在n边形A1A2An中，有怎样的不等

ABCDE3式成立？

f2(x)f1'(x),,fn1(x)fn'(x)，n∈N，则f2007(x) （ ）. A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx 4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆

若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一

系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.

5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是 . 课后作业 1. 在等差数列{an}中，若a100，则有 a1a2ana1a2a19n(n19,nN*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b91，则存在怎样的等式？

2. 在各项为正的数列aS1n中，数列的前n项和Sn满足n2a1n（1） 求a1,a2,a3；（2） 由（1）an猜想数列an的通项公式；（3） 求Sn

§2.1.2 演绎推理

学习目标 1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；

2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P39~ P42，找出疑惑之处）

复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理. 复习2：合情推理的结论 .

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：演绎推理的概念 问题：观察下列例子有什么特点？

（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；

（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ； （3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C，所以在一个标准大气压下把水加热到100C时， ； （4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 ； （5）三角函数都是周期函数，sin是三角函数，所以 ；

（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么 .

新知：演绎推理是从 出发，推出 情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由

到 的推理.

探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？ 所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电 已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断 大前提 小前提 结论 新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：

大前提—— ； 小前提—— ；

结论—— . 试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式. ※ 典型例题

例1 在锐角三角形ABC中，ADBC,BEAC，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.

新知：用集合知识说明“三段论”： 大前提： 小前提： 结 论：

例2证明函数f(x)x22x在,1上是增函数.

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.

例3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？ 所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提） 菱形是所有边长都相等的凸多边形， （小前提） 菱形是正多边形. （结 论）

小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.

※ 动手试试

练1. 用三段论证明：通项公式为ancqn(cq0)的数列{an}是等比数列.

练2. 在ABC中，ACBC，CD是AB 边上的高，求证ACDBCD. 证明：在ABC中，CDAB,ACBC， 所以ADBD， 于是ACDBCD. 指出上面证明过程中的错误.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 合情推理归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；结论不一定正确.

2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.

※ 知识拓展

乒乓球教练组将从右手执拍的选手R、S、T和左手执拍的选手L、M、N、O中选出四名队员去参加奥运会。要求至少有两名右手执拍的选手，而且选出的四名队员都可以互相配对进行双打。已知s不能与L配对.T不能与N配对，M不能与L或N配对。若R不被选入队中，那么有几种不同的选法? A. 只有一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 因为指数函数yax是增函数，y(12)x是指数函数，则y(12)x是增函数.这个结论是错误的，这是因

为

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线

a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4.归纳推理是由 到 的推理； 类比推理是由 到 的推理； 演绎推理是由 到 的推理. 5.合情推理的结论 ；

演绎推理的结论 . 课后作业 1. 用三段论证明：在梯形ABCD中，AD//BC ，AB=DC，则BC.

2. 用三段论证明：f(x)x3x(xR)为奇函数.

§2.1 合情推理与演绎推理(练习)

学习目标 1. 能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;

2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理; 3. 体会合情推理和演绎推理的区别与联系. 学习过程 一、课前准备

（复习教材P28~ P40，找出疑惑之处）

复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.

合情推理的结论 .

复习2：演绎推理是由 到 的推理.

演绎推理的结论 .

二、新课导学

※ 典型例题 例1 观察（1）（2）

tan100tan200tan200tan600tan600tan1001;tan50tan100tan100tan750tan750tan501由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.

变式：已知：sin230sin290sin215032

sin25sin265sin212532 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.

例2 在RtABC中，若C90，则cos2Acos2B1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.

变式：已知等差数列{an}的公差为d ，前n项和为Sn，有如下性质： （1）anam(nm)d，

（2）若mnpq,(m,n,p,qN*)，

则amanapaq，

类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出类似的性质.

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

※ 动手试试 练1.

若数列an的通项公式an1(n1)2(nN)，记f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)________________.

练2. 若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c,则三角形的面积S12r(abc)，根据类比思想，若四面

体内切球半径为R，四个面的面积为S1,S2,S3,S4，则四面体的体积V= .

三、总结提升

※ 学习小结

1. 合情推理归纳推理：由特殊到一般；结论不一定正确类比推理：由特殊到特殊.

2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.

※ 知识拓展

有金盒、银盒、铝盒各一个，只有一个盒子里有肖像，金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里，银盒子上写有命题q：肖像不在这个盒子里，铝盒子上写有命题r：肖像不在金盒里，这三个命题有且只有一个是真命题，问肖像在哪个盒子里？为什么？ 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 由数列1,10,100,1000,，猜想该数列的第n项可能是（ ）. A.10n B.10n1 C.10n1 D.11n 2.下面四个在平面内成立的结论 ①平行于同一直线的两直线平行

②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交 ③垂直于同一直线的两直线平行

④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 在空间中也成立的为（ ）.

A.①② B. ③④ C. ②④ D.①③

3.用演绎推理证明函数yx3是增函数时的大前提是（ ）. A.增函数的定义

B.函数yx3满足增函数的定义 C.若x1x2，则f(x1)f(x2) D.若x1x2, 则f(x1)f(x2)

4.在数列{aann}中,已知a12,an13a(nN*),试归纳推理出an . n15. 设平面内有ｎ条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这ｎ条直线交点的个数，则f(4)= ；当ｎ＞４时，f(n)＝ （用含n的数学表达式表示）. 课后作业 1. 证明函数f(x)x24x在[2,)上是减函数.

2. 数列{an}满足Sn2nan,先计算数列的前4项,再归纳猜想an.

§2.2.1 综合法和分析法（1）

学习目标 1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.

3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.

学习过程 一、课前准备 （预习教材P45~ P47，找出疑惑之处）

复习1：两类基本的证明方法: 和 . 复习2：直接证明的两中方法: 和 .

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：综合法的应用 问题：已知a,b0,

求证:a(b2c2)b(c2a2)4abc.

新知：一般地,利用

,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.

反思：

框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.

※ 典型例题

例1已知a,b,cR，abc1，求证：

1a1b1c9

变式：已知a,b,cR，abc1，求证： (11a1)(b1)(1c1)8.

小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.

例2 在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.

变式：设在四面体PABC中,

ABC90,PAPBPC,D是AC的中点.求证:PD垂直于ABC所在的平面.

小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.

※ 动手试试

练1. 求证：对于任意角θ，cos4sin4cos2

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

练2. A,B为锐角，

且tanAtanB3tanAtanB3，

求证：AB60. （提示：算tan(AB)）

三、总结提升

※ 学习小结

综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.

※ 知识拓展

综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 已知x,yR,则\"xy1\"是\"x2y21\"的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2. 如果a1,a2,a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则（ ） A．a1a8a4a5 B．a1a8a4a5 C．a1a8a4a5 D．a1a8a4a5 3. 设P1111log，则（ ） 211log311log411log511A．0P1 B．1P2 C．2P3 D．3P4 4.若关于x的不等式

(k22k3)x312(k22k2)1x的解集为(2,)，则k的范围是____ . 5. 已知a,b是不相等的正数，xab2,yab，则x,y的大小关系是_________. 课后作业 1. 已知a，b，c是全不相等的正实数，

求证:bcaaacbbabcc3

2. 在△ABC中， 证明：cos2Aa2cos2Bb21a21b2

§2.2.1 综合法和分析法(二)

学习目标 1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.

2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P48~ P50，找出疑惑之处） 复习1：综合法是由 导 ;

复习2：基本不等式:

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：分析法 问题：

如何证明基本不等式

ab2ab(a0,b0)

新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

反思：框图表示

要点：逆推证法；执果索因

※ 典型例题

例1求证3526

变式：求证:3725

小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.

例2 在四面体SABC中,SA面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AFSC.

变式：设a,b,c为一个三角形的三边,

s12(abc),且s22ab,试证s2a.

小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

※ 动手试试

练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.

练2. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2a2b24ab43S

三、总结提升

※ 学习小结

分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成

立.

※ 知识拓展

证明过程中分析法和综合法的区别:

在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.

分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 要证明3725可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 A.综合法 B.分析法 C.反证法 D. 归纳法

2.不等式①x233x;②baab2,其中恒成立的是

A.① B.② C.①② D.都不正确 3.已知yx0,且xy1,那么

A.xxyxy2y2xy B.2xyx2y

C.xxyx22xyy D.x2xyy2y

4.若a,b,cR,则a2b2c2 abbcac.

5.将a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(ba0),则其浓度为 ;若再加入m千克的白糖(m0),糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: . 课后作业 1. 已知ab0,

求证:(ab)2ab(8a2abab)28b.

2. 设a,bR,且ab,求证:a3b3a2bab2

§2.2.1 综合法和分析法（3）

学习目标 1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;

2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系; 3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P50~ P51，找出疑惑之处） 复习1：综合法是由 导 ; 复习2：分析法是由 索 .

二、新课导学

※ 学习探究 探究任务一：综合法和分析法的综合运用

问题：已知,k2(kZ),且 sincos2sin,sincossin2, 求证:1tan21tan21tan22(1tan2).

新知：用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：

试试：已知tansina,tansinb，求证： (a2b2)216ab.

反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.

※ 典型例题

例1 已知A,B都是锐角，且AB2，(1tanA)(1tanB)2，求证：AB45

变式：已知

1tan2tan1，求证：3sin24cos2.

小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.

例2 在四面体PABC中，PDABC，ACBC，D是AB的中点，求证：ABPC.

变式：如果a,b0，则lgablgalgb22.

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.

成为高考的重点和热点之一. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 给出下列函数①yxx3，②yxsinxcosx,③ysinxcosx,④y2x2x,其中是偶函数的有※ 动手试试

ac练1. 设实数a,b,c成等比数列，非零实数x,y分别为a与b，b与c的等差中项，求证2.

xy

练2. 已知AB54，且A,Bk2(kZ)，求证：(1tanA)(1tanB)2.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 直接证明包括综合法和分析法.

2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.

※ 知识拓展

综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，

（ ）.

A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个

2. m、n是不同的直线，,,是不同的平面，有以下四个命题（ ）. ①////// ；②m//m

③mm// ；④m//nnm//

其中为真命题的是 A．①④ B. ①③ C．②③ D．②④

3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）.

A．a，b均为负数，则abba2

2B．x2x212

C．lgxlogx102

D．aR,(1a)(11a)4

4. 设α、β、r是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m⊥α，m⊥β，则α∥β ②若α⊥r，β⊥r，则α∥β

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥α，n⊥α，则m⊥n 其中真命题是 .

5. 已知p:2x31,q:x(x3)0, 则p是q的 条件. 课后作业 1. 已知a,b,cR，a,b,c互不相等且abc1.求证：abc1a11bc.

2. 已知a,b,c,d都是实数，且a2b21,c2d21，求证：|acbc|1.

）

（

§2.2.2 反证法

学习目标 1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；

2. 了解反证法的思考过程、特点; 3. 会用反证法证明问题. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P52~ P54，找出疑惑之处）

复习1：直接证明的两种方法: 和 ; 复习2： 是间接证明的一种基本方法.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：反证法

问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗? 问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?

新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .

试试：

证明：2,3,5不可能成等差数列.

反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

※ 典型例题

例1 已知a0,证明x的方程axb有且只有一个根.

变式：证明在ABC中,若C是直角,那么B一定是锐角.

小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.

例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60.

小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

※ 动手试试

练1. 如果x12,那么x22x10.

练2. ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证:B90.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.

2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.

※ 知识拓展

空城计与反证法

空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.

诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60”时，反设正确的是（ ）. A．假设三内角都不大于60 B．假设三内角都大于60

C．假设三内角至多有一个大于60 D．假设三内角至多有两个大于60 2. 实数a,b,c不全为0等价于为（ ）. A．a,b,c均不为0

B．a,b,c中至多有一个为0 C．a,b,c中至少有一个为0 D．a,b,c中至少有一个不为0

3.设a,b,c都是正数，则三个数a1b,b1c,c1a（ ）.

A．都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2

4. 用反证法证明命题“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反设为 . 5. “x4”是“x24x0”的 条件. 课后作业 1. 已知x,y0,且xy2.试证:1x1yy,x中至少有一个小于2.

2. 证明2不是有理数.

第二章 推理与证明(复习)

学习目标 1. 了解合情推理和演绎推理的含义；

2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式； 3. 能用综合法和分析法进行数学证明； 4. 能用反证法进行数学证明.

学习过程 一、课前准备

（预习教材P28~ P55，找出疑惑之处） 复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理. 合情推理的结论 . 演绎推理是由 到 的推理.

演绎推理的结论 .

复习2：综合法是由 导 ;

分析法是由 索 .

直接证明的两种方法: 和 ;

是间接证明的一种基本方法. 二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：合情推理与演绎推理 问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？

探究任务一：直接证明和间接证明

问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？

※ 典型例题

例1 已知数列an的通项公式 a1n(n1)2(nN)， 记f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)的值.

变式：已知数列

113,135,157,,12n12n1 ⑴求出S1,S2,S3,S4；⑵猜想前n项和Sn.

（理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？

小结：归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种猜想，推理的结论都有待进一步证明. 例2已知tan，tan是关于x的一元二次方程x2+px+2=0的两实根. （1）求证：tan()p； （2）求证：3sin()pcos()0.

变式：如右图所示，SA平面ABC，ABBC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：⑴BC面SAB；⑵AFSC.

S

F

E A C B

小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性有较高的要求.

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

※ 动手试试

练1. 求证：当x2bxc20有两个不相等的非零实数根时，bc0.

练2. 数列{an}满足Sn2nan,nN*

（1）计算a1,a2,a3,a4，并由此猜想通项公式an； （2）用数学归纳法证明（1）中的结论.（理科）

三、总结提升

※ 学习小结

※ 知识拓展

帽子颜色问题

“有3顶黑帽子，2顶白帽.让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子.每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色.（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见.现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人.事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己

戴的是黑帽子.为什么?

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，

HHHHHH

HCHHCCHHCCCH

HHHHHH

CH4C2H6C写出后一种化合物的分子式．．．

是（ ）. 3H8A．C4H9 B．C4H10 C．C4H11 D．C6H12 2. 用反证法证明：“ab”，应假设为（ ）. A.ab B.ab C.ab D.ab

3. 所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电.属于哪种推理（ ）. A.演绎推理 B.类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 4. 用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角

形的个数n之间的关系式可以是___________.

5. 由“以点x220,y0为圆心，r为半径的圆的方程为xx0yy0r2”可以类比推出球的类似属性是 . 课后作业 1. 若sincos1,求证:sin6cos61

2. 求证yax22bxc,ybx22cxa,

ycx22axb(a,b,c是互不相等的实数),3条抛物线至少有一条与x轴有两个交点.

理：§2.3 数学归纳法(1)

学习目标 1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;

2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3. 数学归纳法中递推思想的理解. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P104~ P106，找出疑惑之处） 复习1：在数列{an}中，

aaan11,n11a,(nN*)，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式.

n

复习2：f(n)n2n41，当n∈N时，f(n)是否都为质数？

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：数学归纳法

问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?

新知：数学归纳法两大步：

（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立;

（2）归纳递推：假设n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.

试试：你能证明数列的通项公式a1nn这个猜想吗?

反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.

关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.

※ 典型例题

例1 用数学归纳法证明

122232n2n(n1)(2n1),nN*6

变式：用数学归纳法证明

1427310n(3n1)n(n1)2,nN*

小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.

例2 用数学归纳法证明:

首项是an1)d,前n项和的公式是Sn(n1)1,公差是d的等差数列的通项公式是ana1(nna12d.

变式：用数学归纳法证明:

首项是aq的等差数列的通项公式是an1a1(1qn)1,公比是na1q,前n项和的公式是Sn1q.(q1)

小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.

※ 动手试试

练1. 用数学归纳法证明:当n为整数时,

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

135(2n1)n2

练2. 用数学归纳法证明:当n为整数时, 12222n12n1

三、总结提升

※ 学习小结

1. 数学归纳法的步骤

2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.

※ 知识拓展

意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 用数学归纳法证明：

1aaa11an22n1a(a1)，在验证n1时，左端计算所得项为

A.1 B.1aa2 C.1a D.1aa2a3 2. 用数学归纳法证明

(n1)(n2)(n3)(nn)2n13(2n1)(nN*)时，从n=k到n=k+1，左端需要增加的代数式

为

2k12k3A. 2k1 B. 2(2k1) C. k1 D. k1 3. 设

f(n)111n(nN*)，那么f(n1)f(n)n1n22等于（ ）

11A. 2n1 B. 2n2

1111C. 2n12n2 D. 2n12n2

4. 已知数列{an}的前n项和

Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2,a3,a4，猜想an 5. 数列{xn}满足x11,x223，且112x（n2）

，则xn . n1xn1xn 课后作业 1. 用数学归纳法证明: 1111133557(2n1)(2n1)n2n1

2. 用数学归纳法证明:

1n2(n1)3(n2)n116n(n1)(n2)

理：§2.3 数学归纳法(2)

学习目标 1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;

2.数学归纳法中递推思想的理解.

学习过程 一、课前准备

（预习教材P107~ P108，找出疑惑之处） 复习1：数学归纳法的基本步骤？

复习2：数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：数学归纳法的各类应用 问题：已知数列 111114,47,710,,(3n2)(3n1)，猜想Sn的表达式，并证明.

新知：数学归纳法可以应用于：(1)数列的先猜后证;(2)证明不等式;(3)证明整除性问题;(4)证明几何问题.

试试：已知数列 112,123,1314,,1n(n1),,计算S1,S2,S3,由此推测计算Sn的公式.

反思：用数学归纳法证明时,要注意从nk时的情形到nk1的情形是怎样过渡的.

※ 典型例题

例1平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分

变式：证明凸n边形的对角线的条数f(n)12n(n3)(n4)

小结：用数学归纳法证明几何问题的关键是找项,即几何元素从k到k1所证的几何量增加多少.

例2 证明:n35n(nN*)能被6整除.

变式：证明:x2n1y2n1能被xy整除.

小结：数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项,而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段，凑出nk的情形，从而利用归纳假设使问题获证.

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

※ 动手试试

练1. 已知f(n)112131n,求证: f(2n)n2(nN*)

练2. 证明不等式|sinn|n|sin|(nN*)

三、总结提升

※ 学习小结

1. 数学归纳法可以证明不等式、数列、整除性等问题;

2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.

※ 知识拓展

不是所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明(11n)n(nN*)的单调性就难以实现. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 使不等式2nn21对任意nk的自然数都成立的最小k值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. 若命题p(n)对n=k成立，则它对nk2也成立，又已知命题p(2)成立，则下列结论正确的是 A. p(n)对所有自然数n都成立 B. p(n)对所有正偶数n成立 C. p(n)对所有正奇数n都成立

D. p(n)对所有大于1的自然数n成立

3. 用数学归纳法证明不等式1111127242n1成立，起始值至少应取为

A.7 B. 8 C. 9 D. 10

4. 对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除,则最小的自然数a= . 5. 用数学归纳法证明等式

123(2n1)(n1)(2n1)时,当n1时左边表达式是 ;从kk1需增添的项的是 . 课后作业 1. 给出四个等式: 1=1 1-4=-(1+2) 1-4+9=1+2+3 1-4+9-16=-(1+2+3+4) „„

猜测第n个等式，并用数学归纳法证明.

2. 用数学归纳法证明:

(11)(1113)(12n1)2n1(nN*)

§3.1.1 数系的扩充与复数的概念

学习目标 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.

学习过程 一、课前准备 （预习教材P60~ P62，找出疑惑之处）

复习1：实数系、数系的扩充脉络是：

→ → → ，

用集合符号表示为：    复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）： （1）x23x40 （2）x24x50

（3）x22x10 （4）x210

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：复数的定义 问题：方程x210的解是什么？ 为了解决此问题，我们定义iii21，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .

新知：形如abi的数叫做复数，通常记为zabi（复数的代数形式），其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集Cabi|a,bR叫做复数集. 试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。 23i，84i，83i，6，i，29i，7i，0

反思：形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数z的实部， 叫做复数z的虚部.

对于复数abi(a,bR)当且仅当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数；

探究任务二：复数的相等

若两个复数abi与cdi的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等. abi=cdi  ； abi=0  .

注意:两复数 比较大小.

※ 典型例题

例1 实数m取什么值时，复数zm1(m1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

变式：已知复数za27a6a21(a25a6)i(aR)，试求实数a分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

实数 (b=0)小结：数集的关系：复数z虚数 (b0)一般虚数(b0,a0) 纯虚数(b0,a0) 例2已知复数abi与3(4k)i相等，且abi的实部、虚部分别是方程x24x30的两根，试求：a,b,k的值.

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

变式：设复数zabi(a,bR)，则z为纯虚数的必要不充分条件是（ ） A．a0 B．a0且b0 C．a0且b0 D．a0且b0

小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.

※ 动手试试

练1. 若(3x2y)(5xy)i172i，求x,y的值.

练2. 已知i是虚数单位，复数zm2(1i)m(23i)4(2i)，当m取何实数时，z是： （1）实数；（2） 虚数；（3）纯虚数；（4）零.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 复数的有关概念；

2. 两复数相等的充要条件； 3. 数集的扩充.

※ 知识拓展

复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 实数m取什么数值时，复数zm1(m1)i是实数（ ） A．0 B．1 C． 2 D．3

2. 如果复数abi与cdi的和是纯虚数，则有（ ） A．bd0且ac0 B．bd0且ac0 C．ad0且bd0 D．bc0且bd0

3. 如果za2a2(a23a2)i为实数,那么实数a的值为（ ） A．1或2 B．1或2 C．1或2 D．1或2

4.若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x的值是 5. 若(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i，则实数 x= ；y= . 课后作业 1. 求适合下列方程的实数与的值: (1)(3x2y)(5xy)i172i (2)(xy3)(x4)i0

2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举出例子；若不存在,请说明理由. (1)实部为2的虚数 (2)虚部为2的虚数 (3)虚部为2的纯虚数

§3.1.2 复数的几何意义

学习目标 理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.

学习过程 一、课前准备 （预习教材P62~ P，找出疑惑之处）

复习1：复数z(x4)(y3)i，当x,y取何值时z为实数、虚数、纯虚数？

复习2：若(x4)(y3)i2i，试求x,y的值，（(x4)(y3)i2呢？）

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：复平面 问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？ 分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部b同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.

结论：复数与平面内的点或序实数一一对应.

新知：

1.复平面：以x轴为实轴， y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.

显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

.

2. 复数的几何意义:

复数zabi一一对应复平面内的点Z(a,b)；复数zabi一一对应平面向量OZ

；

复平面内的点Z(a,b)一一对应平面向量OZ.

注意：人们常将复数zabi说成点Z或向量OZ，规定相等的向量表示同一复数.

3. 复数的模

向量OZ的模叫做复数zabi的模,记作|z|或|abi|.如果b0,那么zabi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值),由模的定义知:

|z||abi|ra2b2(r0,rR)

试试：复平面内的原点(0,0)表示 ，实轴上的点(2,0)表示 ，虚轴上的点(0,1)表示 ，点(2,3)表示复数

反思：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.

※ 典型例题

例1在复平面内描出复数23i，84i，83i，6，i，29i，7i，0分别对应的点.

变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).

小结：

复数zabi一一对应复平面内的点Z(a,b).

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

a27a6例2已知复数z试求实数a分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；(a25a6)i(aR)， 学习评价 a21（2）位于复平面第一象限；（3）在直线xy0上；（4）在上半平面（含实轴）

变式：若复数z(m23m4)(m25m6)i表示的点（1）在虚轴上，求实数m的取值；（2）在右半平面呢？

小结：复数zabi一一对应平面向量OZ.

※ 动手试试

练1. 在复平面内画出23i,42i,13i,4i,30i所对应的向量.

练2. 在复平面内指出与复数z112i，z223i，z332i，z42i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4.试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 复平面的定义； 2. 复数的几何意义； 3．复数的模.

※ 知识拓展

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i（2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

2. 对于实数a,b，下列结论正确的是（ ） A．abi是实数 B．abi是虚数 C．abi是复数 D．abi0

3. 复平面上有点A，B其对应的复数分别为3i和13i，O为原点，那么是AOB是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 4. 若z12i，则|z| 5. 如果P是复平面内表示复数abi(a,bR)的点，分别指出下列条件下点P的位置： （1）a0,b0 （2）a0,b0 （3）a0,b0 （4）b0 课后作业 1．实数取什么值时，复平面内表示复数z(m28m15)(m25m14)i的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线yx上？

2. 在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是2i（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数.（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.

§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

学习目标 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P66~ P67，找出疑惑之处）

复习1：试判断下列复数14i,72i,6,i,20i,7i,03i在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量.

复习2：求复数zlog223i的模

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：复数代数形式的加减运算 规定：复数的加法法则如下：

设z1abi,z2cdi，是任意两个复数，那么。 (abi)(cdi)(ac)(bd)i

很明显，两个复数的和仍然是 . 问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？

新知：对于任意z1,z2,z3C，有 z1z2z2z 1 (z1z2)z3z1(z2z )3

探究任务二：复数加法的几何意义

问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？

由平面向量的坐标运算，有OZ=OZ 1OZ2=（ ）

新知：

复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）

试试：计算

（1）(14i)+(72i)= （2）(72i)+(14i)= （3）[(32i)+(43i)](5i)=

（4）(32i)+[(43i)(5i)]=

反思：复数的加法运算即是：

探究任务三：复数减法的几何意义

问题：复数是否有减法？如何理解复数的减法？

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算. 新知：复数的减法法则为：

(abi)(cdi)(ac)(bd)i

由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.

复数减法的几何意义：复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.

※ 典型例题

例1 计算 (56i)(2i)(34i)

变式：计算

（1）84i5（2）54i3i

（3）23i329i2i

小结：

两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减.

例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，32i，24i（1）AO表示的复数；（2）CA，试求：表示的复数； （3）B点对应的复数.

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

变式： ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是13i,i,2i，求点D对应的复数.

小结：减法运算的实质为终点复数减去起点复数，即：ABzBzA

※ 动手试试 练1. 计算：（1）(24i)(34i)；（2）5(32i)； （3）(34i)(2i)(15i)； （4）(2i)(23i)4i

练2. 在复平面内，复数65i与34i对应的向量分别是OA与OB，其中O是原点，求向量AB，BA对应的复数.

三、总结提升

※ 学习小结

两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行.

※ 知识拓展

复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. a0是复数abi(a,bR)为纯虚数的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 2. 设O是原点，向量 OAD．既非充分也非必要条件，OB

对应的复数分别为23i，32i，那么向量BA对应的复数是（ ） A．55i B．55i C．55i D．55i 3. 当23m1时，复数m(3i)(2i)在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4. ii2在复平面内表示的点在第 象限.

5. 已知z134i，点z2和点z1关于实轴对称，点z3和点z2关于虚轴对称，点z4和点z2关于原点对称，则z2= ；z3= ；z4= 课后作业 1. 计算：

（1）(65i)(32i)；（2）5i(22i)；

（3）(23i)(123i)(1234i)；

（4）(0.51.3i)(1.20.7i)(10.4i)

2. 如图的向量OZ对应的复数是z，试作出下列运算的结果对应的向量： （1）z1；（2）zi；（3）z(2i)

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算

学习目标 1. 理解共轭复数的概念；

2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P68~ P70，找出疑惑之处） 复习1：计算（1）(14i)+(72i) （2）(52i)+(14i)(23i) （3）(32i)-[(43i)(5i)]

复习2：计算：

(ab)2= (3a2b)(3a2b)= (3a2b)(a3b)=

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：复数代数形式的乘法运算 规定，复数的乘法法则如下：

设z1abi,z2cdi，是任意两个复数，那么

(abi)(cdi)acbciadibdi2 =(acbd)(adbc)i

即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可.

问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？

试试：计算（1）(14i)(72i) （2）(72i)(14i)

（3）[(32i)(43i)](5i) （4）(32i)[(43i)(5i)]

新知：对于任意z1,z2,z3C，有 z1z2z2 z1 (z1z2)z3z1(z2z )3 z1(z2z3)z1z2z1z3)

反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.

探究任务二：共轭复数

新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

试试：34i的共轭复数为

abi的共轭复数为 bi的共轭复数为

问：若z1,z2是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为： （2）z1z2是一个怎样的数？

探究任务三：复数的除法法则

(abi)(cdi)abi(abi)(cdi)acbdbccdi(cdi)(cdi)ad2(cdi0)c2d2c2di

※ 典型例题 例1 计算：

（1）(34i)(34i)； （2）(1i)2

变式：计算：

（1）(32i)(32i)；（2）(1i)2； （3）i(2i)(12i)

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

小结：复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算. 例2 计算（1）(12i)(34i)； （2）23i123i(219961i)

变式：计算（1）

32i(12i)2，（2）3i(1i)21

小结：复数的除法运算类似于实数集上的除法运算。

※ 动手试试 练1. 计算：（1）(12i)(34i)(2i)

练2. 计算：（1）1i1i， （2）1i(1i)(2i)1i， （3）i

三、总结提升

※ 学习小结

1. 复数的乘除运算； 2. 共轭复数的定义.

※ 知识拓展

i具有周期性，即：i4n1；i4n1i；i4n2i21； i4n3i； 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 复数5i2的共轭复数是（ ）

A．i2 B．i2 C．2i D．2i

2. 复数(1232i)3的值是（ ）

A．i B．i C．1 D．1

3. 如果复数2bi12i的实部和虚部互为相反数，那么实数b的值为（A．2 B．2 C．23 D．23

4.若z12i，则z22z的值为 5. 若复数z满足1z1zi，则|z1|的值为

课后作业 1. 计算：

（1）(1232i)(1i)；（2）(32i12)(1232i)

（3）2i74i；（4）5(4i)2i(2i)

）

2. 已知2i3是关于x的方程2x2pxq0的一个根，求实数p,q的值.

第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课）

学习目标 掌握复数的的概念，复数的几何意义以及复数的四则运算.

学习过程 一、课前准备 （预习教材P72找出疑惑之处）

复习1：复数集C、实数集R、有理数集Q、整数集Z和自然数集N之间的关系为：

复习2：已知z510i，z1111234i，zz，求z.

1z2

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：复数这一章的知识结构

问题：数系是如何扩充的？本章知识结构是什么？

新知：

试试：若z1a2i,zz1234i，且z为纯虚数，求实数a的值. 2

变式：（1）z1z1z对应的点在复平面的下方（不包括实轴），求a的取值范围（.2）对应的点在直线xy0，2z2

求实数a的值.

反思：若复数abi(a,bR)是实数，则 是虚数，则 ；是纯虚数，则 ； 其模为 ；其共轭复数为 . 若abicdi(a,b,c,dR)，则 .

※ 典型例题

例1 已知mR，复数zm(m2)(m2m12m3)i，当m为何值时，

（1）zR？（2）z是纯虚数？（3）z对应的点位于复平面第二象限？（4）z对应的点在直线xy30上？

变式：已知m1i1ni，其中m,n是实数，i是虚数单位，则mni=

小结：掌握复数分类是解此题的关键.在计算时，切不可忘记复数abi(a,bR)为纯虚数的一个必要条件是b0，计算中分母不为0也不可忽视.

例2 设存在复数z同时满足下列条件： （1）在复平面内对应的点位于第二象限；

（2）zz2iz8ai(aR)；试求z的取值范围

高二数学◆选修1-2&2-3◆导学案 编写：

变式：已知复数z满足z|z|28i，求复数z

小结：复数问题实数化是解决复数问题的主要方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式zabi(a,bR)，由复数相等得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个的基本量. 例3 在复平面内

（1）复数z(a22a4)(a22a2)i，（2）满足|z1||z1|4的复数z，对应的点的轨迹分别是什么？

※ 动手试试

练1. 已知复数z(2i)m26m1i2(1i)，当实数m取什么值时，复数是（1）零；

（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.

练2. 若log22(x3x2)ilog2(x22x1)1，则实数的值（或范围）是 .

三、总结提升

※ 学习小结

复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式zabi(a,bR)，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个的基本量.根据复数相等一般可解决如下问题：（1）解复数方程；（2）方程有解时系数的值；（3）求轨迹问题.

※ 知识拓展

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. (1i)2i等于（ ）

A．22i B．22i C．2 D．2

3. 复数(11i)2的值是（ ）

A．2i B．2i C．2 D．2

4.复数21i的实部是 ，虚部是

5. (158i)(12i)的值是 课后作业 1. 已知(12i)z43i，求z及zz.

2. 设z11是虚数，z2z1z是实数，且1z21（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；1（2）若1z11z，求证为纯虚数. 1