复合函数微分法与隐函数微分法

第九讲 复合函数微分法

在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 下面分几种情况来讨论.

一、 多元复合函数微分法

1、复合函数的中间变量为多元函数的情形

zzuzv,zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)zf[u(x,y),v(x,y)],设构成复合函数则xuxvx

zzuzv,yuyvy

2、复合函数的中间变量为一元函数的情形

设函数zf(u,v),uu(t),vv(t)构成复合函数zf[u(t),v(t)]

dzzduzdv. dtudtvdt

dz导数dt称为全导数.

3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形

定理3 如果函数uu(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数, 函数vv(y)在点y可导，函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数, 则复合函数zf[u(x,y),v(y)]在对应点

(x,y)的两个偏导数存在, 且有

zzuzdvzzu.,xux yuyvdy

在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:

2f(u,v)f(u,v)f(u,v)f1,f2,f12uv, vu

这里下标1表示对第一个变量u求偏导数，下标2表示对第二个变量v求偏导数，同理

,f22, 等等. 有f11zz.u例1设zesinv,而uxy,vxy, 求x和y

dz.tue,vcost,zuvsint,例2设而 求导数dt

第十讲 隐函数微分法

二、 隐函数微分法

在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程

F(x,y)0

来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，

并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.

定理4 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且

Fy(x0,y0)0,F(x0,y0)0,则方程F(x,y)0在点P(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连

续且具有连续导数的函数yf(x), 它满足y0f(x0), 并有

dyFx.dxFy

定理5 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内有连续的偏导数, 且

F(x0,y0,z0)0,Fz(x0,y0,z0)0,

则方程F(x,y,z)0在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x,y), 它满足条件z0f(x0,y0),并有

Fyz.yFzzFx,xFz

例

dydy,xyee0ydxdx3 求由方程所确定的隐函数的导数

xyx0.

xzzzln,.y所确定的隐函数zf(x,y)的偏导数xy 例4求由方程z例5

z33求由方程z3xyza(a是常数)所确定的隐函数zf(x,y)的偏导数xz.y和

2z.2222xyz4z0,例6设 求 x