2015-2016学年江苏省镇江市丹阳高中高二（上）期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1．(★★★)已知集合A={2，3，4}，B={-1，0，3}，则A∩B= {3} ．
2．(★★★★)若
=a+bi（a，b∈R），则a+b= 1 ．
3．(★★★★)已知角α的终边经过点（-1，
），则sin（α+ ）的值=
．
4．(★★★★)“| |=| |”是“ = ”的 必要不充分 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）
5．(★★★★)下面的伪代码输出的结果是 24 ．
6．(★★★★)函数f（x）=x +4x+5在x=1处的切线方程为 7x-y+3=0 ．
3
7．(★★★)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S 7=7，S 15=75，则数列{a n}的通项公式为 a n=n-3 ．
n
8．(★★★)设函数f（x）= f 1（x）=f（x）=
，
， ， ，
（x＞0），观察：
f 2（x）=f（f 1（x））= f 3（x）=f（f 2（x））= f 4（x）=f（f 3（x））=
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N 且n≥2时，f n（x）=f（f n-1（x））=
*
．
9．(★★★)若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为x+3y=0，则此双曲线的离心率为
或 ．
10．(★★★★)如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E，F分别为
线段AA 1，B 1C上的点，则三棱锥D 1-EDF的体积为 ．
11．(★★)已知A（-2，0），B（2，0），点P在圆（x-3） +（y-4） =r （r＞0）上，满足PA +PB =40，若这样的点P有两个，则r的取值范围是 （1，9） ．
2
2
2
2
2
12．(★★★)设M是△ABC内一点，且
•
=4
，∠BAC=30o，定义f（M）=（m，n，
p），其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（1，n，p），则 + 的最小值为 6 ．
13．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，过点P（-5，a）作圆x +y -2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），且 或-2 ．
+
=0，则实数a的值为 3
2
2
14．(★★★)已知一非零向量数列{a n}满足 x n-1+y n-1）（n≥2且n∈N ）．给出以下结论： ①数列{|
|}是等差数列，
*
=（2，0）， =（x n，y n）= （x n-1-y n-1，
②| |•| |= ；
|，则数列{c n}的前n项和为T n，当且仅当n=2时，T n取得最大值； 的夹角为θ n（n≥2），均有θ n= ．
③设c n=2log 2| ④记向量
与
其中所有正确结论的序号是 ④ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(★★★★)已知以角C为钝角的三角形ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c， =（a，2c）， =（
，-sinA），且 与 垂直．
（1）求角C的大小；
（2）求cosA+cosB的取值范围．
16．(★★★)在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD=2BC，
AB=PB，E为PA的中点． （1）求证：BE∥平面PCD； （2）求证：平面PAB⊥平面PCD．
17．(★★★)如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A
（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．
（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？ （2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？
18．(★★★)一束光线从点F 1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F 2（1，0）． （1）求P点的坐标；
（2）求以F 1、F 2为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使
得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．
19．(★★)已知f（x）=（x-1） ，g（x）=10（x-1），数列{a n}满足a 1=2，（a n+1-a n）g（a n）+f（a n）=0，b n=
（1）求证：数列{a n-1}是等比数列；
（2）当n取何值时，{b n}取最大值，并求出最大值； （3）若
＜
对任意m∈N 恒成立，求实数t的取值范围．
*2
．
20．(★★★)已知函数f（x）=ax +ln（x+1）． （Ⅰ）当
时，求函数f（x）的单调区间；
2
（Ⅱ）当x∈0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围． （Ⅲ）求证： 是自然对数）．
（其中n∈N ，e
*
