昌平2014.05理科

昌平区2014年高三年级第二次统一练习

数 学 试 卷（理 科） 2014.05

考生须知：

1． 2． 3．

本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

4． 5．

(D(X)(x1E(x))2p1(x2E(x))2p2L(xnE(x))2pn)

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

(1) 已知集合A{x2x13},B{xx4} , 则AUB（ ）

(A) {x2x1} (B) {xx2} (C) {x2x1} (D) {xx2} (2) “a1,b1”是“ab1”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

2（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

(3) 设a4,blog30.1,c0.5，则（ ）

（A）abc （B）bac （C）acb （D）bca (4) (x2)6的展开式中x的系数是 （ ）

（A）120 （B）120 （C）60 （D）60

20.10.1 1

(5) 在ABC中，BC23,AC2，SABC6，则C等于（ ）

（A）

 （B） 43 （C）

32或 （D）或

4343

(6) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） 4

（A）12 （B）36 6（C）24 （D）72 主视图主视图

俯视图 俯视图

(7) 如图，AB是半圆O的直径，C,D是弧AB的三等分点，

3左视图 左视图

M,N是线段AB的三等分点，若OA6，则MDNC 的

值是（ ）

（A）2 （B）10 （C）26 （D）28

11, x1,（8）已知f(x)x，若函数g(x)f(x)kxk只有一个零点，则k的

lnx, 0x1取值范围是（ ）

（A）(,1)U(1,) （B）(1,1) （C）[0,1] （D）(,1]U[0,1]

第二卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

2

(9) 若数列{an}满足：a11,an1

1an(nN*)，则a4_______ . 2(10)圆C：2sin的圆心到直线l:sin2的距离为_________ .

(11)如图，已知eO中，弦BC23,BD为eO直径. 过点C作eO的切线，交BD的延长线于点A，

ABC30.则AD____ .

（12）已知抛物线y2px(p0)的焦点为F(2,0)，则p________，

过点A(3,2)向其准线作垂线，记与抛物线的交点为E，则EF_____.

（13）选派5名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派

方法共有_____种 .

2M,则(14) 已知正方体ABCDA1BC11D1的棱长为2，在四边形ABC1D1内随机取一点

AMB90的概率为_______ ，AMB135的概率为_______.

3

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

已知函数f(x)cos2xsinx1,(xR).

7)的值； 62]时，求f(x)的取值范围. （Ⅱ）当x[,63（Ⅰ）求f(

(16)(本小题满分13分)

某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求完成.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是题正确完成与否互不影响.

(Ⅰ) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望； (Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？

2,且每3 4

(17)(本小题满分14分)

已知正四棱柱ABCDA1BC11D1中，AB2,AA14. （Ⅰ）求证：BDAC1；

（Ⅱ）求二面角AAC1D1的余弦值；

平面PBD，（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面ACD若存在，求出11的值；若不存在，请说明理由.

(18)(本小题满分13分)

已知函数f(x)axlnx,(a0). （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

CP PC1（Ⅱ）当a0时，若对于任意的x(0,)，都有f(x)3ax1成立，求a的取值范围.

5

(19)(本小题满分13分)

x2y2已知椭圆C:221(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，点B(0,3)为短轴的一个端

ab点，OF2B60. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点，A为椭圆的右顶点，直线

AE,AF分别交直线x3于点M,N，线段MN的中点

为P，记直线PF2的斜率为k'. 求证: kk'为定值.

(20)(本小题满分14分)

已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)a1a2Lan,B(n)a2a3Lan1,

C(n)a3a4Lan2,n1,2,L .

（Ⅰ）若a11,a25，且对任意nN，三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列，求数列

*{an}的通项公式.

（Ⅱ）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN，三个数

*A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.

6

昌平区2014年高三年级第二次统一练习

数学试卷（理科）参及评分标准 2014.05

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 题 号 答 案

（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） B A C D C A C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

1 （9） （10）3

85（11）2 （12）4；

2（13）240 （14）（第一空2分，第二空3分）

2222； 1616三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）因为f(x)cosxsinx1

1sinxsinx1 „„„1分 sinxsinx (sinx)2221 ， „„„3分 4771211113)(sin)()2 . „„„6分 所以f(66242244212（或f(7313)()21 „„„3分） 6224（Ⅱ）因为x[26,3]

7

1,1]. „„„8分 211所以sinx[1,].

2212所以(sinx)[0,1]. „„„10分

所以sinx[2 所以(sinx12)2[1,0].

所以(sinx12)21314[4,4]. 所以f(x)的取值范围为[314,4].

(16)(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为, 则的取值分别为1,2,3. P(1)C124C21C3； 65P(2)C214C23C3； 6530P(3)C4C2C31； 65 考生甲正确完成题数的分布列为  1 2 3

P 1 3155 5

E1152353152. 设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为0,1,2,3. P(0)C03(13)3127； P(1)C1211263(3)(3)27,

8

„„„12分

„„„13分

„„„1分

„„„3分 „„„„„„4分

„„„„„„5分

122221P(2)C3()(),

33278323P(3)C3(). „„„„„„7分

327 考生乙正确完成题数的分布列为:

E0 P 0 1 2 3 1 276 2712 278 27161281232. „„„„„„8分 272727271312222(Ⅱ)因为D(12)(22)(32), „„„„„10分

55551612822(12)2(22)2(32)2. „„12分 D(02)2727272732（或Dnpq）.

3 所以DD. (或：因为P(2)311280.8,P(2)0.74, 552727 所以P(2)P(2). )

综上所述，

从做对题数的数学期望考查,两人水平相当； 从做对题数的方差考查,甲较稳定；

从至少完成2道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大. „„„„„13分

（说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.）

(17)(本小题满分14分)

证明：(Ⅰ)因为ABCDA1BC11D1为正四棱柱，

所以AA1平面ABCD，且ABCD为正方形. „„„1分 因为BD平面ABCD，

所以BDAA1,BDAC. „„„2分

9

因为AA1ACA,

所以BD平面A1AC. „„„3分

因为AC平面A1AC, 1所以BDAC1. „„„4分 (Ⅱ) 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.则

D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4) „„„5分

uuuuruuur 所以D1A1(2,0,0),DC(0,2,4). 1 设平面A1D1C的法向量n(x1,y1,z1).

uuuurx10,nD1A10, 所以 uuu.即„„6分 r2y14z10nD1C0 令z11，则y12. 所以n(0,2,1).

由（Ⅰ）可知平面AAC的法向量为 1uuurDB(2,2,0). „„7分

uuur 所以cosDB,n410. „„8分 5522 因为二面角AAC1D1为钝二面角，

所以二面角AAC1D1的余弦值为10. „„„9分 5uuruuur(Ⅲ)设P(x2,y2,z2)为线段CC1上一点,且CPPC1(01). uuruuur 因为CP(x2,y22,z2),PC1(x2,2y2,4z2).

10

所以(x2,y22,z2)(x2,2y2,4z2). „„„10分 即x20,y22,z2所以P(0,2,4. 14). „„„11分 1设平面PBD的法向量m(x3,y3,z3).

uuurr4uuu),DB(2,2,0)， 因为DP(0,2,1

uuur4mDP0,2yz30,3 所以 .即. „„„12分 1uuurmDB02x32y30 令y31，则x31,z3 所以m(1,1,1. 21). „„„13分 2平面PBD，则mn0. 若平面ACD11即2110，解得. 23所以当

CP1平面PBD. „„„14分 时，平面ACD11PC13(18)(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,). „„„„„ 1分

因为f'(x)alnxaa(lnx1)， „„„„„ 2分 令f'(x)0，解得x1. „„„„„ 3分 e①当a0时， 随着x变化时，f(x)和f'(x)的变化情况如下：

x f'(x) 1(0,) e1 e1(,) e 0  11

f(x) 1e↘ ↗ 即函数f(x)在(0,)上单调递减，在(,)上单调递增. „„„„„ 5分 ②当a0时， 随着x变化时，f(x)和f'(x)的变化情况如下：

1ex f'(x) f(x) 1e1(0,) e1 e1(,) e ↗ 0  ↘ 即函数f(x)在(0,)上单调递增，在(,)上单调递减. „„„„„ 7分

（Ⅱ）当a0时，对于任意的x(0,)，都有f(x)3ax1成立，

即axlnx3ax1.

所以axlnx3ax10.

设g(x)axlnx3ax1.

因为g'(x)alnxa3aa(lnx2), „„„„„ 8分 令g'(x)0，解得xe. „„„„„ 9分 因为a0，

所以随着x变化时，g(x)和g'(x)的变化情况如下：

21ex g'(x) g(x) 2(0,e2) e2 0 2(e2,)  ↗  ↘ 即函数g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减. „„„„„ 10分 所以gmax(x)g(e2)ae2lne23ae21ae21. „„„„„ 11分 所以ae10.

21. „„„„„ 12分 2e1 所以a的取值范围为(2,0). „„„13分

e 所以a 12

法二：

当a0时，对于任意的x(0,)，都有f(x)3ax1成立， 即axlnx3ax1. 所以a(xlnx3x)1. 即

1xlnx3x. „„„„„ 8分 a设g(x)xlnx3x. 因为g'(x)lnx2,

令g'(x)0，解得xe. „„„„„ 9分

所以随着x变化时，g(x)和g'(x)的变化情况如下：

2x g'(x) g(x) (0,e2) e2 0 (e2,)  ↘  ↗ 即函数g(x)在(0,e2)上单调递减，在(e2,)上单调递增. „„„„„ 10分 所以gmin(x)g(e2)e2lne23e2e2. „„„„„ 11分

1e2. a1 所以a2. „„„„„ 12分

e1 所以a的取值范围为(2,0). „„„13分

e 所以

(19)(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）由条件可知a2,b3， „„„„2分

x2y21. „„„„4分 故所求椭圆方程为43（Ⅱ）设过点F2(1,0)的直线l方程为：yk(x1). „„„„5分

13

yk(x1),由x2y2可得：(4k23)x28k2x4k2120 „„„„6分

134因为点F2(1,0)在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即0恒成立. 设点E(x1,y1),F(x2,y2)，则

x8k2xx4k212124k23,1x24k23. 因为直线AE的方程为：yy1x(x2)， 12直线AF的方程为：yy2x2(x2)， 2令x3，可得M(3,y1)，N(3,y2x)， 12x22所以点P的坐标(3,12(y1xy2)). 12x221(y1y2直线PF2x)012x222的斜率为k'31

14(y1xy2) 12x221x1y2x2y142(y1y2)xx 1x22(x12)412kx1x23k(x1x2)4k4xx4 122(x1x2)2k4k2128k2123k244k34k34k4k2128 4k232k24k23414

„„„„8分 „„„9分 „„„10分 12分 „„„„

所以kk为定值

(20)(本小题满分14分)

3 4k3. „„„„13分 4解: (Ⅰ) 因为对任意nN，三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列，

所以B(n)A(n)C(n)B(n). „„„1分 所以an1a1an2a2, „„„2分 即an2an1a2a14. „„„3分 所以数列an是首项为１，公差为４的等差数列. „„„4分 所以an1(n1)44n3. „„„5分 （Ⅱ）（１）充分性：若对于任意nN，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等

比数列，则

B(n)qA(n),C(n)qB(n). „„„6分

所以C(n)B(n)qB(n)A(n),得an2a2q(an1a1),

即an2qan1a2qa1. „„„7分

因为当n1时，由B(1)qA(1),可得a2qa1， „„„8分

所以an2qan10. 因为an0， 所以

an2a2q. an1a1即数列an是首项为a1，公比为q的等比数列， „„„9分 （２）必要性：若数列an是公比为q的等比数列，则对任意nN，有

 15

an1anq. „„„10分

因为an0，

所以A(n),B(n),C(n)均大于0.于是

B(n)a2a3...an1q(a1a2...an)q, „„„11分 A(n)a1a2...ana1a2...anC(n)a3a4...an2q(a2a3...an1) q, „„„12分

B(n)a2a3...an1a2a3...an1即

B(n)C(n)＝＝q，所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. A(n)B(n)„„„13分

综上所述，数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. „„„14分

【各题若有其它解法，请酌情给分】

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