八上全等三角形证明方法归纳经典

【第1部分 全等基础知识归纳、小结】

1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中，互

相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

概念深入理解：

（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像）

（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化）

2、全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：

全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。 （1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。

（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。

4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找

如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找

全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

.

图1 图2 图3

.

（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；

5、全等三角形的判定：（深入理解）

①边边边（SSS） ②边角边（SAS） ③角边角（ASA） ④角角边（AAS） ⑤斜边，直角边（HL） 注意：（容易出错）

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；

（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角

对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F

⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。

.

.

C'【第2部分 中点条件的运用】

A'BO1、还原中心对称图形（倍长中线法）

中心对称与中心对称图形知识：

B'AC 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这

两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

中心对称的两条基本性质：

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。 （2）关于中心对称的两个图形是全等图形。 中心对称图形

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。（一个图形）如：平行四边形

线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想）。

例1、AD是△ABC中BC边上的中线，

若AB2，AC4，则AD的取值范围是_________。

例2、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，

ABDCA求证：ACBE。

.

FEBDC.

例3、如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD

的中线。求证：AC=2AE

例4 △ABC中，AD、BE、CF是三边对应中线。（则O为重心） 求证：①AD、BE、CF交于点O。（类倍长中线）； ②S 练习

1、在△ABC中，D为BC边上的点，已知∠BAD∠CAD，BDCD，求证：ABAC

BFODCAOBSBOCSCOA

AEAB

2、如图，已知四边形ABCD中，ABCD，M、N分别为BC、AD中点，延长MN与AB、CD延长

EDC

线交于E、F，求证∠BEM∠CFM

BAFDMC3、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM （基本型：同角或等角的补角相等、K型）

E

BMCAD.

.

ACl2B2、两条平行线间线段的中点（“八字型”全等）

如图，l1∥l2，C是线段AB的中点，那么过点C的任何 直线都可以和二条平行线以及AB构造“8字型”全等

例1 已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是AB的中点，连接DE 、CE。 求证：S

BCDECl11S梯ABCD 2ADE例2 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于点E，

∠CEM=40°，求∠DME的大小。（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

EBCAMD例3 已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD∠ACE=90°，连接DE，设M为DE的中

点。⑴求证：MBMC；⑵设∠BAD∠CAE，固定Rt△ABD，让Rt△ACE移至图示位置，此时MBMC是否成立？请证明你的结论。

.

ACAEEDBMDBMC.

练习 1、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．若BD=BC，F是CD的中点，试问：

∠BAF与∠BCD的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；

BCADF2、Rt△ABC中，∠BAC=90°，M为BC的中点，过A点作某直线l，过B作BDl于点D，过C作CEl于点E。 （1）求证：MD=ME （2）当直线l与CB的延长线相交时，其它条件不变，（1）中的结论是否任然成立？ B

3、如图（1），在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；

（2）将图（1）中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。（结合前面“8字型”全等，仔细思考）

FElAAElDMCDBMCE ADMFADMBCE

.

BCGG.

3、构造中位线

三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．

重点区分：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它对边的中点；而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

（全等法）在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，证明：DE∥BC，DE=

A1BC 2证明：延长DE至F点，使DE=EF，连接CF（倍长中线）

EFD

BC

三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来，将题目给出 的分散条件集中起来（集散思想）。注：题目中给出多个中点时，往往中点还是不够用的。

例1 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形。

BFCEAHDG例2 已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，

MN分别交BD、AC于点E、F.

A你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？

BMEOFDNC练习 1、三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6，AC=14，求DE的长。

DA

BEC.

.

2、AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，DF=EF，甲从B出发，沿着BA->AD->DF的方向运动，乙B出发，沿着BC->CE->EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达F点？

DACFBE3、等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE中，∠ACB=∠EDC=90°，连AE、BE，点M为BE 的中点，连DM。 （1）当D点在BC上时，求

DM的值 AE（2）当△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角时，上结论是否任然成立，试证明

BMDEACAEBMDC.

.

4、△ABC、△CEF都为等腰直角三角形，当E、F在AC、BC上，∠ACB=90°，连BE、 AF，点M、N分别为AF、BE的中点 （1）MN与AE的数量关系

（2）将△CEF绕C点顺时针旋转一个锐角，MN与AE的数量关系

NBBN A

4、与等面积相关的图形转换

MEFEAMCFC 在涉及三角形的面积问题时，中点提供了底边相等的条件，这里有个基本几何图形

A 如图，△ABC中，E为BC边的中点，那么显然

△ABE和△AEC有相同的高AD，底边也相等，故面积相等。

BDECS四边形AGCD例 E、F是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则=

S矩形ABCDDC

.

GFAEB.

扩展 如图，等腰Rt△ACD与Rt△ABC组成一个四边形ABCD，AC=4，对角线BD把

四边形ABCD分成了二部分，求S

CABDSBCD的值。

D

【5、等腰三角形中的“三线合一”】

BA “三线合一”是相当重要的结论和解题工具，它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着极为亲密的关系。

例 △ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，问∠CBD和∠BAC的关系？

DDBBDAAA

BCCC分析：∠CBD和∠BAC分别位于不同类型的三角形中，可以考虑转为同类三角形。

例 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，

MN⊥AC于点N，则MN=_____

【6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】

这可以作为一个定理直接运用，关于这个定理的证明有多种方法，包括利用前面所讲中点的一些知识。

例 如图Rt△ABC中，∠ACD=90°，CD为斜边AB上的中线 求证：CD=

BMNAC1AB 2AD（1）利用垂直平分线的性质：垂直平分线上任一点到线段 的二个端点的距离相等。

.

ECFB.

取AC的中点E，连接DE。则DE∥BC（中位线性质）

BC⊥AC ，DE⊥AC ∠ACB=90°

AD 则DE是线段AC的垂直平分线AD=CD （2）全等法，证法略。

CFB例 在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中A点，求证：四边形EFGD是等腰梯形。

FG

BEDC练习 1、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB，M、N分别在AC、AB上，且AN=BM。

AO为斜边BC的中点。试判断△OMN的形状，并说明理由。

2MNBOC2、ΔABC中，∠A=90°，D是BC的中点，DE⊥ DF。求证: BECFEF （集散思想）

BDCEFA22

3、ΔABC中，AB=AC，点D在BC上，E在AB上，且BD=DE，点P、M、N分别为AD、BE、BC

A的中点

E（1）若∠BAC=90°，则∠PMN=_______，并证明

MP（2）若∠BAC=60°，则∠PMN=_______

，则∠PMN=_______ （3）若∠BAC= A MEPBDNCAEMBP BDNCDNC.

.

【中点问题练习题】

1、假设给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题： （1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；

（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，

连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；

（3）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，是否存

在等邻角四边形，若存在，是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．

GAAGF

BDECFDHBEC2、已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM

（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的

数量关系为_________________，写出证明过程。

（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成

立，说明理由。

NEBDEB A

.

DMCAMC.

3、在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．

若A、O、C三点在同一直线上，∠ABO=60°，则△PMN 的形状是___________，此时

NBAMOPAD=____________ BC

CD4、已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的

结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均要求证明）

BCEFADADGEGEFBFCBCAGD全等三角形综合二

知识点：

.

.

1、全等三角形的判定及性质： 2、角平分线的性质与判定： 3、常用辅助线： 例题讲解

例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE， 求证：FK∥AB．

例2、如图1，△ABC中，∠BAC=90°，BA=AC，

（1）D为AC的中点，连BD，过A点作AE⊥BD于E点，交BC于F点，连DF，求证：∠ADB=∠CDF．

（2）若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，连MF，判断

∠ADB与∠CMF的大小关系并证明．

例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB， 求证：MD=AM．

例4、在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）若AB=AC，∠BAC=90°那么

①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________ （直接写出结论）

.

.

②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．

例5、如图①所示，已知A，B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为直角边向△ABC外作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，满足∠CAD=∠CBE=90°，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1． （1）如图②，当点E恰好在直线l上时，试说明DD1=AB；

（2）在图①中，当D，E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1，EE1，AB之间的数量关系，并说明理由． 例6、如图1，已知点A（a，0），点B（0，b），且a、b满足

a44b0

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若点C是第一象限内一点，且∠OCB=45°，过点A作AD⊥OC于点F，求证：FA=FC； （3）如图2，若点D的坐标为（0，1），过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交x轴于点G，求G点的坐标．

.

.

巩固：

1、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．

3、如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC。 求证：EB⊥AB．

4、如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，P为AC上一点，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延长线于M，MN⊥AC于N，AQ=MN． （1）求证：AP=AM； （2）求证：PC=AN．

5、如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别

.

.

是∠BAC，

∠ABC的平分线， 求证：BQ+AQ=AB+BP．

6、将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图（1）方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°， ∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）求证：CF=EF；

（2）若将图（1）中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0°＜a＜60°，其他条件不变，如图（2）．请你直接写出AF+EF与DE的大小关系：AF+EF______ DE．（填“＞”或“=”或“＜”）

（3）若将图（1）中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图（3）．请你写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明．

7、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的三点坐标分别为A（0，5），B（-5，0）， C（2，0），BD⊥AC于D且交y轴于E，连接CE． （1）求△ABC的面积； （2）求

OE的值及△ACE的面积． AE

8、如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形OBAC=16．

.

.

（1）∠COA的值为________ ； （2）求∠CAB的度数；

（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足∠HON=∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．

9、在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，3）和点C（0.2）； （1）请写出OB的长度：OB=________ ；

（2）如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为（-3，0），求证：△AOB≌△COD；

（3）若点D在第二象限，且△AOB≌△COD，则这时点D的坐标是________ （直接写答案）．

10、已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°

（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM；

（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）． 11、（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，

.

.

试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．

（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．

12、如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．

13、如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线MN交AC于N，交AC的平行线BM于M， PD⊥MN，交AB于点P，连接PM、PN． （1）求证：BM=CN；

（2）请你判断BP+CN与PN的在数量上有何关系，并说明你的理由．

.

.

14、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0）、 B（0，n），且

mn32n60，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO

匀速运动，设点P运动时间为t秒． （1）求OA、OB的长；

（2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；

（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

.