2012年高考文科数学真题答案全国卷1

2012 年高考文科数学真题及答案全国卷 1

注息事项 :

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑。如 需改动 .用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效 .

3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上 .写在本试卷上无效· 4.考试结束后 .将本试卷和答且卡一并交回。

第

1 卷

一、选择题：本大 题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（ 1）已知集合 A={ x|x2

－ x－ 2<0} ， B={ x|－ 1（A）A B

（B）B A

（C）A=B

（D）A ∩B=

【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系，是简单题

.

【解析】 A= （－ 1,2），故 B

A ，故选 B.

（ 2）复数 z＝

3

i

的共轭复数是

2 i

（ A ） 2 i （ B ） 2 i （C） 1 i （ D） 1 i

【命题意图】本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念，是简单题 . 【解析】∵ z 3 i i ，∴ z 的共轭复数

= = 1 为

1 i ，故选 D.

2 i

（ 3）在一组样本数据（ x1， y1），（ x2， y2 ），⋯，（ xn， yn）（n≥ 2， x1,x2, ⋯ ,xn等）的 xi ，yi）(i=1,2, ⋯, n) 都在直

散点图中，若所有样本点（ 线 y

1 x 1 y=1

x+1 上，则这组样本 2 2 数据的样本相关系数为

（A）－ 1 （B）0 （C）1

（D）1 2

【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题 .

【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为 1，故选 D.

1 2 x2 y2

a ＞ b ＞0）的左、右焦3a

（4）设 F ,F 是椭圆 E： =1（ 点， P 为直线 x 上

一

a2 b2

2

点，△ F0

2PF1 是底角为 30 的等腰三角形，

则 E 的离心率

为 A . 1

B . 2

C . 3

D . 4

2

3

4 5

---

不全相---

【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题 .

【解析】∵△ F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形，

0

---

---

3

a ，∴ e

600 ， | PF2 | | F1F2 | ，∴ | AF2 | = c ，∴

∴ PF2c 2c = 32A ，故选 C. 2 4 （ 5）已知正三角，B(1,3) ，顶点 C 在第一象限， 若点（x，y）在△ 形 ABC 的顶点 A(1,1) ABC 内部，则 z

x y 的取值范围是

（ B） (0，

（A ）(1－ 3，2)

2)

（ C）( 3－ 1，2) （ D） (0， 1+ 3)

【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简

单题

. 【解析】有题设,2)，作出直线 l 0 ： 0 ，平移直线 l0 ，有图像知 C(1+ 3 x y 知，直 线 l :

z

x y 过 B 点时，x y 取值范围为

zmax

=2，过 C 时， zmin =1 3 ，∴ z

(1－

3，2)，故选 A.

（ 6）如果执行右边的程序框图， 输入正整数 N ( N ≥ 2)和实数 a1 ， a2 ，⋯， aN ，输出 A ， B ，则 A . A + B 为 a1 ， a2 ，⋯， aN 的和

A B B . 为 a1 ， a2 ，⋯， aN 的算术平均数

C . A 和 B 分别为 a1 ， a2 ，⋯， aN 中的最大数和最 小数

D . A 和 B 分别为 a1 ， a2 ，⋯， aN 中的最小数和最 大数

【命题意图】 本题主要考查框图表示算法的意义， 是 简单题 .

【解析】由框图知其表示的算法是找 N 个数中的最

大值和最小值， A

和 B

分别为 a1 ， a2 ，⋯， aN 中 的最大数和最小数，故选 C.

[来源 :www.shulihua.net]（ 7）如图，网格上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为 A.6 B .9 C.12 D .18 【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题 .

【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为 6，这边上高为 3，棱锥的高为 3，故其体积为 1

1

6 3 3 =9 ，

3 2

故选 B.

(8) 平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心

O 到平面 α 的距离为 2则此球的体积 为

（ A ） 6π （ B） 4 （ D） 6 3π

（C） 4 6π

3π

---

，

---

【命题意图】 【解析】

---

---

（ 9）已知 >0， 0

相邻的对称轴，则 （ A ）

π，直线 x = 和 x = 是函数 f ( x) sin( x

4

=

4

5

) 图像的两条

π π 3π

4 （B）3 （C） 2 （D） 4

【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档

. 题

5

，∴ =

4 4

=1，∴

4

= k

Z ）

（ k ， 2

【解析】由题设知，

∴ = k （ k Z），∵0 ，∴ = ，故选 A. 4 4 （ 10）等轴双曲线 C 的中心在原点， 焦点在 x 轴上， C 与抛物

2

16x 线 y

的准线交于

A 、

B 两点， | AB |=4 3，则 C 的实轴长为

A . 2 B.2 2 C .4 D .8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简

. 单题

4 ，设等轴双曲线方程为： 【解析】 由题设知抛物线的准线

2x x2 y a2 ，将 x 4 为：

y = 16 a ，∵| AB|=4 3，∴2 16 代入等轴双曲线方程解得

∴ C 的实轴长

为 4，故选 C. (11)当 0< x ≤ 时， 4 loga x ，则 a 的取值范围是

2 2 2

1

x

2

a = 4 3 ，解得 a =2，

2

（A ）(0， 2 ) （B）( 2 ， 1) （C） (1， 2) （D） ( 2，2)

【命题意图】 本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想， 是中档

题 .

1 1 ，解得 0 【解析】由指数函数与对数函数的图像知 2

log a 2 4 （ 12）数列 { an } 满足 an 1 2n 1 ，则 { an } 的前 60 项

n

( 1) an 和为

0 a 1

a

2

，故选 A. 2

（ A ）3690 （B ） 3660 （ C） 1845 （ D） 1830 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难

. 题

【解析】【法 1】有题设知

a5 a4 =7 ， a6 a5

a2 a1 =1，① a3 a2 =3 ② a4 a3 =5 ③ =9 ， a7 a6 =11， a8 a7 =13， a9 a8 =15， a10 a9 =17， a11 a10 =19 ， a12 11 21 ，

⋯⋯

∴②－①得 a1 a3 =2，③ +②得 a4 a2 =8，同理可得 a5 a7 =2， a6

aa8 =24， a9 a11 =2，

---

---

2 的常数列， a2 ∴ a1 a3 ，a5 a7 ，a9 a11 ，⋯，是各项均为 a4 ，a6

8，公差为 16 的等差数

是首项为 列，

∴ { an } 的前 60 项

1

15 2 15 8 16 15 14 =1830. 和为

2 【法 2】可证明：

a

10 a12 =40，⋯，

a8 ，a10

a12 ，⋯

---

---

n 4 n 4 n

a

1 1 4n 2 3 b1 a1 a2 a3

baa

4 n 4 n

4 3 a4 1 0

aa

4n

a2 4 n 2 a4n 16 bn 16 1 5 1 4 S1510 15 16 1830 2

a

第Ⅱ卷

4 小题，每小二．填空题：本大题

题 5 分。 共

(13) 曲线

x(3ln x 1) 在点（ 1,1）处的切线方程为 ________ y

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题 .

4 ，∴切线斜率为 4，则切线方程为：

y 3 0 . 【解析】∵ y 3ln x 4x

(14) 等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S2=0 ，则公比 q =_______

【命题意图】本题主要考查等比数 n 项和公式，是简单题 . 列

【解析】当 q =1 时， = 2a1 ，由 S3+3S2=0 得， 9a1 =0 ，∴ a1 =0 与 S3 = 3a1 ， S2 { an } 是

3

2

q ≠ 1，由 S3+3S2=0 a1 (1 q ) 3a1 (1 q ) 等比数列矛盾，故 得， 0 ，解得 q =－ 2. 1 q 1 q

0

(15) 已知向量 a ， b 夹角为 45 ，且 | a 2a b |= 10 ，则 |b

. |=1， | |=

【命题意图】 .本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则，是简单

. 题

2

10 ，即 | b| 2 2 【解析】∵ | b 22

|= 10 4a b+ b |b| ，平方得 4a 6 0，解 2a

得 | b |= 3 2 或 2 （舍）

2

(x+1) +sinx (16) 设函数 f

= 2 的最大值为 M ，最小值为 m，则 M+ m=____ ( x)

x +1 . 【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想，是难题

【解析】 f 1 2x sin x ， ( x) =

2 x 1 设 g (x) = f sin x2x ，则 g( x) 是奇函数， 1= ( x)

2 x 1

∵ f ( x) 最大值为 M ，最小值为 m ，∴ g ( x) 的最大值为 M-1 ，最小值为 m － 1，

， M m

∴ M 1 m 1 0 =2.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤。

分）已知 a ， b ， c 分别（ 17 ）（本小题满

12 为 ABC 三个内角 A,B,C的对边， 分

c sin c 3a sin C A. (Ⅰ)求 A ；

---

---

(Ⅱ )若 a 3 ，求 b ，

=2， ABC 的面积为 c .

【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用，是简单题 . 【解析】 (Ⅰ )由

3asin C c sin A 及正弦定理得 c

3 s i

nA siCn sAi n Cs i n Csi n

1 0 ，所以 由于 sin C sin( A ) ，

6 2

---

---

又 0 Ⅱ ( )

2A

，故A.

3 的面积 S 1 故 bc ， ABC = bc sin A = 3 , =4 2

而 a b2 c2 2bc cos A 故 c2 b2 =8，解得 b c =2. 18.（本小题满分 12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每 枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处

理。

17 枝玫瑰花，求当天的利y( 单位：元 ) 关于当天需求n（单（Ⅰ）若花店一天购 润 量 位： 进

枝， n∈N ）的函数解析式。

100 天玫瑰花的日需求量（单位： 枝） （Ⅱ）花店记录了 ，整理得下表： 日需求量 n 14

15

16

17

18

19

20

频数 10 20 16 16 15 13 10

(i) 假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均

数；

(ii) 若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生

的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率 .

【命题意图】 本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、 将频率做概率求互斥事 件的和概率，是简单

题 .

时，利润 y =85； 【解析】（Ⅰ）当日需求量 n 17 当日需求量

n

17 时，利润 y 10n 85 ，

65 元， 16 天的日利 润

10n 85,n 17,

∴ y 关于 n 的解析式为 y (n N ) ；

85, n 17,

（Ⅱ） (i) 这 100 天55 元，20 天的日利润中有 10 天的日利润为 为 为 75 元， 54 天的日利润为 85 元，所以这 100 天的平均利润为

1 (55 10 65 20 75 16 85 54) =76.4；

100 (ii) 利润不低于 少于 75 元的概率为

p 0.16 0.16 0.15 0.13 0.1 0.7 （ 19）（本小题满分

1

75 元当且仅当日需求不少于 16 枝，故当天的利润不

12 分）如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱垂

直底面，∠ ACB=90° ， AC=BC= AA 1， D 是棱 AA 1 的中点。 ( Ｉ )

证明：平面

BDC1 ⊥平面 BDC1

（Ⅱ）平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比 .

【命题意图】 本题主要考查空间线线、 线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计

---

---

算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题 .

【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥

⊥ ，

CC1 ,BC AC CC1

∴ BC 面

AC C, ACC1 A1 ,

---

---

又∵ DC1

面 ACC1 A1 ，∴ DC1 BC ,

ADC 45 , ∴ CDC1 C ,

∴ DC1 ⊥面 BDC ,

0

0

由题设知 A1DC1 又∵ DC

BC

=90 , 即 DC1

DC ,

∵ DC1 面 BDC1 ，

∴面 BDC ⊥面 BDC1 ；

（Ⅱ）设棱锥

DACC1 的体积为 V1 ， AC =1，由题意得， V1 = B

由三棱柱 ABC A1B1C1 的体积 V =1， ∴ (V V1 ) : V1 =1:1，

分体积之比为 （ 20）（本小题满分

1:1.

1 1 2 1 1 = 1 ， 3 2 2

∴平面 BDC1 分此棱柱为两部

分）设抛物线

12 x 2 2 py p 0 C ： F ，准线为 l ，

＞ ）的焦点为 A （

F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两

为 C 上一点，已知以 点 .

2 ，求 p 的值及圆 F 的方

0

(Ⅰ )若 BFD 90 , ABD 的面积为 4 程；

(Ⅱ )若 A ， B ， F 三点在同一条直线 m 上，直线 n 与 m平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m ， n距离的比值 .

【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力 .

【解析】设准线 y 轴的焦点E F r

的半径为 ， l 于 为 ，圆

则 |FE|= p ， | FA | | FB |= | FD | = r ， E 是 BD 的

中点，

0

90 ，∴ | FA| | FB|=| FD 2 p ，|BD|= 2 = p ， (Ⅰ) ∵ BFD | 设 A( x0 ， y0 )，根据抛物线定义

得，

|FA|p

= y0 ，

2 1 p 1

，解得 p | BD | 4 2 ∵ ABD 的面积为 4 2，∴SABD= =2， ( y0 ) = 2 p 2 p =

2 2 2

2 ， ∴圆 F 的方程为： ∴ F(0,1),

22

( y 1) 8 ； x FA|= 2

(Ⅱ ) 【解析 1】∵ A ，B ，F 三点在同一条

0ADB 90 , m 上 , ∴ AB 是圆 F 的直径， 直线

由抛物线定义知 | AD | |

3 0

3 ， 1 FA | |AB |，∴ ABD 30 ，∴ m 的斜率为 或－

2 3 3 ∴直线 m 的方程为： y

3 x 3

p ，∴原点到直线 m 的距离 d1 = 3 p ，

2 4

2 py 得， x 2

设直线 n 的方程为： y

3 x b，代入 x

2

2

3 x 2 pb

0 ，

---

---

3

4

2

3 p ，

6

0 ，∴ b ∵ n 与 C 只有一个公共点， ∴ = p 8pb

3

p 3 x ，∴原点到直线 n 的距离 d2 = 3 ∴直线 n 的方程为： y p ， 3 6 12 ∴坐标原点到 m ， n 距离的比值为 3.

---

---

，则 F (0,

【解析 2】由对称性

设

x0

)( x2

p

)

2

2

2

p

0 2 pA(x0 ,

0)

x0 x0 点 A, B 关于点 F 对称得：

x0 , p B( ) p

2 p 2 p 得： A( 3 p, ) ，直线 m : y

3 p

2

2 2

x0 3 p

3p p 2 2 x

3 p

p 2

3

x

3y

x

直线2

2 py n : y

2 y x

2

y

3 p 0

2

3 p

p

x 3 p 3

x

p 切点 P( , ) 3

3 6

2 p p

3 ( x 3p ) x 3y

3

p 0

6 3 3 6

坐标原点到 m, n 距离的比值3 3 p : 3 p 。 为

2 6

x

（ 21）（本小题满分 12 分）设函数 f(x)= e－ ax－ 2

(Ⅰ )求 f(x) 的单调区间

(Ⅱ )若 a=1，k 为整数，且当 x>0 时， (x－ k) f ′(x)+x+1>0，求 k 的最大值 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 .

22. （本小题满分 10 分）选修 4－ 1：几何选讲

DE交△ ABC 如图， D， E 分别是△ ABC边 AB,AC 的中点，

直线 的外接圆与 F,G 两点，若 CF∥ AB，证明： (Ⅰ ) CD=BC;

(Ⅱ )△ BCD ∽△ GBD. 【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识，是简单题 .

【解析】 (Ⅰ ) ∵ D ，E 分别为 AB,AC 的中点，∴ DE∥ BC， ∵ CF∥ AB ， ∴ BCFD 是平行四边形，

∴ CF=BD=AD ， 连结 AF ，∴ ADCF 是平行四边形， ∴ CD=AF ， ∵ CF∥ AB, ∴BC=AF, ∴ CD=BC ； (Ⅱ ) ∵ FG∥ BC，∴ GB=CF ， 由 (Ⅰ )可知 BD=CF ，∴ GB=BD,

∵∠ DGB= ∠ EFC=∠ DBC, ∴△ BCD ∽△ GBD.

23. （本小题满分 10 分）选修 4－ 4：坐标系与参数方程

x 2cos 已知曲线 C1 的参数方程是 （ 是参数），

y 3sin

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标: 的极坐标方程以坐标原点为极

=2，正 曲线 C2 是 系， 点，

方形 ABCD的顶点都在 C2 上，且 A,B,C,D 依逆时针次序排列，） 点 A 的极坐标为（ 2， .

---

---

(Ⅰ )求点 A,B,C,D 的直角坐标；

2(Ⅱ )设 P 为 C1 上任意一点，求 | | PD | 的取值范222

| PB| |PC| 围 . PA|

3

---

---

【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型 .

【解析】 (Ⅰ )由已知可得

, 2sin ) ， B(2cos( ), 2sin( A(2cos

3 3 3 3 2

),

C (2cos( 2sin( 3 ), 2sin( 3 )) ， D (2cos( )) ，

3 3 3 2 3 2

3 ， 1）， C（―

3 ），D（ 3 即 A(1， 3 )，B（－ 1，― ，－ 1），

(Ⅱ )设

22

,3sin ) ，令 S =| PA|2 |PB| |PC| |PD |2 ， P(2cos 则 S = 16cos

20sin ，

，∴ S 的取值范围是 2∵ 0 sin 1 [32,52].

24.（本小题满分 10 分）选修 4－ 5：不等式选讲

已知函数 f ( x) a | |

x 2 | . = | x

f (x) ≥ 3 的解

(Ⅰ )当 a 3 时，求不等式 集；

(Ⅱ ) 若 f ( x) 4 |的解集包含 [1,2] ，求 a 的取值范

围 . ≤ | x

【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简 . 单题

5, 2x x 2 【解析】 (Ⅰ )当 3 时， f ( x) =

2 x 3 ， a 1,

2)) ，

2

36sin 16= 32

22

2x 5, x 3

3 ，解得 x ≤ 当 x ≤ 2 时，由 f ( x)

2x 5 1； ≥ 3 得

当 2＜ x ＜ 3 ( x) ≥ 3，无

时， f 解；

当 x ≥3 时，由 f ( x) ≥ 3 5 ≥ 3，解得 x 得 2x ≥8，

x | x ≤ 1 或 x ≥ ∴ f (x) ≥3 的解集

8} ； 为 {

(Ⅱ ) f ( x) ≤ | x | x 4 | | x 2 | | x a

4 | | ，

当 x ∈[1,2] 时，

a | | x 4 | | x 2|=4 x x 2 =2， | x

∴ 2 a x 2 a ，有条件得 2 a 1 且 2 a 2 ，即 3 a 0 ，

a 的取值范围为 [ －

故满足条件的 3,0].

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