【期末试卷】湖北省黄石市2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版(含答案)

黄石三中2015－2016学年下学期期末考试高二年级

数 学 试 卷（理工类）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x|x24x30},B{x|2x4}，则AB A．(1，3) B．(2，3) C．(1，4) D．(2，4) 2．复数z=

3i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为 1i

D．第四象限

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 3．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是 A B （第3题图）

C D

4．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S为

A．119 B．4949 C．719

D．600

x21225．抛物线yx的焦点到双曲线y1的一条渐近线的

38距离为 A．1

6．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60，则a＋b在a上的投影为

B．3 C．2 D．23 277 D． 777．如果将函数f(x)2sin3x的图象向左平移(0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，

3A．1 B． 2

C．

若g(x)的图象关于直线x A．

4对称，则的最小值是

C．

 B． 62 3D．

3 48．下列四个结论：

①命题“若p则q”的逆命题是“若q则p”．

②设a,b是两个非零向量，则“a//b”是“abab”成立的充分不必要条件． ③某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层

抽样．

④设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为ˆ0.85x85.71，y则可以得出结论：该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg．

其中正确的结论个数是

A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知f (x)是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f (x＋6)＝f (x)＋2f (3)，且f (0)＝3，则f (2016)＝ A．1 B．2 C．3 D．4 10．黄石市为办好“矿冶文化旅游节”，组委会特向全市招募了20名志愿者，他们的编号分

别是1号、2号、…、19号、20号．现从中任意选取4人，再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是 A．90 B．24 C．21 D．16

xy3011．已知实数x，y满足xy10，若直线xky10将可行域分成面积相等的两部分，x1则实数k的值为 A．－3

B．3

C．－

13 D．

1312．在正项等比数列{an}中，存在两项am、an，使得aman＝4a1，且a7＝a6＋2a5，则

的最小值是 A．

15mn57 B．1＋

34 C．

25 6 D．

25 3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题—第21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22题—第24题为选考题，考生根据要求作答。

f (x)＝x2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． y

13．(x－2)(x－1)5的展开式中所有项的系数和等于 ． D C

2

14．如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(3，9)，函数f (x)＝x，

若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等 于 ．

15．定义在R上的函数f (x)，若对任意的实数a、b都有f (a)＋f (b)＝

f (a＋b)－3ab(a＋b)，则称f (x)是“负3倍韦达函数”，则f (x)＝ 时，f (x)是一个“负3倍韦达函数”(只须写出一个)．

O A B x

16．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝4，BC＝2，∠ABC

1DC，EAF＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BEBC,DF则A9的最小值为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b(cosA3cosC)＝(3ca)cosB.

⑴求

sinA的值； sinC

⑵若cosB＝，△ABC的周长为14，求b的长．

18．（本小题满分12分）某校为了响应《关于加强青少年体育增强青少年体

质的意见》精神，落实“生命—和谐”教育理念和阳光体育行动的现代健康理念，学校特组织“踢毽球”大赛，某班为了选出一人参加比赛，对班上甲乙两位同学进行了8次测试，且每次测试之间是相互的.成绩如下：（单位：个/分钟） 甲 80 81 93 72 88 75 83 84 乙 82 93 70 84 77 87 78 85 ⑴用茎叶图表示这两组数据； ⑵从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加比赛合适，请说明理由； ⑶若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩高于79个/分钟的次数为，求的分布列及数学期望E.

221211210262721222316 （参考数据：

021121222252524232344） 19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥PABCD，

底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC60，E，F分别是BC，PC的中点． ⑴证明：AEPD；

⑵若AB＝2，PA＝2，求二面角E—AF—C的余弦 B 值．

16P

F A E C D x2y220．（本小题满分12分）已知椭圆C:221(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，

ab1PAPAAA且|A，为椭圆上异于，的点，和的斜率之积为．以A|43P1212123M(3,2)为圆心，r为半径的圆与椭圆C交于A，B两点．

⑴求椭圆C的方程；

⑵若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程； ⑶若点A的坐标为(0，2)，求△ABM的面积． 21．（本小题满分12分）已知函数f(x)ln(1x)⑴求f (x)的单调区间； ⑵证明：nN，有⑶若an1*x(aR,a0). 1x111ln(1)； n1nn11lnn，证明：nN*，有anan10. 2n

请考生从第22、23、24题中任选一题作答，多答，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．

A

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，

G

且与AB，AC分别相切于E，F两点.

⑴证明：EF∥BC； E F ⑵若AG等于⊙O的半径，且AEMN23，求四边形EBCF的面积． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴

O

B M

D

N

C

x22为极轴的极坐标系中，曲线C：sin4cos，直线l的参数方程：y42t22t2

(t为参数)，两曲线相交于M，N两点．

⑴写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； ⑵若P(2,4)，求PMPN的值. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)x4x3，f(x)的最小值为m．

⑴求m的值；

222⑵当a2b3cm(a,b,cR)时，求abc的最小值．

高二数学数学（理工类）答案

1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．B 7．D 8．C 9．C 10．C 11．D 12．A 13．0 14．

58143 15．x 16． 27917．解：(1)由正弦定理，及A＋B＋C＝π，

得：(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)cos B，

化简可得：sin(A＋B)＝3sin(B＋C)．所以sin C＝3sin A，因此

(2)由

sinA1＝． sinC3„„„6分

sinA11＝得c＝3a．由余弦定理及cos B＝

6sinC3得：b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋9a2－6a2×

1＝9a2． 6

„„„„„„„„„„„6分

所以b＝3a．又a＋b＋c＝14．从而a＝2，因此b＝6．

18．解：⑴

甲 乙

3 9 3

8 4 3 1 0 8 2 4 5 7

5 2 7 0 7 8

⑵x甲 „„„„„„„„„„„4分

808193728875838482

8829370847787788582 x乙82212112102627212222S甲39.5

80211212222525242322S乙43

8由于甲乙的平均成绩相等，而甲的方差较小，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适 „8分 注：本小题的结论及理由不唯一，如果考生从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分；如派甲比较合适，理由如下：甲获得79个/分钟以上的概率为P163，乙获得79个/分钟以上的概率为84P25．∵P1>P2，所以派甲参赛比较合适． 8⑶由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3

33，则高于79个/分钟的概率为，则 44133913P(ξ=0)=(1－)3=，P(ξ=1)=C3， (1)244432733272P(ξ=2)=C3，P(ξ=3)=()3． „„„„„„„„10分 ()2(1)444由表格可知，高于79个/分钟的频率为分布列如下：

ξ P 0 1 2 3 192727 1927279123 ∴ E0 „„„„„„„„„„12分 419．解：⑴证明：由四边形ABCD为菱形，ABC60，可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AEBC． 又BC∥AD，因此AEAD．

因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE．

而PA平面PAD，AD平面PAD，且PAADA，

所以AE平面PAD，又PD平面PAD， 所以AEPD． „„„„„„„„„„„6分

⑵解法一：因为PA平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC平面ABCD． 过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，

sin30则∠ESO为二面角E—AF—C的平面角，在Rt△AOE中，EOAE·3， 23，又F是PC的中点，在Rt△ASO中， 232SOAO·sin45，

4393022又SEEOSO， 484AOAE·cos30z P F A E x C D y 32SO154在Rt△ESO中，cosESO， SE5304B 15即所求二面角的余弦值为． „„„„12分

5解法二：由⑴知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点， 所以A(0，0，，0)B(3，10)，，C(310)，，，D(0，2，0)，

3131P(0，0，，2)E(3，0，，0)F，，1AE(3，0，，0)AF1，所以．

222，，23x10，AE0，m·设平面AEF的一法向量为m(x1，y1，z1)，则因此31AF0，x1y1z10．m·22

2，1)，因为BDAC，BDPA，PAACA， 令z11，则m(0，所以BD平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量．又BD(3，3，0)，

m·BD2315所以cosm，． BD5512m·BD因为二面角EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为2y015． „„„„„„„„12分 520．⑴由题意可知2a=43，即a=23，设P(x0，y0)，A1(－23，0)，A2(23，0)

KPA1KPA2即12－程为

2x0y0x023x023y01， 23x0122 3y0x212y2422x2y2x0y021上，故b2=4，即椭圆C的方 又P(x0，y0)在椭圆112b124

1．

„„„„„„„„„„„4分

⑵因为A，B两点关于原点对称，所以O是AB的中点，由垂径定理可知MO⊥AB，又M(－3,2)，所

x2y21233124以直线MO的斜率为－，故直线AB的斜率为，则直线AB的方程为y=x，联立322y3x2

48210848108559，由勾股定理得r2=MA2=MO2+OA2=9+4+，,yA313131 3131559所以圆M的方程为(x+3)2+(y－2)2=． „„„„„„„„„„„8分

31x2y21⑶显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+2，联立12得(1+3k2)x2+12kx=0， 4ykx22解得xA则B(12k13k213k213k13k2222k22k213k2，∵AB⊥ME，∴2·k=－1 26k3k2k13k2k1(3)13k2232∴2k3k2k10(k－1)(2k－k+1)=0，解得k=1，所以直线AB的方程为y=x+2，

B(－3,－1)，所以|AB|=32，点M到直线AB的距离为故△ABM的面积为

,26k2)，线段AB的中点为E(6k,22)，直线ME的斜率为

32，2

1329 „„„„„„„„„„„„12分 32．

22211x21．⑴f(x)令f(x)>0，又x＞－1，则x＞0，令f(x)<0，又x＞－1，则1x(1x)2(1x)2

－1„„„„„„„„4分

⑵设x=

111x1ln(1)ln(x1)x，(0,1]，则

n1nnx1n

xx由⑴知：f (x)=ln(1+x)－，f (0)＝0，当x∈(0，1)时，f (x)单调递增，∴f (x)＞0，即ln(x1)．

x1x1

再来证明：当x∈(0，1)时ln(1+x)构造函数m(x)=ln(x+1)－x x∈(0，1)，则m(x)故m(x)在(0，1)上递减 ∴当x∈(0,1)时，m(x)*1x10，x1x1

111 „„„„„„„„8分 ln(1)．

n1nn111*⑶由⑵的结论知，nN有ln(1)n1nn

111ln(n1)lnnln(1)0所以an1an所以an>an+1

n1n1n 111111)ln(1)ln(1)lnn又an1lnnln(2n2n 3n1=ln2+lnlnlnn2n

ln2(ln3ln2)[ln(n1)lnn]lnnln(n1)lnn0

综上，nN有an>an+1>0 „„„„„„„„12分 22．解：⑴由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线，

又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF， 从而EF∥BC． „„„„„„„„5分 ⑵由⑴知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为 ⊙O的弦，所以O在AD上，连结OE，OM，则OE⊥AE， 由AG等于⊙O的半径，得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°， 因此△ABC和△AEF都是等边三角形，

因为AE23，所以AO＝4，OE＝2， 因为OM＝OE＝2，DM*1MN3，所以OD＝1， 2

于是AD＝5，AB103， 3所以四边形EBCF的面积为1(103)231(23)23163．

232223

2

23．⑴曲线C的直角坐标方程为y=4x，直线l的普通方程为x－y－2＝0， „„„„„„„„10分 „„„„„„„„5分

2tx22⑵直线l的参数方程（t为参数）代入y2=4x，得到t2－122t＋48＝0，得M，N对应

2y4t2的参数分别为t1，t2，则t1+t2=122，t1t2=48>0． ∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=122

„„„„„„„„10分

y24x另解：由联立解得： M(423,223),N(423,223)．由两点间距离公

xy20式，得：|PM|＋|PN|＝122．

24．⑴f (x)=|x－4|+|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|=1 (3≤x≤4时取等号)

故f (x)的最小值为1，即m=1 2222222⑵(a+b+c)·(1+2+3)≥(a+2b+3c)=1

故a2+b2+c2

„„„„„„„„10分 „„„„„„„„5分

1113 当且仅当a=，b=，c=时取等号．

71414141∴a2＋b2＋c2的最小值为

14 „„„„„„„„10分