高三下学期数学5月四模试卷
一、单项选择题
1.集合
，
，
〔 〕
A. 〔－2，3〕 B. 〔2，3〕 C. [3，4〕 D. 〔－∞，2]∪[3，＋∞〕 2.假设纯虚数 满足 (其中 为虚数单位， 为实数)，那么 〔 〕 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3.二项式
展开式中，
的系数是〔 〕
A. 40 B. 10 C. -40 D. 4.函数 那么
〔 〕
A. B. C.
D.
5.
与
均为单位向量，假设
，那么
与
的夹角为〔 A. 30° B. 45° C. 60° 6.函数
的大致图象为〔 〕
A.
B.
D. 120° 〕C.
D.
7.对于数据组 么将
称为相应于点
，如果由线性回归方程得到的对应于自变量 的估计值是 ，那
的残差．某工厂为研究某种产品产量 〔吨〕与所需某种原材料 吨〕
如下表所示：
的相关性，在生产过程中收集4组对应数据 x 3 4 5 6 y 3 4 根据表中数据，得出 关于 的线性回归方程为 么表中 8.
是双曲线
的左焦点，圆
的值为〔 〕
，据此计算出样本处的残差为－0.15，那
与双曲线在第一象限的交点为 ，假设
的中点在双曲线的渐近线上，那么此双曲线的离心率是〔 〕 A.
B. 2 C.
D.
二、多项选择题
9. ， 是两个不同的平面， A. 假设 C. 假设
， ，
， ， 是三条不同的直线，那么以下命题中正确的选项是〔 〕 ∥ B. 假设 ∥ ，那么
∥ D. 假设
，
，
近似服从正态分布
，
，
，那么
，那么
，那么
，那么 ∥ ，
10.某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩
以下说法正确的有〔 〕 〔参考数据：① ②
；
；
③ 〕
A. 这次考试成绩超过100分的约有500人 B. 这次考试分数低于70分的约有27人 C.
D. 从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 11.函数 A. B. C. D.
的图象可由 的图象与
与
的图象向左平移
，那么以下结论正确的选项是〔 〕 个单位长度得到
的图象相邻的两个交点间的距离为
图象的一条对称轴为 在区间
上单调递增
12.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 下四个结论，其中正确结论是〔 〕
就是其中之一〔如图〕．给出以
A. 图形关于 轴对称 B. 曲线 C. 曲线 D. 曲线
恰好经过6个整点〔即横､纵坐标均为整数的点〕 上存在到原点的距离超过
的点
所围成的“心形〞区域的面积大于3
三、填空题
13.
，
，
，那么
的值为________.
，那么符合条件的
14.抛物线C的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，假设 抛物线C的一个方程为________. 15.假设数列 数列
是以
对任意正整数 ，有
(其中
， 为常数，
且 )，那么称
为周期，以 为周期公比的类周期性等比数列.类周期性等比数列
前21项的和为________.
，假设
的前4项为1，
1，2，3，周期为4，周期公比为3，那么数列 16.球的直径
，
，
的体积的最大值是________.
是球面上的两点，且 ，那么三棱锥
四、解答题
17.在平面四边形 平分 18.数列
，求
中， 的长.
，且
，
，数列
满足
.
，
，
，内角
与
互补，假设
的前n项和为
〔1〕求数列 〔2〕设
的通项公式；
，数列
的前 项和为
，求证：
.
19.天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了〔除太阳外〕视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中 星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四 视星等 绝对 星等 a ．
赤纬 －16.7° －52.7° －60.8° 19.2° 38.8° 46° －8.2° 5.2° －57.2° 7.4° 〔1〕从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；
〔2〕徐州的纬度是北纬34°，当且仅当一颗恒星的“赤纬〞数值大于－56°时，能在徐州的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在徐州的夜空中看到的数量为 数学期望； 〔3〕记 写出
与
时10颗恒星的视星等的方差为 之间的大小关系．
的棱长为2，
是
的中点.设平面
与平面
的
，记
时10颗恒星的视星等的方差为
，直接
颗，求
的分布列和
20.如图，正方体 交线为l.
〔1〕求证： 〔2〕求二面角
平面 ； 的大小. 中，椭圆 、
，且
.
的四个顶点围成的四边形的面积为
21.在平面直角坐标系
，左、右焦点分别为 〔1〕求椭圆 〔2〕过
的标准方程；
相交于
、
两点，
的内切圆
的面积是否存在最大值？假设
的直线 与椭圆
存在，求出这个最大值及直线 的方程，假设不存在，请说明理由.
22.函数 〔1〕当 〔2〕当
时，求曲线 时，
.
的过原点的切线方程； ，求 的取值范围.
答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意可知， 所以
故答案为：C．
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合A，再利用对数函数的单调性求出集合B，再利用交集和补集的运算法那么，从而求出集合2.【解析】【解答】由题意可设 故答案为：B．
【分析】利用纯虚数的定义设复数 而求出m的值。
3.【解析】【解答】二项式
，
令
，得
，
。
展开式的通项公式为
，
，再利用复数的混合法运算法那么和复数相等的等价关系，从，那么
。
，所以
。
，所以
，
， 。
所以展开式中， 故答案为：A
的系数是
【分析】利用条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出的系数。 4.【解析】【解答】由题意可知， 故答案为：C．
【分析】利用分段函数的解析式结合代入法，从而求出函数值。 5.【解析】【解答】
，
与
的夹角为
.
，
，
。
故答案为：D
【分析】 直接代入数量积为0即可求解结论．
6.【解析】【解答】由题意可知， AB， 又因为 故答案为：D.
，
，那么排除C，
，那么函数为奇函数，那么排除
【分析】利用条件结合奇函数的定义，从而推出函数为奇函数，再利用奇函数图象的对称性结合函数求极限的方法，从而利用排除法找出函数的大致图象。
7.【解析】【解答】由题意可知，在样本〔4，3〕处的残差－0.15，那么 解得 又 那么 解得 故答案为：B
【分析】由题意可知，在样本〔4，3〕处的残差－0.15，那么 从而求出表格中的m的值。
8.【解析】【解答】由题意可设右焦点为 在以焦距为直径的圆上，那么
，因为
，
，且圆
：
，所以点
，从而结合代入法求出的值 ，
从而求出线性回归直线方程，再利用平均数公式求出中心点，再利用线性回归直线恒过中心点的性质，
。 ，即
，
，且线性方程过样本中心点〔 ， 〕，
，那么
，
，即
，
设 又点 所以
的中点为点 ，那么 为 的中位线，所以 ，那么 ，
在渐近线上，
，且
，所以
，
，即
，解得
，所以
，那么
，
，所以
那么在
。
故答案为：A．
中，可得，
【分析】由题意可设右焦点为
，所以点
那么
为
，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，所以
，设
，且圆 的中点为点 ，那么
： ，
在以焦距为直径的圆上，那么
的中位线，再利用中位线的性质推出线线平行，所以
，又因为点
再利用勾股定理得出 以
，在
在渐近线上，再利用正切函数的定义得出
，那么
中，利用勾股定理可得，
，
，所以
，，所
，从而求出a,c的关系式，
再利用双曲线的离心率公式变形，从而求出双曲线的离心率。 二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以A符合题意； 对于B，假设 对于C，假设 对于D，假设 故答案为：AC．
【分析】利用条件结合线线平行的判断方法、线线垂直的判断方法、线面垂直的判定定理，从而选出正确命题的选项。
10.【解析】【解答】由题意可知，对于A， 100分的约有 对于B，
，
，那么
，那么成绩超过
， ， ，
， ， ，
，那么
与 可平行或异面，不一定垂直，所以B不符合题意；
，那么C符合题意；
与 不一定垂直，所以D不符合题意；
，可推出 ，那么
人，所以A不符合题意；
，所以
，所以分数低于70分的人数约为0.02275×1200
＝27.3，即约为27人，所以B符合题意； 对于C，
，
，
所以 合题意； 对于D，因为
，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人时概率为
；②3人均超过100分时的概率为
为
，所以D符合题意；
，那么至少有2人的分数超过100分的概率
，所以C不符
故答案为：BD．
【分析】由题意结合随机变量X服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的对称性，从而求出
的值 ，再利用频数等于频率乘以样本容量，从而求出成绩超过100分的约有的人数；由题意
结合随机变量X服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的对称性，从而结合互斥事件加法求概率公式，进而求出
的值， 再利用频数等于频率乘以样本容量，从而求出分数低于70分的人数约
为的人数；由题意结合随机变量X服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的对称性，从而结合互斥事件加法求概率公式，进而求出
的值；因为
，且至少有2人的分数超
过100分的情况如下：①恰好2人和②3人均超过100分，再利用二项分布求概率公式结合互斥加法求概率公式，从而求出至少有2人的分数超过100分的概率，进而选出说法正确的选项。
11.【解析】【解答】对于A，将函数 可得到 对于B，令 可得 因此， 对于C， 当 那么直线 对于D， 当
时，
，故函数
在区间
时，
为函数
，
图象的一条对称轴，所以C符合题意；
，
上单调递增，所以D符合题意.
，即 ，那么
的图象与
， ，解得
，
，所以B符合题意；
的图象向左平移
个单位长度，
，所以A不符合题意；
的图象相邻的两个交点间的距离为
，
故答案为：BCD．
【分析】利用条件结合余弦型函数的图像变换，从而得出选项A错误；令
，再利用同角三角函数根本关系式得出
， 因此，
利用函数
的图象与 与函数
的图象相邻的两个交点间的距离为
，即 ， 从而求出；得出选项B正确；
， 从而结合诱导公式，从而求出函数
， 再利用转化的方法将余弦型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数求出余弦
型函数的一条对称轴，从而得出选项C正确；利用函数
与函数
，
， 从而结合二倍角的正弦公式和诱导公式，从而求出函数
再利用转化的方法将余弦型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数判断出余弦型函数在区间 单调性，从而得出选项D正确，进而选出结论正确的选项。 12.【解析】【解答】对于A，将 换成 对于B，当 当
时，代入可得
方程不变，所以图形关于 轴对称，A符合题意；
，即曲线经过点
，由
，解得
，
上的
，解得
时，方程变换为 ，所以
只能取整数1，
当 时， ，解得 或 ，即曲线经过 ，
根据对称性可得曲线还经过 对于C，当
，
可得：曲线
时，由
，故曲线一共经过6个整点，B符合题意； 可得 ，即曲线
，〔当
上 轴右边的点到原点的距离不超过
，C不符合题意；
的面积：
， 轴下方的面积大
时取等号〕， ，根据对称性
上任意一点到原点的距离都不超过
对于D，如下列图，在 轴上图形的面积大于矩形 于等腰三角形
的面积：
，所以曲线C所围成的“心形〞区域的面积大于
，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】将 换成 时，代入可得
方程不变，再结合图形关于y轴对称，从而得出图形关于 轴对称；当 ，解得
，即曲线经过点
，当
时，方程变换为
时，得出
，由判别式法得出x的取值范围，所以 只能取整数1，当
，解得
或
，即曲线经过
，根据对称性可得曲线还经过
，故曲线一共经过6个整点；
当
时，由 时取等号〕，所以 性可得曲线
结合均值不等式求最值的方法，可得
，即曲线
上 轴右边的点到原点的距离不超过 ；在 轴上图形的面积大于矩形
，〔当 ，根据对称的面积，
上任意一点到原点的距离都不超过
再利用矩形的面积公式得出三角形面积公式得出 选出结论正确的选项。 三、填空题
， 轴下方的面积大于等腰三角形 的面积，再利用等腰
，从而
，所以曲线C所围成的“心形〞区域的面积大于
13.【解析】【解答】由题意可知， ，
且 因为 故答案为：
，所以 。
，即
。
，解得 或 ，
【分析】利用角之间的关系式结合两角和的正切公式，从而结合二倍角的正切公式，再利用角的取值范围，从而求出角的正切值。
14.【解析】【解答】由题意可设抛物线的其中一种方程为 且过
的直线的点斜式方程为
，
，
， ，
由 联立消去 可得， ，
所以 所以
， ，
，
所以
，那么抛物线
。
的一个方程为
。
故答案为：
【分析】由题意可设抛物线的其中一种方程为
，
，
而求出抛物线的一个方程。
，
，且过 的直线的点斜式方程为
，再利用直线余抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，所以
，再利用两点距离公式得出
， 从而求出p的值，进
15.【解析】【解答】由题意可知， ， ，且 ，所以
。
故答案为：1090。
【分析】由题意可知， 式，从而求出数列
，
，且 的中点为点
，再利用分组求和的方法和等比数列前n项和公，连结
，
，取
的中点为点
，
前21项的和。
16.【解析】【解答】由题意可知，取
连结 又因为 那么 所以
，因为 为球的直径，所以
，所以
，所以 ，所以
，又因为
，
， 平面
， ，所以
。
，因为
，
， ，且
，所以
故答案为:
【分析】由题意可知，取 因为
为球的直径，所以
全等的判断方法，所以
，那么
，
的中点为点
。
，所以
，连结 ， ，取 的中点为点 ，连结 ， 平面 ，所以
，
，又因为
，再利用全等三角形的性质，所以 ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以
，又因为
，再利用两三角形
，再利用三棱锥的体积公式，所以
，因为
，再利用放缩法得出
，从而结合三棱锥的体积公式得出三棱锥
的体积的最大值。
四、解答题
17.【解析】【分析】 在 根本关系式可得， 用诱导公式，所以
中，由余弦定理得出BC的长，由
，由正弦定理得， ，因为
平分
，又因为内角 ，所以
结合同角三角函数与
互补，再利
，再由正弦定理得出CD的长。
18.【解析】【分析】〔1〕 利用定义，从而推出数列出数列
是首项为
的关系式结合
，公比为
，再利用分类讨论的方法结合等比数列的
的等比数列，再利用等比数列的通项公式，从而求
的通项公式。
的通项公式，再由
，从而求出数列
，结合对数的运算法那么，得出数列
的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出成立。
〔2〕利用〔1〕求出的数列 的通项公式，又因为 数列
的前 项和，再利用放缩法证出不等式
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合古典概型求概率公式，从而求出它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率。
〔2) 由图表知，有8颗恒星的“赤纬〞数值大于－56°，有2颗恒星的“赤纬〞数值小于－56° ,从而求出随机变量X可能的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
20.【解析】【分析】〔1〕 在正方体 面面平行的性质定理推出线线平行，所以 平面 〔2〕 以
。
为坐标原点，分别以
，
，
所在直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标
的大小。 中，平面
平面
，再利用
，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线
系， 从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而结合二面角的平面角的取值范围，进而求出二面角
21.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合四边形的面积公式，得出a,b的一个方程，再利用焦距的定义结合条件求出c的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而解方程组求出a,b,c的值，进而求出椭圆的标准方程。 〔2〕 设 积 截式方程为
内切圆 ，当
的半径为 ，再利用三角形面积公式结合求和法得出三角形 最大时， 也最大，三角形
的面和 ，
内切圆的面积也最大，设直线 的斜
，再利用直线余椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出，
，再利用三角形面积公式结合弦长公式，得出
令 ，那么 ，且 ，那么有 ，令 ，其中
，此时， 有最大值 ，得出
，使得
，
再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，那么
，从而求出m的值，那么直线 的方程为
，所以，
，再利用圆的面积公式得出此时所求内切圆的面积，所以存在直线
内切圆
22.【解析】【分析】〔1〕利用a的值求出函数的解析式，再设切点坐标为
的面积最大值为
。
的
，再利用求
导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再由切线过原点结合代入法，从而求出切点的横坐标，进而求出曲线 〔2〕 设
， ，
的过原点的切线方程。
，从而结合求导的方法判断函数的单调性，令 ，那么
，令
的单调性， 当
， 当 上有
， 时， 时，
，，所以 在 ， 当
，再利用求导的方法判
时，
，即
，从
再利用求导的方法结合分类讨论的方法，从而判断出函数
在
单调递减， 所以在区间
上单调递减，在
时，设 断函数
在
上有
上单调递增， 所以在区间
，由
可知， ，所以
上单调递增，又因为
而求出实数a的取值范围。
