人教版数学九年级上册 四点共圆,解题妙不可言

四点共圆是一种重要的解题方法，熟练判断四点共圆，并灵活运用圆的相关性质，能有效进行解题.

1.对角互补的四边形四点共圆证线段线段

例1如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD=210，CEAD于点E． 求证：AE=CE； （2）若tanD=3，求AB的长． （2018年北京石景山区模拟题）

分析：根据∠A=∠BCD=90°，利用对角互补的四边形共圆，作出这个圆，从而把问题转化为圆的知识，在圆的背景下求解，可以帮助同学们更容易找到求解思路. 解：

如图1，因为∠A+∠BCD=180°,所以四边形ABCD四点共圆，延长CE交圆于点F，连接AF，因为∠A=∠AEC=90°，所以AB∥CF，所以BC=AF,因为BC=CD，所以AF=CD，因为∠EAF=∠ECD， ∠F=∠D， 所以△AEF≌△CED，所以AE=CE. （2）略

点评：对角互补的四边形内接于圆，借助四点共圆，可以创造出更多解题所必需的条件，如夹在两平行弦之间的弦相等，为三角形的全等提供“S”元素.

2.对角互补的四边形四点共圆综合题

例2 如图2，四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，∠ADC=∠ABC=90°，∠BCD是锐角.

BD； ACBD（2）若AB=BC=4,AD+CD=6，求：的值.

AC（1）若BD=BC，求证：sin∠BCD=

（3）若BD=CD，,AB=6，BC=8。求：sin∠BCD的值.

分析：根据∠ADC=∠ABC=90°，可以判定四边形ABCD是满足四点共圆，且直径为AC，作出直径为AC的圆，就把普通的计算转化为圆的基本计算，充分利用圆的知识使得计算更加简便，提高计算的效率. 解：（1）因为∠ADC=∠ABC=90°，所以四点A,B,C,D都在直径为AC的圆上，如图2，因为BD=BC，所以∠BCD=∠BDC，因为∠BAC=∠BDC，所以∠BAC=∠BCD，在直角三角形ABC中， sin∠BAC=

BCBD，所以sin∠BCD=； ACAC（2）如图3，因为AB=BC=4，所以AC=42，延长DC到点E，使得CE=AD，连接BE，根据四边形的外角等于内对角，所以∠BCE=∠BAD，所以△BAD≌△BCE，所以BD=BE， ∠ABD=∠CBE，因为∠ABC=90°，AD+CD=6，所以∠DBE=90°，DE=6，所以BD=32，

所以

BD323=. AC424（3）如图4，因为BD=CD，作直径DF，交BC于点E，连接BF，则BE⊥DF，∠DBF=90°，BE=EC=4, 因为AB=6，BC=8，所以AC=DF=10，易证△DEB∽△BEF，所以BE2=DE•EF, 所以16=（10-EF）•EF,整理，得EF2-10EF+16=0,解得EF=2或EF=8(（舍去）， 当EF=2时，BF=25,所以sin∠BCD=sin∠F=

254BE==.

5BF25

点评：把一般几何问题转化为四点共圆问题，充分利用圆周角定理，垂径定理，把问题顺利

求解，且思路顺畅，是值得熟练掌握的好方法.

3.圆定义共圆和同底同侧等角的三角形，四顶点共圆，探究综合题

例3 如图5，△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转（保持点D在△ABC的内部），连接BD，CE. （1）求证：BD=CE；

（2）当AB=4,AD=2, ∠DEC=60°时，求BD的长；

（3）设射线BD和射线CE相交于点Q，连接QA，直接写出旋转过程中，QD,QE,QA之间的数量关系. 分析：

第一问：这是常规性的旋转问题，只要牢牢抓住旋转的全等性，借助三角形的全等结论就顺利得出.

第二问：解决起来就需要多方面的思考：一是平行线的判定问题，二是三点共线问题，三是三点共圆问题，四是三角形的相似问题，五是一元二次方程的根的问题，都需要缜密思考，规范解答，和谐思考才能顺利得解.

第三问：看似简单，但是要真正找到三者的数量关系，还需要动一番脑筋，特别是利用同底同侧对等角的三角形，则四点共圆，把问题转化成圆的相关知识解决，使得解题流畅，简洁，这里的分类思想也发挥着重要的作用. 解：

（1）如图5，由△ABC和△ADE都是等边三角形，所以AB=AC,AD=AE，

∠BAD+∠DAC=60°, ∠CAE+∠DAC=60°,所以∠BAD=∠CAE，所以△BAD≌△CAE，

所以BD=CE；

（2）根据（1）知道：∠BDA=∠CEA， 因为∠DEC=60°，所以∠CEA=∠BDA=120°，所以∠ADE+∠BDA=180°，所以B,D,E三点共线，设点G是AB的中点，则AG=AD=AE=DE=2,所以点G,D,E在以A为圆心，半径为2的圆上，延长GA交圆于点F，连接DG,EF，如图6， 易证△BGD∽△BEF，所以

BGBD,所以BG•BF =BD•BE,所以12=BD(BD+2), BEBF整理，得BD2+2BD-12=0,解得BD=-1+13或BD=-1-13 (（舍去），所以BD的长为13-1； （3）当点D在三点B,D,E共线时的左边时，如图7，QD,QE,QA之间的数量关系是： QD=QA+QE.

理由如下：根据（1）知道：∠ABD=∠ACE，所以∠QBC+∠QCB=60°-∠ABD +60°+∠ACE=120°，所以∠BQC=60°，因为∠DAE=60°，所以∠BQC=∠DAE，所以A,D,E,Q四点共圆，延长AQ到点F，使得QF=QE,连接EF，则∠FQE=∠ADE=60°，所以△QEF是等边三角形， 所以∠DQE=∠AFE=60°，∠FAE=∠QDE,EF=QE，所以△FAE≌△QDE，所以AF=QD， 所以QD=QA+QF=QA+QE.

当点D在三点B,D,E共线时的右边时，如图8，QD,QE,QA之间的数量关系是： QA=QD+QE.请同学们仿照上述证明，结合图形自己给出证明.

点评：四点共圆是一种非常有效的解题方法，希望同学们能尽量熟练掌握，不仅能开阔自己的视野，提高解题的效率，更重要的是丰富自己的知识储备，不受知识的局限，让自己的数

学解题游刃有余，提高自己数学解题能力.

4.同底同侧等角的三角形，四顶点共圆，判定四边形的形状

例4 如图9，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，点E在边AD的右侧，连接CE．

（1）求证：∠ACE=60°；

（2）在边AB上取一点F，使BF=BD，联结DF、EF．求证：四边形CDFE是等腰梯形． 分析：第一问：充分利用三角形的全等，结论就顺利得到.

第二问：证明抓住两个关键点，一是证明DF=CE,二是证明CD∥EF，利用好等边三角形的性质，四点共圆的判定方法，可以巧妙破解. 解：

（1）由△ABC和△ADE都是等边三角形，所以AB=AC,AD=AE，

∠BAD+∠DAC=60°, ∠CAE+∠DAC=60°,所以∠BAD=∠CAE，所以△BAD≌△CAE， 所以∠ABD=∠ACE=60°；

（2）由BF=BD，∠ABD=60°，所以△BFD是等边三角形，所以BD=DF=CE. 因为∠ADE=∠ACE=60°，所以A,D,C,E四点共圆，

因为∠AFD+∠AED=180°，所以点A,F,D,E四点共圆，所以点A,F,D,C,E五点共圆，所以 ∠AFE=∠ADE=60°，所以∠AFE=∠B，所以CD∥EF，所以四边形CDFE是等腰梯形．

点评：此题也可以用其他方法求解，感兴趣的同学可以自我尝试一下.