平衡晶格常数及体弹模量的模拟计算（0K）
一、实验原理
1.1平衡晶格常数
通过分子动力学模拟，在给定条件下，计算晶体结构最稳定，也就是体系能 量最小时所对应的晶格间距，即为平衡晶格常数。 1.2体弹模量
在弹性变形范围内，物体的体应力与相应体应变之比的绝对值称为体弹模 量。表达式为
dP
式中，P为体应力或物体受到的各向均匀的压强，dV/V为体积的相对变化。 对于立方晶胞，总能量可以表示为& =ME E为单个原子的结合能，M为单位晶 胞内的原子数。晶胞体积可以表示为 V=aW,那么压强P为
故体弹模量可以表示为
M护E R — __ ___ da2 皿
根据实验第一部分算出的平衡晶格常数，以及能量与晶格间距的函数关系, 可以求得对应晶格类型的体积模量。
二、拟合方法
2.1多项式拟合
使用下式对计算数据进行拟合，计算系数
a、b、c。
平衡晶格常数即为-b/2a，二阶导数即为2a。
22 Birch-Murnaghan 方程拟合
Birch-Murnaghan 方程如下
通过这种方法可以直接拟合得出平衡晶格常数及体弹模量
三、操作步骤
3.1 步骤及解释 $ cp -r share/1_lattice
$ cd 1_lattice
复制文件夹
依次进入包含某一元素运行文件的文件夹中
$ cd Cu (or Al, Si, Fe, Mg)
$ gedit in.lattice $ lmp < in.lattice $ A.i686 a0.cfg
编辑运行文件
使用lammps运行文件 使用ayomeye观察晶体结构
拟合数据并作图
$ gnuplot plot.2nd.gnu (plot.bm.gnu) & 3.2 实际步骤(以 Cu 为例)
[user022@cluster ~]$ cp -r share/1_lattice/ ~ [user022@cluster ~]$ ls
1_lattice 2_point bin Desktop share [user022@cluster ~]$ cd 1_lattice/ [user022@cluster 1_lattice]$ ls Al Cu Fe Mg Si
[user022@cluster 1_lattice]$ cd Cu/ [user022@cluster Cu]$ ls
in.lattice jin_copper_lammps.setfl plot.2nd.gnu plot.bm.gnu [user022@cluster Cu]$ lmp < in.lattice [user022@cluster Cu]$ A.i686 a0.cfg
[user022@cluster Cu]$ gnuplot plot.2nd.gnu [user022@cluster Cu]$ gnuplot plot.bm.gnu
四、模拟数据
4.1 Mg
4.1.1多项式拟合
szec ]ng and energyi
-1.S277 -1*5278 -1,5279 -1,528 -1 a52fil -1-5282 -1.6283 -1.S3B4 -la52S5 -1；5M6
-1.5207
3JSE 3J7
?/175
3.18 孔 IM
341
王 2
LsfttiM
(Arngctrcm)
Final set of parameters Asymptotic Stan dard Error a = 2.27117 +/- 0.002085 (0.09179%) b = -14.4 +/- 0.01328 (0.0918%) c = 21.4997 +/- 0.02114 (0.09833%)
4.1.2 Birch-Murnaghan
方程拟合
Equstlon fli' State fl F CP
-1*SE77
1
1
1
rrr
Iirdh Fit HCP
Lattice:
E_0 = -1.52868631023185 eV
a_0 = 3.18431542679217 An gstrom / V_0 = 22.76161517799 An gstrom**3 /
B 0 = 36.29 GPa
-1*3282 _ /
“ B_0'= -0.7614207502543
1.52S3
-1»3N4
-1.9B5 -l»5CSb -l.szar
223
22.4
22.5
畐G
22.7 22.8 砂
V&lurw/itoft
4.2 Al
?.2O!
421多项式拟合
-3+409Q
-3L4L
-3*4101
-5*siae
-3,1103
壬Li4
-3+4LO5
-3.4106
T.4107
HQ 収皿 需呵 札谢 4.W5
4x06
4+055
<06
紳馳)帕(Arigsiruul
Final set of parameters Asymptotic Stan dard Error
r^uatiDn of StaM af FCQ
=2.20808
+/- 0.005565 (0.252%) b = -17.8654
+/- 0.04503 (0.252%) c = 32.7261
+/- 0.09108 (0.2783%) 4.2.2 Birch-Murnaghan 方程拟合
-3,41 -3-4101
-3L41W
-3+4105
J LOG
-3JL07
1EJ 仙+亟 IE.4 爲術 IE.5 IE*丟 饰竹
iE再5 16,7
曲］i,片#对饰(A'^)
FCC E_0 = a_0 = V_0 =
4.3 Si
431多项式拟合
_attloe sjacir c 訥」en&roii
ac〔// Av 0=」o (LE匚u 4 4
Et415 5 JOS 5J3 5>J6 E* 钢 &*4I5 attic# spar r；- (^nortrflm)
Final set of parameters
Asymptotic Stan dard Error
a = 1.93485 +/-
方程拟合
b = -21.0163 0.001141 (0.057%) c = 52.7331 +/- 0.01239 (0.056%) 4.3.2 Birch-Murnaghan
+/- 0.03365
(0.06381%)
E 甲皐 tgn oP State oF di wo nd
-<爲5电
)i^nund
0
Birch fit -
diam ond Lattice:
E_0 = -4.336600007175 eV a_0 = 5.436 An gstrom
V_0 = 20.25 An gstrom**3
% 7 7 (h33336162B_0 = 101.425444944596 GPa
3363 *wo*B_0'= 2.855
<3*lg -4,^
-4^6£.
-4囚旺
13*0 13.C5 10*9
19t9S 凸 20* 闻
3*丄
20,15
20, C £0*2
l/uluhe/atufl (flA3)
5,*E
4.4 Fe
441多项式拟合
L^tt-icd spacing andl ensrgy
4匹
-4*12妊
-4*1215
-4A22
-^122&
2”妙
2.945
2*!K
占騎 5
2.68
2,0£5
2 期
2,6?
Lactlca apotlm (師gstmw、
Final set of parameters
Asymptotic Stan dard Error+/- 0.001914 (0.02686%)
+/- 0.01093 (0.02686%) +/- 0.01561 (0.021%)
方程拟合
bqiiatiori DF Statp of HU
rcc p B^rch fit :
a = 7.12859 b = -40.7092 c = 53.9969 4.4.2 Birch-Murnaghan
4*1195
-心
BCC Lattice:
E_0 = -4.1224351934112 eV a_0 = 2.85532720281661 An gstrom V_0 = 11.63952035167 An
gstrom**3
<121
B_0 = 177.84840115414 GPa B_0'= 1.446
11.4
-4x1225
胡.125
11 屛 5 11+5 11.55 11.6 llt65 Llt7 11,75 VolJFif/s'aift 用牛，
l：t95 11/
4.5 Cu
4.5.1多项式拟合 Lattice spacirig irid Bnergiy
-3,469 3>6S4 -3.
-J.4E3S
-3J902
5.EO5
Lottie# spacing〔qngrtron)
Final set of parameters
Asymptotic Stan dard Error
=3.48337
+/- 0.005239 (0.1504%)
b = -25.1497 +/- 0.03783 (0.1504%) c = 41.9049 +/- 0.06829 (0.163%)
4.5.2 Birch-Murnaghan
方程拟合
Equation of Slate of FC匚
-3tFCC Lattice: -3t40S8 E 0 = -3.499 eV-3.499 a_0 = 3.68 An gstrom V_0 = 11.76 An
gstrom**3 円宀5,4032
B 0 = 137.631357881733 GPa £芯 _)
B 0'= 4.224
」£
33-3,4934 !« >) -3*4338
-3.^
氓4W
11.55
11.6
ll+65
11,7
I1t75
11.8 ilt85 11J 11.35
\\blur*c/otcm
12
表1多项式拟合结果及实验数值
2nd Structure M Expt %(?) Mg HCR 3.209, c/a=1.623 Expt B(GPa) 35 MD Relative error MD B(GPa) 36.024 Relative error 弘⑺ 3.184, c/a=1.628 他)% 0.771 (B)% 2.925 4/(屁?/??? Al Si Fe FCC, 4 Diam on d,8 BCC, 2 FCC, 4 4.049 5.431 2.866 3.614 Expt 72 98 168 142 4.045 5.431 2.855 3.610 MD 0.087 0 0.372 0.112 Relative error % 0.769 77.734 101.476 177.778 137.423 MD B (GPa) 36.030 7.9 3.547 5.820 3.223 Relative error Cu bm Structure M Expt B(GPa) 妝?) Mg HCPG(屁?? 3.209, c/a=1.623 35 n1 (?) 3.184 , c/a=1.628 (B)% 2.943 /?? Al Si Fe FCC, 4 Diam on d,8 BCC, 2 FCC, 4 4.049 5.431 2.866 3.614 72 98 168 142 4.045 5.431 2.855 3.610 0.092 0 0.372 0.114 77.780 101.425 177.848 137.631 8.028 3.495 5.862 3.077 Cu 表2 bm拟合数值及实验数值
表3晶格常数模拟值与实验值的相对误差
Relative error Mg Al Si Fe Cu (% )% 2nd 0.771 0.769 0.087 0.092 0 0 0.372 0.372 0.112 0.114 bm 表4体弹模量模拟值与实验值的相对误差
Relative error Mg 2.925 2.943 Al 7.9 8.028 Si 3.547 3.495 Fe 5.820 5.862 Cu 3.223 3.077 (B) % 2nd bm 五、结论
对上述几种元素晶体晶格常数的模拟计算， 两种拟合方法得出的结论与实验 结果均符合得很好，两种方法产生的相对误差值也很接近。 但是计算体积模量时， 计算公式放大了误差。 采用多项式拟合方法时， 若采用 4阶或 5阶拟合，平衡晶 格常数的计算效果会更好。
