矩阵合同的定义

篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别 矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价：

1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A B 。

2、矩阵等价的充要条件： AB{

同型，且人r(A)=r(B)

存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立

3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同：

1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A BBPAPB T 二次

型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似

1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。 2、矩阵相似的性质： A~B,A~B,A A~B TTkk1

~B(前提，A,B均可逆) 1

|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B)

tr(A)tr(B)即A,B的逆相等 |A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件：

①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 A(1,2,,n)，B(1,2,,m)

1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。

2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B同型且r(A)r(B) A~B,AB,ABr(A)r(B)AB 。

3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有

AB(1,2,,n)(1,2,,n)

综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。

1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 ①相似等价：A~ ②合同等价：A B

A,B同型且r(A)r(B) AB

BA,B同型且r(A)r(B)AB

③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以 Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当 A~B

时，|EA||EB|二次型f(x)

XAX T 与g(x) XBX T 有相同的

标准型，即二者有相同的正负惯性指数 即有A~ BABAB ABAB T

E使得PAPB即AB

Ⅱ、存在一个正交矩阵P，即PTP BPAPP T 1 则有 AP~A B 即有A BA~B

Ⅲ、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则 A~B

时有 A~BABAB

Ⅳ、A~Br(A)r(B)、ABr(A)r(B)、ABr(A)r(B) B,AB成立的条件。

下面讨论r(A)r(B)时A~B,A由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知 存在正交矩阵P时，有PT T P 1 则

r(PAP)r(A)记BPAP则r(A)r(B) T 此时A BA~BAB A~B,AB,AB

即P为正交矩阵时，由r(A)r(B)（三） 1、矩阵等价：①同型矩阵而言 ②一般与初等变换有关

③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的 本质是秩相等

2、矩阵相似：①针对方阵而言 ②秩相等是必要条件 ③本质是二者有相等的不变因子 3、矩阵合同：①针对

方阵而言，一般是对称矩阵 ②秩相等是必需条件 ③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同 由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵

篇二：线性代数中的合同关系、正定矩阵 什么是线性代数中的合同？ 惯性定律？

“合同”是矩阵之间的一种关系。两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。按照 它可以对n阶方阵的全体进行分类。对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。

①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。 ②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。 结果②就是“惯性定理”。

一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确 不对，反例： 12 21

只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定 设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n) 都有 XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。

正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。

另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 正定矩阵的一些判别方法

由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法： 阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

证明：若 ， 则有 ∴λ＞0

反之，必存在U使 即 ： A正定

由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵

的充要条件是：A的特征值全部非负。 特征值都在主对角线上运算你知道的吧。 行列式小结 一、行列式定义

行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。

举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。

那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢？ 行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的（共有n!项）。（这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！） 对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依据行列式的性质和展开法则。 二、行列式性质

行列式的那几条性质其实也很容易记忆。

1、行列式转置值不变。这条性质说明行列式行、列等

价，凡是对行成立的，对列也成立。 2、互换两行（列），行列式变号。 3、两行（列）相等，则行列式为0。

4、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！

5、两行（列）成比例，则行列式为0。

6、行列式加法运算：某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。

7、某行（列）同乘一个数加到另外一行（列）上，行列式值不变。

这7条性质往往组合使用来求行列式的值。尤其第7条性质，一定要会熟练运用来将一个行列式化为三角行列式（既要会对行使用，也要会对列使用），最好能自己多做点练习。

三、行列式行（列）展开法则

行列式的行（列）展开法则其实是一种降阶求行列式值的方法。

行列式的行（列）展开法则一定注意一点，即一定是某行（列）每个元素同乘以自己对应的代数余子式。（即我一直强调的：要配套。）

如果是某行（列）每个元素同乘以另外一行（列）对应

位置的代数余子式则值为零。（即：不配套。） 矩阵小结 初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。初等变换有三类：

1、位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；

2、数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素； 3、消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。

则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。 1、交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；

2、数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；

3、消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。

其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。

初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个3阶或者4阶的单位矩阵，然后进行初等变换来加深一下印象。 首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。 最关键的问题是：初等矩阵能用来做什么？

当我们用初等矩阵左乘一个矩阵A的时候，我们发现矩阵A发生变化而成为矩阵B，而这种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化。具体来说： 左乘的情况：

1、E(i,j)A=B，则矩阵A第i行与第j行位置交换而得到矩阵B；

2、E(i(k))A=B，则矩阵A的第i行的元素乘以数k而得到矩阵B；

3、E(ij(k))A=B，则矩阵A的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上而得到矩阵B。 结论1：用初等矩阵左乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的行的初等变换。右乘的情况：

4、AE(i,j)=B，则矩阵A第i列与第j列位置交换而得到矩阵B；

5、AE(i(k))=B，则矩阵A的第i列的元素乘以数k而得到矩阵B；

6、AE(ij(k))=B，则矩阵A的第i列元素乘以数k，然后加到第j列上而得到矩阵B。 结论2：用初等矩阵右乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的列的初等变换。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

请注意并理解结论1和结论2中的“相应”两字。

初等矩阵为由单位矩阵E经过一次初等变换（三种）而来，我们可以把初等矩阵看成是施加到单位矩阵E上的一个变换。

若某初等矩阵左（右）乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，我们想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。 篇三：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别 矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 20XX09113 李娟娟 一、基本概念与性质 （一）等价：

1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。 2、矩阵等价的充要条件：

AB{同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立

3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同：

1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得

ABPTAPB成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则AB二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似

1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。 2、矩阵相似的性质：

AT~BT,Ak~Bk,A1~B1(前提，A,B均可逆)

|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立） A~Br(A)=r(B)

tr(A)tr(B)即A,B的逆相等 |A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件：

①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 A(1,2,,n)，B(1,2,,m)

1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关

组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性

却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。

2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B

同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB。

3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,,n)(1,2,,n)

综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。

1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 ①相似等价：A~BA,B同型且r(A)r(B)AB ②合同等价：ABA,B同型且r(A)r(B)AB

③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以 Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当A~B时，|EA||EB|二次型f(x)XTAX与g(x)XTBX有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数ABAB

即有A~BABAB

Ⅱ、存在一个正交矩阵P，即PTPE使得PTAPB即AB则有

1BPTAPPAP~A B 即有ABA~B

Ⅲ、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则 A~B时有 A~BABAB

Ⅳ、A~Br(A)r(B)、ABr(A)r(B)、ABr(A)r(B) 下面讨论r(A)r(B)时A~B,AB,AB成立的条件。 由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知 存在正交矩阵P时，有PTP1，则 r(PTAP)r(A)记BPTAP则r(A)r(B) 此时ABA~BAB

即P为正交矩阵时，由r(A)r(B)A~B,AB,AB （三）

1、矩阵等价：①同型矩阵而言 ②一般与初等变换有关

③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的 本质是秩相等

2、矩阵相似：①针对方阵而言 ②秩相等是必要条件

③本质是二者有相等的不变因子

3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵 ②秩相等是必需条件

③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同 由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不

变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵 篇四：矩阵的分类

合同矩阵(等价矩阵、相似矩阵、置换矩阵、若尔当标准型)

(20XX-04-05 13:58:14) 标签： 分类： 工作篇 校园 合同矩阵

在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵

合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 。

对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。 性质

合同关系是一个等价关系，也就是说满足： 反身性：

对称性：

传递性： 合同于合同于，则可以推出，合同于合同于。 合同于。 ，使得 和是，则可以推出

由于每个二次型都可以经过线性替换变成若干个平方和的形式，对于矩阵来说，就是每个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，后者称为一个标准形。根据谱定理，替换的过渡矩阵可以是一个正交矩阵。

如果不考虑替换矩阵的正交性，那么在复数域中，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。对角线上的1的个数等于原来的矩阵的 秩。因此每个可逆的对称矩阵都合同于单位矩阵。

在实数域中，根据惯性定理，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负1构成的对角矩阵。如果设1的个数是p，-1的个数是q，那么给定(p,q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。数对(p,q)称为一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数其中1的个数p称为正惯性指数， -1的个数q称为负惯性指数， p-q叫做符号差。据此可以得出：合同关系将所有的对称矩阵分为 正定二次型

主条目：正定二次型

一个二次型被称为半正定的，如果它对应的对称矩阵在实数域内合同到一个一个对角线上元素只由0和1构成的对

角矩阵。如果一个二次型的矩阵在实数域内合同于单位矩阵，那么称其为正定二次型。一个二次型是半正定二次型当且仅当它的正惯性指数等于它对应的矩阵的秩；是正定二次型当且仅当它的正惯性指数是 n。 正定二次型必然是可逆矩阵，而且它的行列式大于0。

同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。 参看

相似矩阵个等价类。 参考资料

北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，《高等代数》，高等教育出版社，20XX年。 来自“XX/w/title=合同矩阵&oldid=17636850” 合同矩阵 定义

在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵P，使得

对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。 性质

合同关系是一个等价关系，也就是说满足： 1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A； 3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；

4、合同矩阵的秩相同。 正定二次型

主条目：正定二次型

一个二次型被称为半正定的，如果它对应的对称矩阵在实数域内合同到一个一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。如果一个二次型的矩阵在实数域内合同于单位矩阵，那么称其为正定二次型。一个二次型是半正定二次型当且仅当它的正惯性指数等于它对应的矩阵的秩；是正定二次型当且仅当它的正惯性指数是 n。 正定二次型必然是可逆矩阵，而且它的行列式大于0。

同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。 合同矩阵发展史

1855 年，埃米特(,1822-1901) 证明了其他数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施

(,1831-1872) 、布克海姆 等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯 引入矩阵的迹的概念并得出了一些有关的结论。

在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(,1849-1917) 的贡

献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。 12 年，梅茨勒 引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。 扩展阅读： XX/wiki/合同矩阵 XX/_m/blog/item/ 等价矩阵

在线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。假设有两个的矩阵，记作A和B。它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵： 及 的矩阵Q，使得 的矩阵P以

这时称两个矩阵A和B是等价矩阵。矩阵之间的等价和矩阵的相似关系有所不同。如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得

由于其中的P-1也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。但是，等价的矩阵不一定是相似的。首先相

似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵。

一定是P的逆矩阵。

性质 等价矩阵是矩阵集合中的一种等价关系。 中用到的Q也不

两个矩阵等价当且仅当：

其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。 它们有相同的秩。 参见 相似矩阵 合同矩阵

这是与数学相关的小作品。你可以通过xx或修订扩充其内容。 相似矩阵

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得： 或

P被称为矩阵A与B之间的相似变换矩阵。

相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决。

严格定义

两个系数域为K的n×n的矩阵A与B为域L上的相似矩阵当且仅当存在一个系数域为L的n×n的可逆矩阵P，使得：

这时，称矩阵A与B“相似”。B称作A通过相似变换矩阵：P得到的矩阵。术语相似变换的其中一个含义就是将矩阵A变成与其相似的矩阵B。 性质

相似变换是矩阵之间的一种等价关系，也就是说满足： 反身性：任意矩阵都与其自身相似。

对称性：如果A和B相似，那么B也和A相似。 传递性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。

矩阵间的相似关系与所在的域无关：设K是L的一个子域，A和B是两个系数在K中的矩阵，则A和B在K上相似当且仅当它们在L上相似。这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。

如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个置换矩阵，那么就称 A和B“置换相似”。如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个酉矩阵，那么就称 A和B“酉相似”。谱定理证明了每个正交矩阵都酉相似于某个对角矩

阵。

相似变换下的不变性质

两个相似的矩阵有许多相同的性质： 两者的秩相等。 两者的行列式相等。 两者的迹数相等。

两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。

两者拥有同样的特征多项式。 两者拥有同样的初等因子。 这种现象的原因有两个：

两个相似的矩阵可以看做是同一个线性变换的“两面”，即在两个不同的基下的表现。 映射X P1XP是从n阶方阵射到n阶方阵的一个双射同构，因为P是可逆的。 因此，在给定了矩阵A后，只要能找到一个与之相似而又足够“简单”的“规范形式”B，那么对A的研究就可以转化为对更简单的矩阵B的研究。比如说A被称为可对角化的，如果它与一个对角矩阵相似。不是所有的矩阵都可以对角化，但至少在复数域（或任意的代数闭域）内，所有的矩阵都相似于一些被称为若尔当标准形的简单的矩阵。另一种标准形：弗罗贝尼乌斯标准形则在任意的域上都适用。只要查看A和B所对应的标准形是否一致，就能知道两者是否相

似。 参见 合同矩阵 正则形式 等价矩阵 参考 相似矩阵

相似矩阵及其性质 相似矩阵的特征值 矩阵的对角化 置换矩阵

在数学中的矩阵论里，置换矩阵是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1，其余的系数都是0。在线性代数中，每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素（n维空间的基）的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。

严格定义

每个n元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。设π 为一个n元置换： 给出其映射图：

它对应的n × n的置换矩阵Pπ是：在第i横行只有π(i)位置上系数为1，其余为0。即可以写做：

其中每个表示正则基中的第j个，也就是一个左起第j个元素为1，其余都是0的n元横排数组。 由于单位矩阵是

置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵。 性质

对两个n元置换π 和 σ的置换矩阵Pπ 和Pσ，有 一个置换矩阵Pπ 必然是正交矩阵（即满足 ），并且它的逆也是置换矩阵：