2013年南通中考数学试卷+答案

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江苏省南通市2013年中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1．下列各数中，小于﹣3的数是（ ） 2 1 A．B． C． ﹣2 D． ﹣4 2．某市2013年参加中考的考生人数约为85000人，将85000用科学记数法表示为（ ）

4545 A．B． C． D． 8.5×10 8.5×10 0.85×10 0.85×10 3．下列计算，正确的是（ ） 4332663234 A．B． C． D． x﹣x=x （xy）=xy x÷x=x x•x=x 4．（3分）（2013•南通）如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

4 3 2 1 A．B． C． D． 5．（3分）（2013•南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（ ） 1 2 3 4 A．B． C． D． 6．（3分）（2013•南通）函数 A．x＞1 x≥1 B． 中，自变量x的取值范围是（ ）

C． x＞﹣2 D． x≥﹣2 是（ ）

7．（3分）（2013•南通）如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹

A．以点B为圆心，OD为半径的圆 B． 以点B为圆心，DC为半径的圆 以点E为圆心，OD为半径的圆 C．D． 以点E为圆心，DC为半径的圆 8．（3分）（2013•南通）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6πcm，则扇形的半径为（ ）

3cm 5cm 6cm 8cm A．B． C． D． 9．小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法： （1）他们都行驶了20km；（2）小陆全程共用了1.5h； （3）小李与小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度； （4）小李在途中停留了0.5h．其中正确的有（ ）

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A 4个 B 3个 C 2个 D 1个

10．如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是则

等于（ ）

3.5 B． 3 C． 2.8 D． 的中点，CD与AB的交点为E，

4 A．

（第9题）

（第10题）

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11．若反比例函数y=的图象经过点A（1，2），则k= ．

12．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于 度．

（第12题） （第14题） 13．）一个几何体的主视图、俯视图和左视图都是大小相同的圆，则这个几何体是 ．

14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是 ． 15．）已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是 ． 16．（如图，经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为 ．

（第16题） （第17题）

17．如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为 cm．

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18．已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，

2

多项式x+4x+6的值等于 ．

三、解答题（本大题共10小题，共96分．） 19．（11分）（1）计算：

（2）先化简，再求代数式的值：

，其中m=1． ；

2 20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．

（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为 ，点B关于x轴的对称点B′的坐标为 ，点C关于y轴的对称点C的坐标为 ． （2）求（1）中的△A′B′C′的面积． 21．（8分）某水果批发市场将一批苹果分为A，B，C，D四个等级，统计后将结果制成条形图，已知A等级苹果的重量占这批苹果总重量的30%． 回答下列问题：

（1）这批苹果总重量为 kg； （2）请将条形图补充完整；

（3）若用扇形图表示统计结果，则C等级苹果所对应扇形的圆心角为 度．

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22．（10分）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片，小明、小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏．

小明画出树状图如图所示：

小华列出表格如下： 1 2 3 4 第一次 第二次 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） ① 2 （1，2） （2，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） 回答下列问题： （1）根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是，随机抽出一张卡片后 不放回 （填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；

（2）根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为 （3，2） ；

（3）规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为谁获胜的可能性大？为什么？

23．（8分）（2013•南通）若关于x的不等式组

恰有三个整数解，求实数a

的取值范围． 24．（8分）（2013•南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． 求证：四边形BCDE是矩形．

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25．（8分）（2013•南通）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=2∠B，⊙O的切线AP与OC的延长线相交于点P，若PA=cm，求AC的长．

26．（8分）（2013•南通）某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

2

信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax+bx．在x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6．

信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x． 根据以上信息，解答下列问题； （1）求二次函数解析式；

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（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

27．（13分）（2013•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．

（1）求证：点E到AC的距离为一个常数； （2）若AD=，当a=2时，求T的值；

（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．

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28．（13分）（2013•南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线

相交于点A（x1，y1），B（x2，

y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0． （1）求b的值；

（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．

的图象上；

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江苏省南通市2013年中考数学试卷答案

一、 1-5 D A C B C 6-10 A D B A C

二、 11．2 12．70度 13．球体 14． 15． 2.8 16．﹣2＜x＜﹣1 17．5 18．3 三19．

解答： 解：（1）

=÷÷1﹣3

=﹣3；

（2）

=• =， 当m=1时，原式=﹣． 20．（9分）（2013•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点． （1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为 （1，﹣5） ，点B关于x轴的对称点B′的坐标为 （4，﹣2） ，点C关于y轴的对称点C的坐标为 （1，0） ． （2）求（1）中的△A′B′C′的面积．

解答：解： （1）∵A（﹣1，5），

∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5）．

∵B（4，2），

∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）．

∵C（﹣1，0），

∴点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）．

故答案分别是：（1，﹣5），（4，﹣2），（1，0）．

（2）如图，∵A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′

（1，0）．

∴A′C′=|﹣5﹣0|=5，B′D=|4﹣1|=3，

∴S△A′B′C′=A′C′•B′D=×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是7.5．

21．（1）这批苹果总重量为 4000 kg； （2）请将条形图补充完整；

（3）若用扇形图表示统计结果，则C等级苹果所对应扇形的圆心角为 90 度．

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解答：解： （1）1200÷30%=4000（kg）． 故这批苹果总重量为4000kg； （2）4000﹣1200﹣1600﹣200=1000（kg）， 将条形图补充为： （3）×360°=90°． 故C等级苹果所对应扇形的圆心角为90度． 故答案为：4000，90． 22．（1） 不放回 ；（2） （3，2） ； 解答：（3）理由如下： ∵根据小明的游戏规则，共有12种等可能的结果，数字之和为奇数的有8种， ∴概率为：=； ∵根据小华的游戏规则，共有16种等可能的结果，数字之和为奇数的有8种， ∴概率为：∵＞ ∴小明获胜的可能性大． 故答案为不放回；（3，2）． 23． 解答： 解：解+=， ＞0，得x＞﹣； 解3x+5a+4＞4（x+1）+3a，得x＜2a， ∴不等式组的解集为﹣＜x＜2a． ∵关于x的不等式组∴2＜2a≤3， 解得1＜a≤．

恰有三个整数解， ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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24．

解答：证 明：∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，

∴∠BAE=∠CAD，

∵在△BAE和△CAD中

∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，

∵DE=BC，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵AE=AD，

∴∠AED=∠ADE，

∵∠BEA=∠CDA，

∴∠BED=∠CDE，

∵四边形BCDE是平行四边形，

∴BE∥CD，

∴∠CDE+∠BED=180°，

∴∠BED=∠CDE=90°，

∴四边形BCDE是矩形．

25． 解：∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=2∠B， ∴∠B=30°，∠BAC=60°， ∵OA=OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC=60°，AC=OA， ∵PA是⊙O切线， ∴∠OAP=90°， 在Rt△OAP中，PA=6cm，∠AOP=60°， ∴OA=∴AC=OA=6． 26．

解答：解 ：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6， ∴解得， ， 2==6， 所以，二次函数解析式为y=﹣0.1x+1.5x；

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关联性教育首倡者 （2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利 润之和为W元， 222 则W=﹣0.1m+1.5m+0.3（10﹣m）=﹣0.1m+1.2m+3=﹣0.1（m﹣6）+6.6， ∵﹣0.1＜0， ∴当m=6时，W有最大值6.6， ∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最 大利润是6.6万元． 27． 解答： 解：（1）由题意得：tanA===， ∴∠A=60°． ∵DE∥AB， ∴∠CDE=∠A=60°． 如答图1所示，过点E作EH⊥AC于点H， 则EH=DE•sin∠CDE=a•=a． ∴点E到AC的距离为一个常数． （2）若AD=，当a=2时，如答图2所示． 设AB与DF、EF分别交于点M、N． ∵△DEF为等边三角形，∴∠MDE=60°， 由（1）知∠CDE=60°， ∴∠ADM=180°﹣∠MDE﹣∠CDE=60°， 又∵∠A=60°， ∴△ADM为等边三角形， ∴DM=AD=． 过点M作MG∥AC，交DE于点G，则∠DMG=∠ADM=60°， ∴△DMG为等边三角形， ∴DG=MG=DM=． ∴GE=DE﹣DG=2﹣=． ∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE， 又∵DE∥AB， ∴四边形MGEN为平行四边形． ∴NE=MG=，MN=GE=． ∴T=DE+DM+MN+NE=2+++= ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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．

关联性教育首倡者 （3）若点D运动到AC的中点处，分情况讨论如下： ①若0＜a≤ ∴T=3a； ②若＜a≤，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示： ，△DEF在△ABC内部，如答图3所示： 设AB与DF、EF分别交于点M、N，过点M作MG∥AC交DE于点G． 与（2）同理，可知△ADM、△DMG均为等边三角形，四边形MGEN为平行四边形． ∴DM=DG=NE=AD=﹣， +（a﹣）+=2a+； ，MN=GE=DE﹣DG=a∴T=DE+DM+MN+NE=a+③若＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示： 设AB与DF、EF分别交于点M、N，BC与DE、EF分别交于点P、Q． 在Rt△PCD中，CD=∠DPC=30°， ∴PC=CD•tan60°=×=． ，∠CDP=60°，∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°． 由（1）知，点E到AC的距离为﹣． ∴QE=PQ•tan30°=（a﹣）×=a﹣，PE=2QE=a﹣． ）﹣（a﹣）﹣（a﹣）+． a，∴PQ=a由②可知，四边形MDEN的周长为2a+∴T=四边形MDEN的周长﹣PE﹣QE+PQ=（2a+（a﹣）=a+﹣． 综上所述，若点D运动到AC的中点处，T的关系式为：

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关联性教育首倡者 T=． 28． 解答：（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C， ∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣， ∴△OCD的面积S=（﹣）•b=﹣∵kS+32=0， ∴k（﹣）+32=0， ． 解得b=±8， ∵b＞0， ∴b=8； （2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=将x=代入y=x，得y=（222， ）， 2整理，得y﹣（16+8k）y+=0． ∵直线y=kx+8与抛物线22相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴y1，y2是方程y﹣（16+8k）y+=0的两个根， ∴y1•y2=， ∴点（y1，y2）在反比例函数 （3）证明：由勾股定理，得 OA=2的图象上； +，OB=2+，AB=（x1﹣x2）+（y1﹣y2）， 222由（2）得y1•y2=， 同理，将y=kx+8代入y=x， 得kx+8=x，即x﹣8kx﹣=0， ∴x1•x2=﹣， 222

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关联性教育首倡者 ∴AB=22+2+++﹣2x1•x2﹣2y1•y2=++， +++， 又∵OA+OB=222∴OA+OB=AB， ∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°． 如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F． ∵∠AOB=90°， ∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF， 又∵∠AEO=∠OFB=90°， ∴△AEO∽△OFB， ∴=， ∵OE=﹣x1，BF=y2， ∴=， ∴x1•OB+y2•OA=0．

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