力学相关模型题附详解

弹力为FN1。斜面不固定，且地面也光滑时，物体下滑的加速度为a2，斜面对物体的弹力为FN2，则下列关系正确的是：

A. a1a2,FN1FN2 B. a1a2,FN1FN2 C. a1a2,FN1FN2 D. a1a2,FN1FN2

当斜面可动时，对物体来说是相对斜面这个加速参考系在作加速运动，而且物体和参考系的运动方向不在同一条直线上，利用常规的方法难于判断，但是利用矢量三角形法则能轻松获解。

如图4所示，由于重力的大小和方向是确定不变的，斜面弹力的方向也是惟一的，由共点力合成的三角形法则，斜面固定时，加速度方向沿斜面向下，作出的矢量图如实线所示，当斜面也运动时，物体并不沿平行于斜面方向运动，相对于地面的实际运动方向如虚线所示。所以正确选项为B。

2． 如图1.05所示，在水平地面上有一辆运动的平板小车，车上固定一个盛水的杯子，杯

子的直径为R。当小车作匀加速运动时，水面呈如图所示状态，左右液面的高度差为h，则小车的加速度方向指向如何？加速度的大小为多少？

图1.05

我们由图可以看出物体运动情况，根据杯中水的形状，可以构建这样的一个模型，一个物块放在光滑的斜面上（倾角为），重力和斜面的支持力的合力提供物块沿水平方向上的加速度，其加速度为：agtan。

我们取杯中水面上的一滴水为研究对象，水滴受力情况如同斜面上的物块。由题意可得，取杯中水面上的一滴水为研究对象，它相对静止在“斜面”上，可以得出其加速度为

agtan，而tan

hgh，得a，方向水平向右。 RR3． 如图1.06所示，质量为M的木板放在倾角为的光滑斜面上，质量为m的人在木板上

跑，假如脚与板接触处不打滑。

（1）要保持木板相对斜面静止，人应以多大的加速度朝什么方向跑动？

（2）要保持人相对于斜面的位置不变，人在原地跑而使木板以多大的加速度朝什么方向运动？

图1.06

答案：（1）要保持木板相对斜面静止，木板要受到沿斜面向上的摩擦力与木板的下滑力平衡，即MgsinF，根据作用力与反作用力人受到木板对他沿斜面向下的摩擦力，所以人受到的合力为：

mgsinFmaamgsinMgsin

m方向沿斜面向下。

（2）要保持人相对于斜面的位置不变，对人有mgsinF，F为人受到的摩擦力且沿

斜面向上，根据作用力与反作用力等值反向的特点判断木板受到沿斜面向下的摩擦力，大小为mgsinF

所以木板受到的合力为：

MgsinFMa解得amgsinMgsin

M方向沿斜面向下。

四、挂件模型

1． 图1.07中重物的质量为m，轻细线AO和BO的A、B端是固定的。平衡时AO是水平

的，BO与水平面的夹角为θ。AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是（ ） A. F1mgcos C. F2mgsin

B. F1mgcot D. F2

mg sin

图1.07

解析：以“结点”O为研究对象，沿水平、竖直方向建立坐标系，在水平方向有F2cosF1竖直方向有F2sinmg联立求解得BD正确。

2． 物体A质量为m2kg，用两根轻绳B、C连接到竖直墙上，在物体A上加一恒力F，

若图1.08中力F、轻绳AB与水平线夹角均为60，要使两绳都能绷直，求恒力F的大小。

图1.08

解析：要使两绳都能绷直，必须F10，F20，再利用正交分解法作数学讨论。作出A的受力分析图3，由正交分解法的平衡条件：

图3

FsinF1sinmg0 FcosF2F1cos0

解得F1①

②

mgF sin ③

F22Fcosmgcot

④

两绳都绷直，必须F10，F20

由以上解得F有最大值Fmax23.1N，解得F有最小值Fmin11.6N，所以F的取值为11.6NF23.1N。

3． 如图1.09所示，AB、AC为不可伸长的轻绳，小球质量为m=0.4kg。当小车静止时，

AC水平，AB与竖直方向夹角为θ=37°，试求小车分别以下列加速度向右匀加速运动时，两绳上的张力FAC、FAB分别为多少。取g=10m/s2。

（1）a15m/s；（2）a210m/s。

22

图1.09

解析：设绳AC水平且拉力刚好为零时，临界加速度为a0 根据牛顿第二定律FABsinma0，FABcosmg 联立两式并代入数据得a07.5m/s

当a15m/sa0，此时AC绳伸直且有拉力。

根据牛顿第二定律FABsinFACma1；FABcosmg，联立两式并代入数据得

22FAB5N，FAC1N

当a210m/sa0，此时AC绳不能伸直，F'AC0。

AB绳与竖直方向夹角，据牛顿第二定律F'ABsinma2，F'ABcosmg。联立两式并代入数据得F'AB5.7N。

4． 两个相同的小球A和B，质量均为m，用长度相同的两根细线把A、B两球悬挂在水平

天花板上的同一点O，并用长度相同的细线连接A、B两小球，然后用一水平方向的力F作用在小球A上，此时三根细线均处于直线状态，且OB细线恰好处于竖直方向，如图1所示，如果不考虑小球的大小，两球均处于静止状态，则力F的大小为（ ）

2A. 0 B. mg C.

3mg

D.

3mg 3

图1.10

答案：C

5． 如图1.11甲所示，一根轻绳上端固定在O点，下端拴一个重为G的钢球A，球处于静

止状态。现对球施加一个方向向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一刻，都可以认为球处于平衡状态，如果外力F方向始终水平，最大值为2G，试求： （1）轻绳张力FT的大小取值范围；

（2）在乙图中画出轻绳张力与cosθ的关系图象。

图1.11

答案：（1）当水平拉力F=0时，轻绳处于竖直位置时，绳子张力最小FT1G 当水平拉力F=2G时，绳子张力最大：

FT2G2(2G)25G

因此轻绳的张力范围是：

GFT5G

（2）设在某位置球处于平衡状态，由平衡条件得FTcosG 所以FTG1即FT，得图象如图7。 coscos

图7

6． 如图1.12所示，斜面与水平面间的夹角30，物体A和B的质量分别为mA10kg、

mB5kg。两者之间用质量可以不计的细绳相连。求：

（1）如A和B对斜面的动摩擦因数分别为A0.6，B0.2时，两物体的加速度

各为多大？绳的张力为多少？

（2）如果把A和B位置互换，两个物体的加速度及绳的张力各是多少？ （3）如果斜面为光滑时，则两个物体的加速度及绳的张力又各是多少？

图1.12

解析：（1）设绳子的张力为FT，物体A和B沿斜面下滑的加速度分别为aA和aB，根据牛顿第二定律：

对A有mAgsinFTAmAgcosmAaA 对B有mBgsinFTBmBgcosmBaB

设FT0，即假设绳子没有张力，联立求解得gcos(AB)aBaA，因

AB，故aBaA

说明物体B运动比物体A的运动快，绳松弛，所以FT0的假设成立。故有

aAg(sinAcos)0196.m/s2因而实际不符，则aBg(sinBcos)327.m/s2

A静止。

（2）如B与A互换则gcos(AB)aBaA0，即B物运动得比A物快，所以

A

、

B

之

间

有

拉

力

且

共

速

，

用

整

体

法

mAgsinmBgsinAmAgcosBmBgcos(mAmB)a代入数据求出

a0.96m/s2，用隔离法对B：mBgsinBmBgcosFTmBa代入数据求出

FT115.N

（3）如斜面光滑摩擦不计，则A和B沿斜面的加速度均为agsin5m/s两物间无作用力。

7． 如图1.13所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为、在斜杆下端固定有质

量为m的小球，下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是（ ） A. 小车静止时，Fmgsin，方向沿杆向上 B. 小车静止时，Fmgcos，方向垂直杆向上 C. 小车向右以加速度a运动时，一定有Fma/sin D. 小车向左以加速度a运动时，F2(ma)2(mg)2，方向

斜向左上方，与竖直方向的夹角为arctan(a/g) 图1.13 解析：小车静止时，由物体的平衡条件知杆对球的作用力方向竖直向上，且大小等于球的重力mg。

小车向右以加速度a运动，设小球受杆的作用力方向与竖直方向的夹角为，如图4所示，根据牛顿第二定律有：Fsinma，Fcosmg，两式相除得：tana/g。

图4

只有当球的加速度agtan且向右时，杆对球的作用力才沿杆的方向，此时才有

Fma/sin。小车向左以加速度a运动，根据牛顿第二定律知小球所受重力mg和杆对

球的作用力F的合力大小为ma，方向水平向左。根据力的合成知F方向斜向左上方，与竖直方向的夹角为：arctan(a/g)

8． 如图1.14所示，在动力小车上固定一直角硬杆ABC，分别系在水平直杆AB两端的轻

弹簧和细线将小球P悬吊起来。轻弹簧的劲度系数为k，小球P的质量为m，当小车沿水平地面以加速度a向右运动而达到稳定状态时，轻弹簧保持竖直，而细线与杆的竖直部分的夹角为，试求此时弹簧的形变量。

图1.14

答案：FTsinma，FTcosFmg，Fkx

(ma)2(mg)2，

xm(gacot)/k，讨论：

①若agtan则弹簧伸长xm(gacot)/k ②若agtan则弹簧伸长x0

③若agtan则弹簧压缩xm(acotg)/k

五、弹簧模型（动力学）

1． 如图1.15所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉

力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上。②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用。③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动。④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧的伸长量，则有（ ）

①

②

③

④

图1.15

A. l2l1

B. l4l3

C. l1l3

D. l2l4

解析：当弹簧处于静止（或匀速运动）时，弹簧两端受力大小相等，产生的弹力也相等，用其中任意一端产生的弹力代入胡克定律即可求形变。当弹簧处于加速运动状态时，以弹簧为研究对象，由于其质量为零，无论加速度a为多少，仍然可以得到弹簧两端受力大小相等。由于弹簧弹力F弹与施加在弹簧上的外力F是作用力与反作用的关系，因此，弹簧的弹力也处处相等，与静止情况没有区别。在题目所述四种情况中，由于弹簧的右端受到大小皆为F的拉力作用，且弹簧质量都为零，根据作用力与反作用力关系，弹簧产生的弹力大小皆为F，又由四个弹簧完全相同，根据胡克定律，它们的伸长量皆相等，所以正确选项为D。

2． 用如图1.16所示的装置可以测量汽车在水平路面上做匀加速直线运动的加速度。该装置

是在矩形箱子的前、后壁上各安装一个由力敏电阻组成的压力传感器。用两根相同的轻弹簧夹着一个质量为2.0kg的滑块，滑块可无摩擦的滑动，两弹簧的另一端分别压在传感器a、b上，其压力大小可直接从传感器的液晶显示屏上读出。现将装置沿运动方向固定在汽车上，传感器b在前，传感器a在后，汽车静止时，传感器a、b的示数均为10N（取g10m/s）

（1）若传感器a的示数为14N、b的示数为6.0N，求此时汽车的加速度大小和方向。

2（2）当汽车以怎样的加速度运动时，传感器a的示数为零。

图1.16

解析：（1）F1F2ma1，a1a1的方向向右或向前。

（2）根据题意可知，当左侧弹簧弹力F1'0时，右侧弹簧的弹力F2'20N

F1F24.0m/s2 mF2'ma2

代入数据得a2

3． 如图1.17所示，一根轻弹簧上端固定在O点，下端系一个钢球P，球处于静止状态。现

对球施加一个方向向右的外力F，吏球缓慢偏移。若外力F方向始终水平，移动中弹簧与竖直方向的夹角90且弹簧的伸长量不超过弹性限度，则下面给出弹簧伸长量x与cos的函数关系图象中，最接近的是（ ）

F2'10m/s2，方向向左或向后 m

图1.17

答案：D

1． 如图5.01所示，一路灯距地面的高度为h，身高为l的人以速度v匀速行走。 （1）试证明人的头顶的影子作匀速运动；

（2）求人影的长度随时间的变化率。

解：（1）设t=0时刻，人位于路灯的正下方O处，在时刻t，人走到S处，根据题意有OS=vt，过路灯P和人头顶的直线与地面的交点M为t时刻人头顶影子的位置，如图2所示。OM为人头顶影子到O点的距离。

图2

由几何关系，有

hl OMOMOShvt hl联立解得OM因OM与时间t成正比，故人头顶的影子作匀速运动。

（2）由图2可知，在时刻t，人影的长度为SM，由几何关系，有SM=OM-OS，由以上各式得

SMlvt hllv。 hl可见影长SM与时间t成正比，所以影长随时间的变化率k侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。

解析：设卫星周期为T1，那么：

Mm42Gm2(Rh) 2(Rh)T1又G ①

Mmmg 2R②

2有T1R(hR)3 g ③

地球自转角速度为2 T ④

在卫星绕行地球一周的时间T1内，地球转过的圆心角为T1那么摄像机转到赤道正上方时摄下圆周的弧长为sR

⑥

2T1 T⑤

42由①②③④⑤⑥得sT(hR)3 g2． 如图5.04所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A点

由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A。求男演员落地点C与O点的水平距离s。已知男演员质量m1和女演员质量m2之比低5R。

图5.04

解析：设分离前男女演员在秋千最低点B的速度为v0，由机械能守恒定律，

m12，秋千的质量不计，摆长为R，C点比O点m2

(m1m2)gR12 (m1m2)v02设刚分离时男演员速度的大小为v1，方向与v0相同；女演员速度的大小为v2，方向与

v0相反，由动量守恒，(m1m2)v0m1v1m2v2

分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t，根据题给条件，由运动学规律，4R12gt，sv1t 212，已知m2v22根据题给条件，女演员刚好回A点，由机械能守恒定律，m2gRm12m2，由以上各式可得s8R。

3． 在广场游玩时，一个小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块放

置于水平地面上。已知小石块的质量为m1，气球（含球内氢气）的质量为m2，气球体积为V，空气密度为ρ（V和ρ均视作不变量），风沿水平方向吹，风速为v。已知风对气球的作用力fku（式中k为一已知系数，u为气球相对空气的速度）。开始时，小石块静止在地面上，如图5.05所示。

（1）若风速v在逐渐增大，小孩担心气球会连同小石块一起被吹离地面，试判断是否会

出现这一情况，并说明理由。 （2）若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所经过的空间中的风速v保持不变

量，求气球能达到的最大速度的大小。

图5.05

答案：（1）将气球和小石块作为一个整体；在竖直方向上，气球（包括小石块）受到重力G、浮力F和地面支持力FN的作用，据平衡条件有：

FN(m1m2)ggV

由于式中FN是与风速v无关的恒力，而FN0，故气球连同小石块不会一起被吹离地面。

（2）气球的运动可分解成水平方向和竖直方向的两个分运动，达到最大速度时气球在水平方向做匀速运动，有vxv

气球在竖直方向做匀速运动，有：

m2gkvygV

气球的最大速度：

22vmvxvy

联立求解得：

vmv2(gVm2gk)2

二、滑轮模型

1． 如图5.06所示，将一根不可伸长、柔软的轻绳左、右两端分别系于A、B两点上，一物

体用动滑轮悬挂在轻绳上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为1，绳子张力为F1；将绳子右端移到C点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为2，绳子张力为F2；将绳子右端再由C点移到D点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为3，绳子张力为F3，不计摩擦，并且BC为竖直线，则（ ） A. 123

B. 123 D. F1F2F3

图5.06

解析：由于跨过滑轮上绳上各点的张力相同，而它们的合力与重力为一对平衡力，所以从B点移到C点的过程中，通过滑轮的移动，12，F1F2，再从C点移到D点，3肯定大于2，由于竖直方向上必须有2Fcos

2． 如图5.07所示在车厢中有一条光滑的带子（质量不计），带子中放上一个圆柱体，车子

静止时带子两边的夹角∠ACB=90°，若车厢以加速度a=7.5m/s2向左匀加速运动，则带子的两边与车厢顶面夹角分别为多少？

C. F1F2F3

2 mg，所以F3F2。故只有A选项正确。

图5.07

解析：设车静止时AC长为l，当小车以a7.5m/s向左作匀加速运动时，由于AC、BC之间的类似于“滑轮”，故受到的拉力相等，设为FT，圆柱体所受到的合力为ma，在向左作匀加速，运动中AC长为ll，BC长为ll

2由几何关系得

sinsinsin llll2l由牛顿运动定律建立方程：

FTcosFTcosma，FTsinFTsinmg

代入数据求得19，93

3． 如图5.08所示，细绳绕过两个定滑轮A和B，在两端各挂一个重为P的物体，现在A、

B的中点C处挂一个重为Q的小球，Q<2P，求小球可能下降的最大距离h。已知AB的长为2L，不计滑轮和绳之间的摩擦力及绳的质量。

图5.08

解析：选小球Q和两重物P构成的整体为研究对象，该整体的速率从零开始逐渐增为最

大，紧接着从最大又逐渐减小为零（此时小球下降的距离最大为h），如图4在整个过程中，只有重力做功机械能守恒。

图4

因重为Q的小球可能下降的最大距离为h，所以重为P的两物体分别上升的最大距离均为hLL。

22考虑到整体初、末位置的速率均为零，故根据机械能守恒定律知，重为Q的小球重力势能的减少量等于重为P的两个物体重力势能的增加量，即Qh2P(hLL)。

22从而解得h4PLQ 224PQ

4． 如图5.09轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体。

∠ACB=30°；图（b）中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比？

图4.09

图5.09

解析：图（a）中绳AC段的拉力FTAC＝M1g 图（b）中由于FTEGsin30°=M2g，解得：

FTACM1 FTEG2M2

5． 如图5.10所示，质量分别为M和m（M>m）的小物体用轻绳连接；跨放在半径为R的

光滑半圆柱体和光滑定滑轮B上，m位于半圆柱体底端C点，半圆柱体顶端A点与滑轮B的连线水平。整个系统从静止开始运动。设m能到达圆柱体的顶端，试求： （1）m到达圆柱体的顶端A点时，m和M的速度。 （2）m到达A点时，对圆柱体的压力。

图5.10

答案：（1）MgRmgR121(Mm)v2 2vMgR2mgR

Mmmv2（2）mgFN

RMmg2m2g FNmgMmMmM2mmg

Mm

三、渡河模型

1． 如图5.11所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v0拉水平面上的物体A，当绳与水

平方向成θ角时，求物体A的速度。

图5.11

解：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于

v1v0；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就

可以将vA按图示方向进行分解。所以v1及v2实际上就是vA的两个分速度，如图所示，由此

可得vAvv10。 coscos

2． 如图5.12所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人

在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为θ。问在这个过程中，人对重物做了多少功？

解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无法用WFscos求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。 当绳下端由A点移到B点时，重物上升的高度为：

图5.12

hHH(1sin) Hsinsin重力做功的数值为：

WGmgH(1sin)

sin当绳在B点实际水平速度为v时，v可以分解为沿绳斜向下的分速度v1和绕定滑轮逆时针转动的分速度v2，其中沿绳斜向下的分速度v1和重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：

v1vcos

以重物为研究对象，根据动能定理得：

W人WG12mv10 2mgH(1sin)mv2cos2W人

sin2

3． 一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在静水中速度为v船，那么： （1）怎样渡河时间最短？

（2）若v船v水，怎样渡河位移最小？ （3）若v船v水，怎样渡河船漂下的距离最短？

解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1v船sin，渡河所需要的时间为tLL，可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当90时，sin1v1v船sinL。 v船（最大）。所以，船头与河岸垂直tmin

图4

（2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有v船cosv水，即arccosv水v船。

图5

因为0cos1，所以只有在v船v水时，船才有可能垂直河岸渡河。

（3）若v船v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？

如图6所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据cosv船v水

图6

船头与河岸的夹角应为arccosv船v水，船沿河漂下的最短距离为：

xmin(v水v船cos)L

v船sinLvL水 cosv船此时渡河的最短位移：s

4． 小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，

v水kx，k4v0，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度d为v0，则下列说法中正确的是（ ） A. 小船渡河的轨迹为曲线 B. 小船到达离河岸

d处，船渡河的速度为2v0 2C. 小船渡河时的轨迹为直线

D. 小船到达离河岸3d/4处，船的渡河速度为10v0 答案：A