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中学数学教学参考 1998年第7期
合理运用同化模式
把握新知识的生长点
江苏省苏州实验中学 周建华
A的二倍角,其他如4A是2A的二倍角,A又是
2AA的二倍角(如cosA=1-2sin2()=2cos2()
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-1).后继学习的半角正弦、余弦公式正是这样推导的.
这样设计的教学,使新旧知识承上启下、融会贯通,逐步形成一个完整的知识体系.
2.相关下位学习
相关下位学习是指在学习过程中,新的材料隶属于原有较高概括性的观念中,在新的概念和命题获得意义的同时,原有的观念也得到扩展、精确化、或修饰.
相关下位学习的模式如图2所示.这里的教学目标是获得新知识u的意义.学生通过x、y、z的学习,头脑中已经具有了能同化u的上位观念A,但u不是原有观念A的一个图2特例,它不能从原有的认
知结构中派生出来,新知识u须经调整后方能被原有观念同化.而且同化过程完成后,原有观念的属性要发生变化.
范例2 指数函数概念.(1)实例引入:
实例1:细胞个数y与次数x的函数关系:y=2x;
实例2:某种放射性物质残留量y与时间
x
x(年)的函数关系:y=0.84.
(2)比较鉴别:像y=2x和y=0.84x 这一类函数与我们刚刚学过的函数一样吗?能不能以x、y和2,以及x、y和0.84构造出两个幂
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函数来?(y=x及y=x0.84)
这两类函数有什么区别呢?(幂函数的自变量x在底数的位置上,而函数y=2x和y=
x
0.84的自变量x在指数位置上.)
xx
(3)形成概念:像y=2,y=0.84这一类 美国心理学家奥苏伯尔(
D.P.Ausubel)认
为有意义学习的过程就其本质而言,是新知识与个体认知结构中原有的适当观念相互作用,从而获得新的更高层次的分化的建构过程,这一过程称为同化.本文就个体获得新知识的内部认知过程的几种基本形态(下位学习、上位学习、并列结合学习和代表性学习)及其在数学教学中的应用加以讨论.
一、下位学习
当学生认知结构中原有观念的概括和包摄水平高于所学的新知识时,新旧观念之间构成类属关系,把新知识归属于认知结构中原有观念的某一适当部位,这时发生的学习称为下位学习(又称类属过程).下位学习又可分为派生下位学习和相关下位学习.
1.派生下位学习
派生下位学习是指新的学习材料作为原先获得的概念的特例,或作为原先获得的命题的论据或例证,而加以理解的学习过
图1程.
派生下位学习模式如
图1所示.这里的教学目标是获得新知识d的意义,学生通过a、b、c的学习,头脑里已经具有了能同化d的上位观念A,A的概括与包摄水平越高,越能同化新内容d.
范例1 二倍角公式.学生在学完公式SA+B、CA+B、TA+B后,再来学习二倍角公式,便是典型的派生下位学习.
(1)复习:叙述SA+B、CA+B、TA+B,并指出A、B在什么条件下这些公式才成立?
(2)推导:特别地,在上述公式中当A=B时,得到的相应的一组公式如何表达?
(3)剖析:¹二倍角公式的作用:二倍角与单角三角函数间的互化;º二倍角公式成立的条件;»“二倍角”的含义:不仅仅限于2A是A中学数学教学参考 1998年第7期
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维很自然地步入知识发生和形成的轨道中,使学生的认知结构与客观的数学知识结构更为接近.因而,用上位学习的同化模式组织教学,不仅能使零星的知识点构建成处于上位的知识块,认知结构得以重新组织和扩展,而且还能训练学生的思维,提高学生的逻辑推理能力.
三、并列结合学习
当新观念与认知结构中原有的观念之间不能构成上下位关系时的学习都是并列结合学习.
并列结合学习的模式如图4所示.这里的教学目标是获得新内容A的意义.原有的观念B、C、D和A之间具有某些共同的特征.要学习A,就要用B、C、D和A具有共同特征作为新旧知识的同化点,根据这些共同特征将新内容与已有观念并列结合,新知识就能被原有知识同化,获得新的意义.
原
B→有
C→观
D→念
新
共同特征的
A
内容
图4
不同于幂函数的新函数——自变量在指数位置上,我们怎样定义它们呢?它们的一般形式是什么?
认知心理学认为,一个新的观念是否能牢固地被掌握,取决于认知结构中原有的起固定作用的观念的稳定性和清晰性.而抽象程度较高的上位概念(如本例中的“函数”概念),一般来说是稳定和清晰的.因而,一方面,下位学习的教学相对而言是比较容易的;另一方面,下位学习的教学重点应放在对新学习的下位概念本身限定的那些观念的理解上.如本例中,应突出“指数函数的自变量在指数位置上”.
二、上位学习
当学生的认知结构中已经形成了一些概念,现在要在这些原有观念的基础上,学习一个概括和包摄程度更高的新内容时,这种学习便称为上位学习.
上位学习的模式如图3所示.这里的教学目标是要获得新的内容a的意义.A、B、C、D是学生头脑中已有的观念,而对a的学习需要对学过的材料进图3行归纳、组织或综合为整
体的组成部分后才能获得意义.
范例3 复数的概念
负数不能开平方的事实说明实数集不够完善,因而提出将实数集扩充为一个更完整的数集的必要性.那么,怎样解决这个问题呢?
(1)先回顾已经经历的几次数集扩充的事实:
自然数集
添进正分数
添进无理数
添进0
扩大的自然数集
添进负整数、负分数
非负有理数集有理数集实数集(2)上述认知过程体现了如下规律:
¹每次扩充都增加了规定性质的新元素;º在原数集里成立的主要规律,在数集扩充后的更大范围内仍然成立;
»每次扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题.
(3)借鉴上述规律,扩充实数集,引入新的元素i,并做出两条规定(略).
这样,学生对i的引入不会感到疑惑,对复数集概念的建立也不会觉得突然,使学生的思并列结合学习又可分为:1.组合式的并列结合学习
新的观念与认知结构中和它并列的若干个原有观念组合形成的新结构相对应.
范例4 棱柱的概念(1)观察:观察三棱镜、方砖、螺杆头部等实物,我们要找出这些几何体的共同特点,怎样找呢?
(2)归纳:上述几何体都是由若干个面所围成,而面与面之间有交线.因此,我们从“面”和“线”两个角度去概括.
图5
¹面:有两个面相互平行,其余各面为四边形;
º线:每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
至此,引入棱柱概念.(3)深化:
¹第一次深化:图5是用过BC的平面去截方砖的一角,所得几何体是否为棱柱?
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这是让学生总结出判断一个几何体是否是棱柱的一般方法,训练学生观察问题要周到、仔细、全面.
º第二次深化:先观察方砖和螺杆头部,共有多少对平行平面?符合定义的有几对?再观察图6,判断它是否为棱柱.
这里,引导学生讨论定义中的“有”字含义:存在而不唯一.因而,一个几何体是否为棱柱与其放置位置无关.从而使学生对棱柱的感性认识提高到理性认识,进一步理解棱柱的本质属性.同时,培养学生的空间想象能力.
»第三次深化:下面的命题是否正确?为什么?
“一个几何体,有两个面平行,其余各面为四边形,但相邻各面的公共
图6边不全平行,则此几何体
不是棱柱.”
这里不是从正面而是从否定的方面向学生提出问题,目的是要学生更深入地探究棱柱概念的实质.
2.转换式的并列结合学习
新观念由认知结构中某一与其并列的观念发生转换而得到.
范例5 球的体积公式(1)式的转换:
43121V球=3PR=3・4PR・R=3・S球・R
1与V锥体=Sh,二者多么相似.
3
(2)形的转换:以R为“高”,S球为“底”,球心为“顶点”,将球看成一个特殊的“锥体”.再将这个特殊的“锥体”分割成n个近似的“棱锥”,它们都以球心为顶点,各底面多边形的顶点均在球面上.
(3)证明公式:设每个“小棱锥”的底面积为Si,高为hi(i=1,2,…,n),则
(∑1Si・hi)=1・S球・RV球=nlim→∞i=1333
=4P.R3
这里,运用并列结合关系由式的转换转入形的转换,进而“发现”这种“新证法”,不仅对学生掌握知识是十分必要的,而且对学生也是一次辩证思维训练.n
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认知心理学认为,并列结合学习之所以能够发生,是因为在有关认知结构中具备有关观念的背景.数学学习中并列结合学习之所以能够发生,是缘于认知结构中的“同构态”的存在.因此,从本质上说,并列结合学习是一种结构迁移,所以在教学中可以先将背景中的这种结构抽象出来,使得并列结合学习转化为上位学习与下位学习的组合.
四、代表性学习
代表性学习是指对用习惯的形式化的符号表示的新知识的学习.在日常教学活动中,代表性学习虽然有单独存在的例子,但更多的却是它与其它几种基本形态“复合”存在的.在较复杂的概念或命题的学习中,这种综合显得更加明显.
范例6 反正弦函数概念这里,“y=arcsinx”(反正弦函数形式化)的学习,便是代表性学习.一般说来,代数函数的反函数,能借助于原函数的解析式通过代数运算解出反函数的解析式(当然,不是所有函数都能写成显式).反正弦函数则不同,由于反三角函数的超越性,在主值区间内的反函数不可能通过代数运算来解出它的表达式,这就需要创造新的(形式化的)数学符号来表示反正弦函数(这正是该内容成为历年教学难点的重要原因之一),从而发生“的代表性y=arcsinx”
学习.它是建立在反函数概念的基础之上的,其中的下位学习与并列结合学习越扎实,就越有利于这里的代表性学习.如图6.
下位
y=f(x)→
学习
→y=sinx →
并列
→y=f-1(x) →
结合→y=arcsinx
→y=logax →
学习
(提供类比)
图6
这样,整个教学过程都在学生原有观念的基础上进行,有利于学生正确快捷地获得新知识的意义,把新知识纳入原有的认知结构中,加深、扩展了原有的认知结构.
参考文献1 曹才翰,蔡金法.数学教育学概论.南京:江苏教育出版社,
192 夏跃平,钱理文.中学数学教学与奥苏伯尔同化理论.数学
通报,1993,8
