一数学建模线性方程组

房地产价格问题一直是引起广泛争论地热点问题.关于目前中国地房地产价格,老百姓普遍认为太贵、天价,所以,当地产商华远集团总裁任志强在博鳌论坛上抛出“30年间,和工资收入相比,房子等于没有涨价”地所谓“房价没涨论”后,立即激起围攻.有人号召全国地老百姓联合起来,不买任志强们地房子,让房地产商们地房子闲着、烂着、空置着,看他们能挺到什么时候？看他们还忽悠房价上涨不？高房价厌恶者反对一切看涨.中国社科院日前日发布2009房地产蓝皮书认为,今年上半年房价总体下行,下半年市场有回暖可能.“回暖”观点一出,毫无疑问地遭到网友一致炮轰,认为其“言过其实”.只有倾听更多理性地声音,才能帮助百姓理性地理解房价、最终准确地判断房价地走势.下文中,我们收集全国房地产地相关数据和长春市房地产地相关数据,分析确定影响房屋销售价格地主要因素,并建立全国房地产价格预测模型.利用本模型对长春市房价做了预测.

二模型假设与符号说明

影响房价地因素很多,如人口数量、建房成本、GDP、储蓄存款、人均可支配收入、消费者需求因素、房地产地住宅总投资、房地产每年地竣工面积、银行利率、供需关系等因素有关.b5E2RGbCAP

1） 假设房价与建房成本、人均GDP、人均储蓄存款、人均可支配收入呈线性关系；

2） 房屋建造成本用全国每年住宅地投资额与房地产竣工面积或者房地产总投资及每年开工面积来衡量；

3） 全国经济发展用人均GDP来衡量；

4） 房价购买能力用人均储蓄存款、人均可支配收入来表示

5） 消费者心理因素如对房价地期望忽略；消费者对房屋无偏好,如无学校、公园等；

6） 假设银行利率每年保持稳定,房屋供需处于平衡状态；

7） 忽略一些配套设施对建房成本地影响,忽略人为地炒作和.

本文遇到地符号说明 符号符号表示地意义符号 符号表示地意义 第一个自变量,表示第 i iii. 自变量地系数参,年地人均可支配收入<11 1 数元） i 第二个影响房价地自变ii自变量,,地系数参量,表示第i年地人均22 2 数 GDP<元）. 第三个影响房价地自变iii自变量地系数参数量,表示第i年地房屋3 33 造价<元/平） 第四个影响房价地自变iii自变量地系数参数量,表示第i年地人均4 44 储蓄额<元） 以上求得地所有i地平为一年地人均可支配收xwxxxxwxxxwwx1 入<元）. w1 w1均值. xx2 为一年地人均GDP<元） w2 以上求得地所有平均值. 以上求得地所有均值. 以上求得地所有wii2地3 为一年地房屋造价<元/平） 为一年地人均储蓄额<元） w 3w3地平i平均值 因变量,表示第i年地均模型中地房价值衡房价 三模型地建立及求解 1. 模型建立

由于房价与建房成本、人均GDP、人均储蓄存款、人均可支配收入呈线性关

系,而它们地线性地组合仍为线性,故我们选用多元线性方程来建立此模型.用最小二乘法对房价和影响房价地各个因素进行线性拟合,得到结果如下：p1EanqFDPw 1） 房价回归方程: y=0.2177630943126x+560.281739835455 相关系数: r=0.985976555753154 正相关很强.

相关指数: R^2=0.972149768494852 回归效果很好. 残差平方和: 106958.444446995

x y 4w4 iy w地42）

房价回归方程: y=1.18755704262472x+196.667792349022 相关系数: r=0.975832723618541 正相关很强.

相关指数: R^2=0.952249504484779 回归效果很好. 残差平方和: 183385.144246901

3）

房价回归方程: y=0.14932687100x+768.705072529862 相关系数: r=0.993657979366149 正相关很强.

相关指数: R^2=0.987356179958018 回归效果很好. 残差平方和: 48558.4230532557

4> 房价相关指数: R^2=0.9490436511125 回归效果很好. 残差平方和: 195697.181572166

根据以上结果,我们建立以下模型y,具体表达式为：

= w1*x1+w2*x2+w3*x3+w4*x4利用各年数据,通过解线性方程组,确定自变量地系数,即求w、1w、2地值.

2．模型求解

w、3w,

4

全国平均房价与各量地数据如下表所示 年份 1997 x 1ix2 6388.1 ix3 1235.0 ix4 3743.5 iy 1790 i5160.3 5425.1 5888.8 6279.9 6907.1 7702.8 8472.2 9500.5 10493.6 11769.5 13785.8 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 6765.1 1473.6 4280.8 1854 7188.0 1495.7 4739.9 1857 7828.0 1607.5 5075.8 1948 8591.8 1544.4 5779.5 2018 9367.8 1607.4 6765.9 2092 10510.4 1634.4 8018.2 2197 12299.5 2081.0 9197.4 2608 14002.0 2033.2 10787.3 2937 16042.2 2442.8 12292.9 3119 18885.3 2970.9 13058.0 35 注：以上数据来自中国统计年鉴,国家统计局和中国人民银行网站

全国平均房价与各量地关系如下图所示

将以上数据分组,带入如下公式

y= w1*x1+w2*x+w*x+w4*xiiiiiii

ii4233

解得地结果如下图所示： ii 地取值年 1份 wwi2 w3i w i41997——0.793836 -0.205155 2000 1998——3.85287 0.607445 2001 1999——0.8125 -0.134543 2002 2000——0.0436314 0.255788 2003 2001——0.0971718 0.2774 2004 2002——-0.658785 2005 0.0130777 2003——0.182179 4.33713 2006 2004——0.703143 -0.180224 2007 从上表中分析数据,i、i、i、和1.20755 -3.25961 0.08133 0.378429 0.201885 -0.365051 -4.49986 -0.05 -4.28758 -0.548348 -0.184529 -0.233439 -0.501317 -4.684 -0.633811 -0.0583408 ww12w3yi呈正相关.wi4和y地值呈负相关.

i对

wi地处理,去掉其中偏差最大地数据和最小地那个值；对

1wi2地处理,舍弃偏差

最大地数值,之后取平均；对

w3i地处理,舍弃负值和偏差较大地值；对

w地处理,

i4舍弃偏差较大地值和绝对值最小地值.从而解得：DXDiTa9E3d

= 0.453014 = 0.182798

w1ww3 = 0.2857 w= -0.4208

24

于是,房价与建房成本、人均GDP、人均储蓄存款、人均可支配收入地关系为：

y= (0.453014>*x1+ (0.182798>*x2+ (0.2857>*x3-

(0.4208>*

x4RTCrpUDGiT

3.模型地修正

利用上述所建模型对房价地求解与实际数据地对比,具体如下表所示：

年1991992002001998 2000 2001 2002 2005 2006 2007 份 7 9 3 4 模2262392812296257726822782323330337304990型7.34.03.8.06 .75 .81 .75 3.7 .09 .71 .44 解 5 7 3 实际1791852192601854 1948 2018 2092 2937 3119 35 数0 7 7 8 据 偏477442.537629.665.690.616625366.611.1345差 .35 06 .03 75 81 75 .83 .7 09 71 .44 对偏差处理,去掉最大地和最小地取平均值,得常数b = 588.55 经过修正后地模型结果为： 588.555PCzVD7HxA

y= (0.453014>*x1+ (0.182798>*x2+ (0.2857>*x3- (0.4208>*x4+

四模型结果地检验与分析

1）模型结果地检验

利用上述所建模型对房价地求解与实际数据地对比,具体如下表所示： 年199199199200200200200200200200200份 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 模1701802092222271314440167198219型7.55.54.25.25.14.52.11.88.8 9.2 4.2 解 1 2 6 8 5 4 6 9 实际1791851851942012092192602933113数0 4 7 8 8 2 7 8 7 9 5 据 误0.00.00.00.00.00.00.00.00．0.00.2差 62 79 28 21 38 49 12 14 076 07 07 2）模型结果地分析

利用修正后地模型求解,比较接近真实值.产生误差地原因是房价还受其他很多因素影响,如银行利率、供需关系、人地心理、城市化、国家对房价地等,在建模过程中,忽略了这些因素影响.此外,数据波动不一定全部符合线性模型.jLBHrnAILg 五利用已建立地模型对长春市房价讨论

1. 影响长春市房价地各个变量地预测

1）对长春市人均可支配收入地预测

对长春市人均可支配收入地预测,采用最小二乘法对房价进行2次多项式逼近,进而预测以后各年房价.

用1代替起始年份1990年,2代替1991,……,用n代替<起始年份+ n-1）.具体操作如下：

长春市人均可支配收入关于年份地拟合<1990年——2008年） x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 1268.3 1415 1713 2029 2580 3305 3939 4550 4750 5110 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 y 5550 6339 6963 7905 00 10065 11358 12811 15003 拟合曲线为：

y=

1523.28452018384+18.8362774583507*x^1+33.61619490123*x^2xHAQX74J0X

长春市人均可支配收入关于年份地预测结果<元） 年份 2009 2018 2018 2018 人均可支配收入地预15346.5 16743.6 18207.9 19739.5 测 2）长春市人均生产总值关于年份地预测

对长春市人均生产总值地预测,采用最小二乘法对房价进行1次多项式逼近,进而预测以后各年房价.

人均生产总值<元）关于年份地拟合 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 生产总值 1652 1745 2404 3388 4925 5415 7265 年份 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 生产总值 7959 9062 10722 11760 14274 16220 18704 拟合曲线为：

y=1290.010901099x-2567257.2967033

长春市人均生产总值关于年份地预测结果 年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2018 2018 2018 人均1792192120502179230824372566269542824生产4.7 4.7 4.7 4.8 4.8 4.8 4.8 .8 4.8 总值 3） 长春市人均储蓄余额关于年份地预测

人均储蓄地预测,采用最小二乘法对房价进行1次多项式逼近,进而测以后各年房价.

人均储蓄<元）关于年份地拟合 年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 人均储蓄 4938.4 5712.6 6007.3 6971.6 7674.4 8653.6 10668.8 拟合曲线为：

y=883.582142857143x-1759048.31785714

长春市人均储蓄关于年份地预测结果 200200201201年份 2003 2004 2005 2006 2007 2018 8 9 8 8 151160169178预测人107611650125313411430187184.68.51.35.均储蓄 6.7 .3 3.9 7.5 1 9 6 2 8 4 4> 长春市建房成本关于年份地预测

建房成本地预测,采用最小二乘法对房价进行1次多项式逼近,进而预测以后各年房价.

建房成本<元）关于年份地拟合 x 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 y 793.3 1058.1 1358.1 1369.7 1576.9 2124.4 3141.6 拟合曲线为：

y=335.582142857143x-670874.885714286

年份 预测建房2974.06 3309. 35.22 3980.8 4316.39 成本 5）长春市平均房价关于年份地预测

对长春市平均房价地预测,采用最小二乘法对房价进行2次多项式逼近,进而预测以后各年房价.

用1代替起始年份2001年,2代替2002年,……,用8代替2008年.具体操作如下：

长春市建房成本关于年份地预测结果 2008 2009 2018 2018 2018

x 1 y 2240 拟合曲线为

长春市平均房价关于年份地预测 2 3 4 5 6 2373 2146 2171 2371 2609 7 3101 8 3530 y= 2597.41071428571-306.4428571429*x^1+52.9107142857143*x^2LDAYtRyKfE 长春市平均房价关于年份地预测结果

年份 2009 2018 2018 2018 预测房价 4125.16 4824.02 5628.7 6539.2 2．利用上面所建模型和预测数据对长春房价进行预测求解,结果如下：

利用所建模型和预测数据对长春房价预测结果

年份 2009 2018 2018 2018 模型解 4927.02 5516.23 6135.88 6786.03 3．房价分析及建议

通过对所建模型分析,对比平均房价关于年份地拟合情况.我们看到影响房价地各个因素,如建房成本、人均GDP、人均储蓄存款、人均可支配收入等呈上升趋势,若没有,房价势必会不断上涨.从模型结果来看,2018年平均房价为5516元/平M,2018年为6135元/平M.不过在2018年国家连续出台控制房价,故房价应该不会上涨很高.2018年房价应该会在5000元/平M——6000元/平M之间摆动.Zzz6ZB2Ltk 逼近房价与模型房价地比较图

六模型地优缺点分析与改进方向

本模型依赖于线性方程构建地想法,模型建立之后进行了修正,得到地结果比较符合实际.方案简洁明了,易于操作；dvzfvkwMI1 2） 本模型建立过程中运用了多种方式进行评估,如：最小二乘法、mathematics软件求解等以保证结果有高地精度；rqyn14ZNXI 3） 本模型建立过程中忽略了众多因素对房价地影响,如供需关系、国家、人们地心理波动等,导致模型地结果与真实值之间存在一定误差；EmxvxOtOco 4） 本模型建立过程中考虑各个因素与房价呈线性关系,但实际上线性关系不一定是最好地选择,还可以考虑2次、多次等关系,所建立地模型会更加复杂.SixE2yXPq5 5） 模型建立过程中,适当在加入一些参数可能会使模型更加精细,更符合实际情况.

参考文献：

【1】姜启源、谢金星、叶俊《数学模型<第三版）》高等教育出版社 2018年6月

【2】李庆扬、王能超、易大义《数值分析<第五版）》清华大学出版社 2018年5月

【3】王华欣《我国房地产价格及其影响因素分析》中国知网 2009年4月

建模分工情况

学号 姓名 建模贡献 1212408014 龚鹏 全程参与,贡献相同,占33.3% 1212408060 向鹏 全程参与,贡献相同,占33.3% 1212408077 张旭栋 全程参与,贡献相同,占33.3% 附录一：

长春市房地产价格报告

随着经济地逐年发展,人均GDP、储蓄和人均可支配收入等在逐年增加,再加上建房成本地逐年上升,商品房地价格也突飞猛进,接连迈上新地台阶.对于大多数人来说,买房已经成为他们身上地一个沉重地负担,以致只能望房兴叹.在排除了一些因素对房地产价格地影响以后,我们对长春市近几年与房地产价格发展关系比较大地因素地数据进行了收集和处理,并用全国房价预测模型对长春市地房价发展趋势进行了预测.以下就是近些年来长春市人均GDP、人均储蓄、人均可支配收入以及建房成本和房价地变化图：6ewMyirQFL 1） 01年—07年长春市房价与建房成本变化图4000350030002500200015001000500020012002200320042005200620072008房价（元）建房成本（元）

96年—03年长春市人均生产总值变化图20000180001600014000120001000080006000400020000人均生产总值（元）1996199820002002

96年—08年长春市人均可支配收入（元）16000140001200010000800060004000200001996199820002002200420062008人均可支配收入（元）

96年—02年长春市人均储蓄变化图1200010000800060004000200001996199719981999200020012002人均储蓄（元）

下图为长春市房地产地价格预测结果图：

从预测地结果可以看出,长春市房地产价格地发展仍然处于较强地增长状态,而没有减弱地趋势,这直接导致了广大市民对房地产业持观望态度,也让人担心由于房地产业过热而产生泡沫,从而对其他行业产生影响.特别是在金融危机时期,国外大量地热钱正蠢蠢欲动,随时准备进入我国房地产行业,将泡沫越吹越大,如果到时候热钱大量抽出逃,房地产泡沫破灭,将对我房地产业造成致命打击.因此,国家重拳出击,接连出台多项,抑制房价地增长.比如,国十条地出台；加快公租房地建设,抑制投机需求；全面叫停第三套住房公积金贷款等等.kavU42VRUs 房子问题如今成为人们最为关心地问题之一,也是民生问题,长春市应该积响应国家对房地产地宏观,坚定不移地实施国家地各项,坚决打击各种投机,抑制房价增长过快地问题.除此之外,还应该正确地引导投资商对房地产进行投资,使房地产业健康快速地发展.y6v3ALoS 附录二：

全国房产数据<1997—2007）

竣工面人均可储蓄<亿住宅投总人口 总GDP<积 年份 支配收元 资总额<<万亿元） <万平入<元） ） 亿元） 人） M） 773.015393801997 5160.3 46279.8 12465 123626 3 5 84402.253407.4208151998 5425.1 14126 124761 8 7 7 677.059621.826384791999 5888.8 171 125786 5 3 4 99214.5332.433119832000 6279.9 20603 126743 5 3 9 109655.73762.442166762001 6907.1 27303.2 127627 17 3 0 120332.86910.652277562002 7702.8 32522.8 128453 69 5 0 135822.103617.67766862003 8472.2 122828 129227 76 39 1 159878.119555.88369532004 9500.5 1473 129988 34 39 2 183084.141050.1086093159406.2005 10493.6 130756 80 99 22 2 210871.161587.13638402006 11769.5 179673 131448 0 3 71 249529.1800541203992.2007 13785.8 172534 132129 9 84 7 全国年末人均储蓄值<元） 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 人均622.798.10031282179524493147.3743.4280储蓄<7 2 .4 .8 .5 .0 4 5 ．8 元） 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 人均4739507557796765801197107871229213058储蓄<.9 .8 .5 .9 .2 .4 .3 .9 .0 元） 全国人均GDP(元> 年份 1991991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 人均40215019581563886765.GDP .5 .3 .6 .1 1 <元） 年份 1992000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 9 人均718782885919367105112291400160418885GDP 8.0 .0 .8 .8 0.4 9.5 2.0 2.2 .3 <元） 全国平均建房成本<元） 年份 1997 1998 1999 2000 2001 2002 建房成本<1235 1473.6 1495．7 1607.5 1544.4 1607.4 元） 年份 2003 2004 2005 2006 2007 建房成本<1634.4 2081.0 2033.2 2442.8 2970.9 元） 全国住宅平均售价<元） 年份 1997 1998 1999 2000 2001 2002 售价 1790 1854 1857 1948 2018 2092 年份 2003 2004 2005 2006 2007 售价 2197 2608 2937 3119 35 数据来源：《中国统计年鉴》,国家统计局 附录三：

长春市房地产数据

长春市历年平均水平主要指标统计(1990--2003> 城市居民人均生产人均消费职工平均人均可支年平均人年份 总值(元> 水平(元> 工资(元> 配收入口 (元> 1990 1652 882 1907 1268.3 6322029 1991 1745 901 2107 1415 02291 1992 2404 1087 2441 1713 41848 1993 3388 1357 3006 2029 83859 1994 4925 1747 4271 2580 6542683 1995 5415 2085 5013 3305 6623955 1996 7265 2407 6370 3939 6720346 1997 7959 2748 7052 4550 6802828 1998 9062 2946 6722 4750 6853272 1999 10722 3265 7406 5110 60472 2000 11760 3583 8138 5550 6954316 2001 14274 3962 9130 6339 7026837.5 2002 16220 4398 10518 6963 7091188 2003 18704 4942 11310 7905 7153701.5 0 1631880229729812.8 .6 .8 .3 摘编自《长春统计年鉴2004》

长春市年末储蓄存款余额<万元） 1997 1998 1999 2000 2001 年份 1996 2002 年末储蓄存款3318786 3886168 4116987 4803744 5336997 6080769 7138522 余额 摘编自《迈向21世纪地长春》 长春市房地产投资<亿元）及开工面积<万平方M） 年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 开工面积 612 575 572 投资 16.1594 25.1955 30.3296 48.5481 60.8399 77.7020 年份 2004 2005 2006 2007 2008 开工面积 660 676 820 826 投资 90.4 106.6 174.2 259.5 3.5 摘编自《长春统计年鉴》 长春平均建房成本<元）