2021-2022学年北京市通州区高二(上)期中数学试卷(解析版)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求一项。

1．直线y＝x﹣1的倾斜角是（ ） A．

B．

C．

D．

2．已知直线l经过点A（1，1），且斜率为2，则直线l的一般式方程为（ ） A．y﹣1＝2（x﹣1） B．y＝2x﹣1

C．2x﹣y﹣1＝0

D．x﹣2y+1＝0

3．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ） A．

，

，

D．

，

，

B．

＝（ ） C．

D．

，

，

C．

，

，

4．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A．

B．

5．已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+1＝0互相平行，则a等于（ ） A．2

B．﹣2

C．±2

D．0

6．圆（x﹣5）2+（y﹣3）2＝9与圆x2+y2﹣4x+2y+4＝0的位置关系是（ ） A．内含

B．相交

C．外切

D．外离

7．在空间直角坐标系Oxyz中，点A（3，4，5）在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，则A．5

＝（ ）

B．

C．

D．

8．已知点A（2，1，0），B（2，2，1），C（1，2，2），D（0，0，k），若A，B，C，D四点共面，则（ ） A．k＝0

B．k＝1

C．k＝2

D．k＝﹣1

9．已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+a＝0上有且只有两个点到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离等于1，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣4，4）

B．（﹣4，1）

C．（1，4）

D．（2，4）

10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，则A1B1与平面BB1D1D所成角的正弦值等于（ ）

A． B． C． D．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为 ．

12．已知向量＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），若（+λ）⊥，则实数λ等于 ． 13．过点（

，1）且与圆x2+y2＝4相切的直线方程为 ．

，

14．E，F分别为BC，C1D1的中点，如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设

，

，以

，，

为基底，则用基底表示向量

＝ ；

＝ ．

15．经过点M（2，﹣2）以及圆x2+y2﹣6x＝0与圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0交点的圆的方程为 ．

16．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知点E，F分别为直线BD，AD1

上的动点．给出下面四个结论： ①异面直线AD1，BD所成的角为60°； ②点F到平面B1C1C的距离为定值； ③若F为AD1中点，则点F到BD距离为④

的最小值为

．

；

则其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．三角形的三个顶点分别是A（4，0），B（6，7），C（0，3）． （1）求AC边所在的直线方程； （2）求AC边上的高所在的直线方程；

18．已知圆M过两点C（1，﹣1），D（﹣1，1），且圆心在直线x+y﹣2＝0上． （Ⅰ）求圆M的方程；

（Ⅱ）试判断直线m：3x+4y﹣2＝0与圆M是否相交；如果相交，求直线m被圆M截得的弦长．

19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝2，E，F分别为AD和PB的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；

（Ⅱ）求平面EFC与平面PDC的夹角的余弦值．

20．在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量0，3）． （Ⅰ）求向量

在向量

＝（1，0，0），＝（0，2，0），＝（0，

上的投影向量；

（Ⅱ）求平面BCD的法向量； （Ⅲ）求点A到平面BCD的距离．

21．在棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为BD和BB1的中点，F为C1D1上的动点，平面OC1D1与棱BC交于点G． （Ⅰ）求证：点G为BC中点； （Ⅱ）求证：OF⊥CE；

（Ⅲ）当D1F为何值时，AB与平面OFE所成角的正弦值最大，并求出最大值．

22．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆的半径为1，且经过坐标原点O，设动圆的圆心为A．

（Ⅰ）求点A的轨迹方程；

（Ⅱ）设点A的轨迹与x轴交于P，Q两点（P在Q左侧），过点P的直线l1交点A的轨迹于点M（异于P，Q），交直线l2：x＝2于点C，经过Q，M的直线交l2于点D，求证：以CD为直径的圆过定点，并求出定点坐标．

参

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求一项。

1．直线y＝x﹣1的倾斜角是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】根据直线方程求出斜率，根据斜率得出对应的倾斜角． 解：直线y＝x﹣1的斜率是1， 所以倾斜角为45°，即故选：B．

2．已知直线l经过点A（1，1），且斜率为2，则直线l的一般式方程为（ ） A．y﹣1＝2（x﹣1） B．y＝2x﹣1

C．2x﹣y﹣1＝0

D．x﹣2y+1＝0

．

【分析】根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解． 解：∵直线l经过点A（1，1），且斜率为2， ∴直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1）， ∴直线l的一般式方程为2x﹣y﹣1＝0． 故选：C．

3．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ） A．

，

，

D．

，

，

B．

，

，

C．

，

，

【分析】利用空间向量基本定理逐个判断各个选项即可． 解：对于选项A：因为能构成基底，故选项A错误， 对于选项B：因为故选项B错误， 对于选项C：因为故选项C错误， 对于选项D：若

，

，

共面，则

＝λ（

+μ）（

），即

＝

+

+

，∴

，

，共面，不能构成基底，

，所以

，

，

共面，不能构成基底，

，所以

，

，

共面，不

（λ+μ）， 则所以

，

，无解， ，

不共面，可以构成空间的另一个基底，

故选：D．

4．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A．

B．

C．

＝（ ）

D．

【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量． 解：连接AC，可得所以

+

+

＝

++

＝＝，又

．

＝

，

故选：A．

5．已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+1＝0互相平行，则a等于（ ） A．2

B．﹣2

C．±2

D．0

【分析】直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+1＝0互相平行，可得a2﹣4＝0，解得a，经过验证即可得出a的值．

解：∵直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+1＝0互相平行， ∴a2﹣4＝0，解得a＝±2， 经过检验a＝±2都满足条件， ∴a＝±2． 故选：C．

6．圆（x﹣5）2+（y﹣3）2＝9与圆x2+y2﹣4x+2y+4＝0的位置关系是（ ） A．内含

B．相交

C．外切

D．外离

＝5，大于两个圆的半径之和，可

【分析】根据两个圆的圆心距d＝

得两个圆外离．

解：圆C：x2+y2﹣4x+2y+4＝0，即圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝1，表示以（2，﹣1）为圆心、1为半径的圆．

而圆 C：（x﹣5）2+（y﹣3）2＝9 是以（5，3）为圆心、3为半径的圆， 两个圆的圆心距d＝所以两个圆外离， 故选：D．

7．在空间直角坐标系Oxyz中，点A（3，4，5）在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，则A．5

＝（ ）

B．

C．

D．

|的值．

＝5＞3+1，

【分析】写出点A在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，再计算|

解：在空间直角坐标系Oxyz中，点A（3，4，5）在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，

则B（3，4，0），C（3，0，5）， ∴∴|

＝（0，﹣4，5）， |＝

＝

．

故选：C．

8．已知点A（2，1，0），B（2，2，1），C（1，2，2），D（0，0，k），若A，B，C，D四点共面，则（ ） A．k＝0

B．k＝1

＝x

C．k＝2 +y

D．k＝﹣1

【分析】由空间向量共面定理，可设的值．

，由向量的坐标表示，解方程可得k

解：由点A（2，1，0），B（2，2，1），C（1，2，2），D（0，0，k）， 可得

＝（0，1，1），

＝（﹣1，1，2），

＝x

+y

，

＝（﹣2，﹣1，k），

若A，B，C，D四点共面，可设

则，解得，所以k＝1．

故选：B．

9．已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+a＝0上有且只有两个点到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离等于1，则实

数a的取值范围是（ ） A．（﹣4，4）

B．（﹣4，1）

C．（1，4）

D．（2，4）

【分析】首先求得圆心到直线的距离，然后结合圆的方程得到关于实数a的不等式，求解不等式可得实数a的取值范围．

解：圆x2+y2﹣2x﹣4y+a＝0转化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣a， 圆心坐标为：（1，2）半径为：圆心到直线的距离：

，

，

由于圆上有且仅有两个点到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离为1， 则即

，即，

，

平方得1＜5﹣a＜9， 解得﹣4＜a＜4， 故选：A．

10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，则A1B1与平面BB1D1D所成角的正弦值等于（ ）

A． B． C． D．

【分析】先求A1到平面BB1D1D距离，再求A1B1与平面BB1D1D所成角的正弦值． M为O1O中点， 解：不妨设AB＝2，由题意知四面体A1ABD是正四面体，作辅助线如图，因为BD⊥AO，BD⊥A1O，所以BD⊥平面A1C1CA， 所以平面B1D1DB⊥平面A1C1CA， 因为A1O＝A1O1＝2•sin60°＝所以A1M⊥平面BB1D1D，

所以A1B1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

＝

＝

，

，所以A1M⊥O1O，

故选：C．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为 ﹣2 ． 【分析】把直线上两点的坐标代入斜率公式进行运算，求出结果． 解：因为A（0，4）和点B（1，2）， 所以直线AB的斜率k＝故答案为：﹣2

12．已知向量＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），若（+λ）⊥，则实数λ等于 ﹣

．

【分析】利用向量坐标运算法则求出利用向量垂直的性质能求出实数λ．

解：∵向量＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0）， ∴

＝（ λ，1+λ，﹣1），

＝（ λ，1+λ，﹣1），根据（+λ）⊥，

＝﹣2

∵（+λ）⊥，

∴（+λ）•＝λ+1+λ＝0， ∴实数λ＝﹣． 故答案为：﹣． 13．过点（

，1）且与圆x2+y2＝4相切的直线方程为

．

【分析】点P（，1）是圆x2+y2＝4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2＝r2上一点P

（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y＝r2，得圆的切线方程． 解：∵把点P（∴可知点P（则过P（故答案为

，1）代入圆x2+y2＝4成立， ，1）是圆x2+y2＝4上的一点，

．

，1）的圆x2+y2＝4的切线方程为

．

14．E，F分别为BC，C1D1的中点，如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设

，＝

，以 ．

，，

为基底，则用基底表示向量

，

＝ （﹣1，1，2） ；

【分析】求出E、F点的坐标即可． 解：以A为原点，以

、

、

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，

又∵E、F分别为BC，C1D1的中点， ∴E（2，1，0），F（1，2，2）， ∴

＝（﹣1，1，2），

．

．

故答案为：（﹣1，1，2）；

15．经过点M（2，﹣2）以及圆x2+y2﹣6x＝0与圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0交点的圆的方程为 x2+y2

﹣5x﹣y＝0 ．

【分析】先确定过两圆交点的圆系方程，再将M的坐标代入，即可求得所求圆的方程． 解：设过圆x2+y2﹣6x＝0与圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0交点的圆的方程为：x2+y2﹣6x+λ（x2+y2﹣2x﹣4y）＝0…①

把点M的坐标（2，﹣2）代入①式得λ＝，把λ＝代入①并化简得x2+y2﹣5x﹣y＝0，∴所求圆的方程为：x2+y2﹣5x﹣y＝0， 故答案是：x2+y2﹣5x﹣y＝0．

16．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知点E，F分别为直线BD，AD1

上的动点．给出下面四个结论： ①异面直线AD1，BD所成的角为60°； ②点F到平面B1C1C的距离为定值； ③若F为AD1中点，则点F到BD距离为④

的最小值为

．

；

则其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．

【分析】连接BC1，DC1，先确定∠DBC1即为异面直线AD1，BD所成的角，求解可判断选项①，利用线面平行的判定定理证明AD1∥平面B1C1C，即可判断选项②，利用等面积法求解点F到BD的距离，即可判断选项③，利用异面直线间的公垂线距离最短，建立合适的空间直角坐标系，利用异面直线间的距离公式求解，即可判断选项④． 解：①连接BC1，DC1，

由正方体的几何性质可得，BC1∥AD1，

所以异面直线AD1，BD所成的角即为BC1与BD所成的角，即∠DBC1， 因为△BDC1为等边三角形， 所以∠DBC1＝60°， 故选项①正确；

因为BC1∥AD1，且AD1⊄平面B1C1C，BC1⊂平面B1C1C， 所以AD1∥平面B1C1C，

则直线AD1上的点到平面B1C1C的距离相等， 所以点F到平面B1C1C的距离为定值， 故选项②正确； 连接FD，FB， 因为FD＝

，BD＝

，FB＝

，

所以FD2+FB2＝BD2， 故△FBD为直角三角形， 设点F到BD距离为d， 由等面积法可得，解得

，

， ，即

，

所以若F为AD1中点，则点F到BD距离为故选项③错误；

以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则A1（2，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），D（0，0，0）， 由三垂线定理可得，A1C⊥AD1，A1C⊥BD， 故向量又

，

是异面直线AD1与BD的法向量，

所以直线BD，AD1公垂线的长度为因为异面直线间的公垂线距离最短， 所以

的最小值为

，

＝，

故选项④正确． 故答案为：①②④．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．三角形的三个顶点分别是A（4，0），B（6，7），C（0，3）． （1）求AC边所在的直线方程； （2）求AC边上的高所在的直线方程； 【分析】（1）根据点斜式求解即可； （2）根据直线垂直的性质求解即可． 解：（1）∵A（4，0），C（0，3）， ∴

，

∴，化简得3x+4y﹣12＝0．

即AC边所在的直线方程为3x+4y﹣12＝0． （2）设BH垂直于AC交AC于H， ∵BH⊥AC，

∴设BH的直线方程为4x﹣3y+b＝0， 点B（6，7）在直线上， ∴4×6﹣3×7+b＝0，即b＝﹣3， ∴BH的直线方程为4x﹣3y﹣3＝0．

18．已知圆M过两点C（1，﹣1），D（﹣1，1），且圆心在直线x+y﹣2＝0上． （Ⅰ）求圆M的方程；

（Ⅱ）试判断直线m：3x+4y﹣2＝0与圆M是否相交；如果相交，求直线m被圆M截得的弦长．

【分析】（Ⅰ）由题意利用待定系数法确定圆的方程即可；

（Ⅱ）由圆心到直线的距离与半径的大小关系可确定直线与圆的位置关系，利用弦长公式可求得弦长．

解：（Ⅰ） 设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），

根据题意得，

故所求圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4． （Ⅱ）圆心（1，1）到直线的距离故直线与圆相交，

由弦长公式可得直线m被圆M截得的弦长为

． ，

19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝2，E，F分别为AD和PB的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；

（Ⅱ）求平面EFC与平面PDC的夹角的余弦值．

【分析】（Ⅰ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，通过证明EF与平面PDC的法向量垂直，即可证明结论；

（Ⅱ）利用待定系数法求出平面EFC的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：由题意四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD， 故以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为PD＝AD＝2，E，F分别为AD和PB的中点， 则E（1，0，0），F（1，1，1）， 所以

，

，

，

，

又平面PDC的一个法向量为所以故

又EF⊄平面PDC， 故EF∥平面PDC；

（Ⅱ）解：因为C（0，2，0），E（1，0，0），F（1，1，1）， 所以

设平面EFC的法向量为

， ，

则，即，

令y＝1，则z＝﹣1，x＝2， 故

，

所以＝＝，

故平面EFC与平面PDC的夹角的余弦值为．

20．在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量0，3）． （Ⅰ）求向量

在向量

＝（1，0，0），＝（0，2，0），＝（0，

上的投影向量；

（Ⅱ）求平面BCD的法向量； （Ⅲ）求点A到平面BCD的距离． 【分析】（Ⅰ）利用向量

在向量

上的投影向量的计算公式求解即可；

（Ⅱ）利用待定系数法求解平面BCD的法向量即可； （Ⅲ）利用点到平面的距离公式，求解即可． 解：（Ⅰ）因为向量所以

＝（1，0，0），

，

＝（0，2，0），

＝（0，0，3），

则t＝＝，

向量的单位向量为

在向量

，

上的投影向量＝

＝（0，2，0），

＝

＝（0，0，3）， ，

，

；

所以向量

（Ⅱ）因为向量所以

＝（1，0，0），

，

设平面BCD的法向量为

则，即，

令z＝2，则y＝3，x＝6， 故

，

；

，

所以平面BCD的法向量为

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面BCD的法向量为又

＝（1，0，0），

＝．

所以点A到平面BCD的距离为＝．

21．在棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为BD和BB1的中点，F为C1D1上的动点，平面OC1D1与棱BC交于点G． （Ⅰ）求证：点G为BC中点； （Ⅱ）求证：OF⊥CE；

（Ⅲ）当D1F为何值时，AB与平面OFE所成角的正弦值最大，并求出最大值．

【分析】（Ⅰ）只要证明OG∥CD即可；（Ⅱ）只要证明CE垂直于OF所在平面OGC1F 即可；（Ⅲ）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值，再用不等式求解最大值即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为平面OC1D1与棱BC交于点G，又因为O、G是平面OC1D1与平面ABCD共公点，

所以平面OC1D1∩平面ABCD＝OG，

因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，所以C1D1∥平面ABCD， 所以C1D1∥OG，又因为C1D1∥CD，所以OG∥CD， 因为O为BD中点，所以点G为BC中点． （Ⅱ）证明：连接C1G，交EC于N， 因为tan∠GC1C＝，tan∠ECG＝，

所以∠GC1C＝∠ECG，所以∠ECG+∠CGC1＝90°， 所以CE⊥C1G，

又因为OG⊥平面B1C1CB，CE⊂平面B1C1CB，OG⊥CE，

因为OG∩C1G＝G，所以CE⊥平面OCC1F， 因为OF⊂平面OCC1F， 所以OF⊥CE．

（Ⅲ）建系如图，设D1F＝t，t∈[0，2]，

A（0，2，0），B（0，0，0），O（1，1，0），E（0，0，1），F（2，2﹣t，2）， ＝（0，﹣2，0），令＝（t﹣3，3，t）， 因为

•＝0，

•＝0，

＝（﹣1，﹣1，1），

＝（1，1﹣t，2），

所以平面OFE的法向量是， 所以AB与平面OFE所成角的正弦值为

＝＝，当t＝时等号成立．

所以当D1F＝时，AB与平面OFE所成角的正弦值最大，最大值为．

22．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆的半径为1，且经过坐标原点O，设动圆的圆心为A．

（Ⅰ）求点A的轨迹方程；

（Ⅱ）设点A的轨迹与x轴交于P，Q两点（P在Q左侧），过点P的直线l1交点A的轨迹于点M（异于P，Q），交直线l2：x＝2于点C，经过Q，M的直线交l2于点D，求证：以CD为直径的圆过定点，并求出定点坐标．

【分析】（Ⅰ）设A的坐标，由圆的半及过原点可得点A的轨迹方程；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得P，Q的坐标，设直线l1的方程，与圆联立求出M的坐标，令x＝2可得C的坐标，求出直线MQ的方程，令x＝2，求出D的坐标，可得CD的中点的坐标及|CD|的值，进而求出以CD为直径的圆，令y＝0可得不论参数为何值，可得定点的横坐标，即求出定点的坐标．

解：（Ⅰ）设A（x，y），因为半径为1，且经过坐标原点O， 所以点A的轨迹方程为x2+y2＝1；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得P（﹣1，0），Q（1，0），

设直线l1的方程为x＝my﹣1，由题意可得m≠0，M（xM，yM）， 联立

，整理可得（1+m2）y2﹣2my＝0，

可得yM＝，xM＝﹣1＝，

所以M（，）；

在x＝my﹣1中，令x＝2，可得y＝，即C（2，），

因为kMQ＝＝﹣m，

所以直线QM的方程为y＝﹣m（x﹣1），令x＝2， 可得y＝﹣m，即D（2，﹣m）， 所以|CD|＝|+m|， CD的中点E（2，

﹣）

+）2＝（， ，0）．

）2，

所以以CD为直径的圆（x﹣2）2+（y﹣当y＝0时，（x﹣2）2＝3，即x＝2±即以CD为直径的圆恒过定点（2