相似三角形判定的证明
一．选择题（共5小题）
1．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（ ）
A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺
2．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ） A．①②③④
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）
=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；
B．①④ C．②③④ D．①②③
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，那么△ADE与四边形DBCE的面积之比是（ ）
A．1：1
B．1：2 C．1：3 D．1：4
5．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：AE=2：3，△BDC的面积为25，则四边形AEFB的面积为（ ） A．25 B．9
C．21 D．16
二．填空题（共3小题）
6．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，
= ．
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=，则
7．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC= ．
8．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，且∠ADE=60°，AB=3，BD=1，则EC= ．
三．解答题（共2小题）
9．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
10．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求
的值．
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相似三角形判定的证明
参与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（ ）
A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺 【解答】解：依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD=BF：DE， 即5：AD=0.4：5， 解得AD=62.5，
BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺． 故选：B．
2．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①
=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）
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A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③
【解答】解：∵在▱ABCD中，AO=AC， ∵点E是OA的中点， ∴AE=CE， ∵AD∥BC， ∴△AFE∽△CBE， ∴
=
=，
∵AD=BC， ∴AF=AD， ∴
=；故①正确；
∵S△AEF=4，
=（
）2=，
∴S△BCE=36；故②正确； ∵=
=， ∴
=，
∴S△ABE=12，故③正确； ∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等， ∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故选D．
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3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵BD=2AD， ∴=
=
=，
则
=，
∴A，C，D选项错误，B选项正确， 故选：B．
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，那么△ADE与四边形DBCE的面积之比是（
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【解答】解：∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴
∴
∴
故选C．
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）
5．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：AE=2：3，△BDC的面积为25，则四边形AEFB的面积为（ ）
A．25 B．9 C．21 D．16
【解答】解：因为EF∥AB，DE：AE=2：3， 所以
，
所以S△DEF：S△ABD=4：25，
又因为四边形ABCD是平行四边形，
所以△ABD≌△BDC，△BDC的面积为25，所以△ABD的面积为25， 所以△DEF的面积为4， 则四边形AEFB的面积为21． 故答案为C．
二．填空题（共3小题）
6．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，
=，则
= ．
【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴
=
=．
故答案为：．
7．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC= 1：2 ．
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【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴△BEF∽DAF，
∴BE：AD=BF：FD=1：3， ∴BE：BC=1：3， ∴BE：EC=1：2． 故答案为：1：2．
8．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，且∠ADE=60°，AB=3，BD=1，则EC= ．
【解答】解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠B=∠ADE=60°， ∴60°+∠CDE=60°+∠BAD， ∴∠CDE=∠BAD， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE， ∴
=
，即
=
=
，
解得：EC=． 故答案为：．
三．解答题（共2小题）
9．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
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（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
【解答】解：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB， ∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB， ∵∠DEF=∠B， ∴∠BDE=∠CEF， ∴△BDE∽△CEF；
（2）∵△BDE∽△CEF， ∴
，
∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， ∴
，
∵∠DEF=∠B=∠C， ∴△DEF∽△ECF， ∴∠DFE=∠CFE， ∴FE平分∠DFC．
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10．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求
的值．
【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE=∠AGC=90°， ∵∠EAF=∠GAC， ∴∠AED=∠ACB， ∵∠EAD=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC， ∴
=
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°， ∴∠EAF=∠GAC， ∴△EAF∽△CAG， ∴，
∴=
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