函数的四个性质

函数的性质(奇偶性，单调性，周期性，对称性)定义域优先 一、奇偶性常用性质：

1．f(x)0是既奇又偶函数；

2．奇函数若在x0处有定义，则必有f(0)0； 3．偶函数满足f(x)f(x)f(x)；

4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称； 5．f(x)0除外的所有函数奇偶性满足：

奇函数±奇函数=奇函数奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数

6．任何函数f(x)可以写成一个奇函数(x)f(x)f(x)和一个偶函数

2(x)f(x)f(x)的和。

2二、函数yf(x)图象本身的对称性〔自身对称〕

若f(xa)f(xb)，则f(x)具有周期性；若f(ax)f(bx)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、f(ax)f(bx)yf(x)图象关于直线x(ax)(bx)ab对称 22推论1：f(ax)f(ax)yf(x)的图象关于直线xa对称 推论2、f(x)f(2ax)yf(x)的图象关于直线xa对称 推论3、f(x)f(2ax)yf(x)的图象关于直线xa对称 2、f(ax)f(bx)2cyf(x)的图象关于点(ab,c)对称 2推论1、f(ax)f(ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称 推论2、f(x)f(2ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称 推论3、f(x)f(2ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称 三、函数周期性的几个重要结论

1、f(xT)f(x)( T0) yf(x)的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期 . .

.

2、f(xa)f(xb)yf(x)的周期为Tba 3、f(xa)f(x)yf(x)的周期为T2a 4、f(xa)1yf(x)的周期为T2a f(x)1yf(x)的周期为T2a f(x)5、f(xa)6、f(xa)1f(x)yf(x)的周期为T2a

1f(x)f(x)1yf(x)的周期为T2a

f(x)11f(x)yf(x)的周期为T4a

1f(x)7、f(xa)8、f(xa)9、f(x2a)f(xa)f(x)yf(x)的周期为T6a

10、若p0,f(px)f(pxpp) , 则T. 2211、yf(x)有两条对称轴xa和xb(ba)yf(x)周期T2(ba) 推论：偶函数yf(x)满足f(ax)f(ax)yf(x)周期T2a 12、yf(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0)(ba)yf(x)周期T2(ba) 推论：奇函数yf(x)满足f(ax)f(ax)yf(x)周期T4a

13、yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)(ba)f(x)的T4(ba) 跟踪练习

1、定义在R上的奇函数f(x)，周期为6，那么方程f(x)0在区间[6,6]上的根的 个数可能是A.0 B.1 C.3 D.5

2、f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内 解的个数至少是() A．1B．4C．3D．2

1),那么f(2013) 3、已知f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(xA.0 B.2 C.2 D.2

. .

.

4、已知f(x)2x1，那么f(6)f(4)f(2)f(0)f(2)f(4)f(6)f(8) x1A.14 B.15 C.16D.16

5、已知f(x)的定义域为R，若f(x1)、f(x1)都为奇函数，则

A.f(x)为偶函数 B.f(x)为奇函数 C.f(x)=f(x2) D.f(x3)为奇函数 6、定义在R上的函数f(x)对任意的实数x都有f(x1)f(x1)，则下列结论一 定成立的是

A.f(x)的周期为4 B.f(x)的周期为6 C.f(x)的图像关于直线x1对称 D. f(x)的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R上的函数f(x)满足:f(x)f(x),f(1x)f(1x)，当x[1, 1] 时，f(x)x，则f(2013)

A.1 B.0 C.1 D.2

8、定义在R上的函数f(x)对任意的实数x都有f(2x)f(2x)，并且f(x1)为 偶函数. 若f(1)3，那么f(101)

A.1 B.2 C.3 D.4

9、已知f(x)(x∈R)为奇函数，f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(3)等于()

1A. 2

3

B．1C.

2

D．2

33

10、若奇函数f(x)(x∈R)满足f(3)＝1，f(x＋3)＝f(x)＋f(3)，则f2等于()

11

A．0B．1C.D．－

22

11、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()

A．f(－25)12、设fx为定义在R上的奇函数，满足fx2fx，当0x1时fxx，则

f7.5等于〔〕

A．0.5B．0.5 C．1.5 D．1.5

13、设fx是定义在R上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则f2与fa22a3

〔aR〕的大小关系是〔〕

A．f2. .

.

C．f2>fa22a3

D．与a的取值无关

14、若函数fx为奇函数，且当x0时，fxx1，则当x0时，有〔〕

A．fx0B．fx0 C．fxfx≤0

2D．fx－fx0

15、已知函数fxx2a1x2在区间,4上是减函数，则实数a的取值X围是 〔〕

A．a≤－3

B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3

2xx(x0)16、已知函数fxxaxaa0,g(x)x1x1,h(x)，

2x1xx(x0)则fx,gx,hx的奇偶性依次为〔〕

A．奇函数，偶函数，奇函数 B．奇函数，奇函数，偶函数 C．奇函数，奇函数，奇函数D．奇函数，非奇非偶函数，奇函数

2217、已知函数fxxaxbb1a,bR对任意实数x都有

f1xf1x成立，若当x1,1时，fx0恒成立,则b的取值X围是〔 〕

A．1b0 B．b2C．b1或b2 D．不能确定 18、已知函数fxx2x3，那么〔〕

22

A．yfx在区间1,1上是增函数 B．yfx在区间,1上是增函数

C．yfx在区间1,1上是减函数D．yfx在区间,1上是减函数 19、函数yfx在0,2上是增函数，函数yfx2是偶函数，则下列结论中正确的是〔〕

57f 2275C．fff1D．

22A．f1f57f1f2275ff1f 22B．fx20、设函数fx是R上的奇函数，且当x0时，fx23，则f2等于〔〕

A．1

B．

11 4C．1 D．11 4x2x1,则 21、设函数f(x)是R上的偶函数,且在0,上是减函数,且x1x20，A.f(x1)f(x2) B.f(x1)f(x2) C.f(x1)f(x2) D.不能确定

22、函数yfx与ygx的定义域相同，且对定义域中任何x有fxfx0，

gxgx1，若gx1的解集是0，则函数Fx

A．奇函数B．偶函数

C．既奇又偶函数

2fxfx是〔〕

gx1D．非奇非偶函数

xsinx,x023、已知函数f(x)x ，若f(2a2)f(a)，则实数a取值X围是

e1,x0. .

.

A. (,1)(2,)B. (2,1) C. (1,2) D. (,2)(1,)

24、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意x都有xf(x1)(1x)f(x) 那么f(5)= 2A．0 二、填空题：

B．1C．2 D．3

24、设yfx是R上的减函数，则yf分别为;

26、定义在1,1上的奇函数fxx3的单调递减区间为

225、已知fx为偶函数，gx是奇函数，且fxgxxx2，则fx、gxxm，则常数m，n； 2xnx127、已知f (x)是定义在实数集上的函数，且f(x2)1f(x),若f(1)23,则

1f(x)f (2005)=.

28、函数f(x)定义域为R，且对于一切实数x,y都有f(xy)f(x)f(y)，试判断f(x)的奇偶性.

29、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(2x)f(x)，当x[0,2]时f(x)2xx

⑴求证：f(x)是周期函数；

⑵当x[2,4]时，求f(x)的解析式； ⑶计算：f(0)f(1)f(2)f(2005) 30、已知

212≤a≤1，若函数fxax2x1在区间[1，3]上的最大值为Ma，最小3值为Na，令gaMaNa．

1，1]上的单调性，并求出ga3〔1〕求ga的函数表达式；〔2〕判断函数ga在区间[的最小值 .

. .