平方差公式与完全平方公式试题(含答案)1

一、复习:(a+b)(a-b)=a-b (a+b)=a+2ab+b (a-b)=a-2ab+b 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

① 位置变化，xyyxxy ② 符号变化，xyxyxy xy ③ 指数变化，xyxyxy ④ 系数变化，2ab2ab4ab ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxyzm xyz2zm+mxyz2zmm ⑥ 增项变化，xyzxyzxyz x2xy yz ⑦ 连用公式变化，xyxyxyxyxyxy

⑧ 逆用公式变化，xyzxyzxyzxyzxyzxyz 2x2y2z 4xy4xz

例1．已知ab2，ab1，求ab的值。

2222解：∵(ab)a2abb ∴ab=(ab)2ab

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222∵ab2，ab1 ∴ab=2212

22例2．已知ab8，ab2，求(ab)的值。

2222解：∵(ab)a2abb (ab)a2abb

222∴(ab)(ab)4ab ∴(ab)4ab=(ab)

2∵ab8，ab2 ∴(ab)84256

22222

例3：计算1999-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：1999-2000×1998 =1999-（1999+1）×（1999-1） =1999-（1999-1）=1999-1999+1 =1 例4：已知a+b=2，ab=1，求a+b和(a-b)的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a+b=(a+b)-2ab=4-2=2 （a-b)=(a+b)-4ab=4-4=0

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x-z的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x-z是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x-z=（x+z）(x-z)=14×4=56。 例6：判断（2+1）（2+1）（2+1）……（2

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+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。

解：（2+1）（2+1）（2+1）……（2

2

4

2048

+1）+1

=（2-1）（2+1）（2+1）……（2 =2 =16

4096

242048

+1）+1

1024

因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。 例7．运用公式简便计算

（1）103 （2）198

解：（1）1031003 100210033 100006009 10609 （2）1982002 200220022 400008004 39204

例8．计算

（1）a4b3ca4b3c （2）3xy23xy2

解：（1）原式a3c4ba3c4ba3c4ba6ac9c16b （2）原式3xy23xy29x y4y49xy4y4

例9．解下列各式

（1）已知ab13，ab6，求ab，ab的值。 （2）已知ab7，ab4，求ab，ab的值。

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a2b2（3）已知aa1ab2，求ab的值。

211（4）已知x3，求x44的值。

xx2

分析：在公式abab2ab中，如果把ab，ab和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。 解：（1）∵ab13，ab6

abab2ab132625 abab2ab13261 （2）∵ab7，ab4

 a2abb7 ① a2abb4 ② ①②得 2ab11，即a2b2 ①②得 4ab3，即ab22

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11 23 4 （3）由aa1ab2 得ab2

a2b211122 aba2b22abab22

22221111 （4）由x3，得x9 即x2229 x2211

xxxx111 x22121 即x442121 x44119

xxx例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？

分析：由于12341255 2345112111 3456136119

22

2

…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。 解：设n，n1，n2，n3是四个连续自然数

则nn1n2n31 nn3n1n21 n3n2n3n1

n3nn3n21 n3n1

∵n是整数， n，3n都是整数  n3n1一定是整数

n3n1是一个平方数 四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。

二、乘法公式的用法

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1. 计算：5x23y25x23y2 解：原式5x2

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3y222225x49y4

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。 例2. 计算：1aa1a21a41 解：原式1a21a21a4

1a41a41a8

例3. 计算：3x2y5z13x2y5z1 解：原式2y5z3x12y5z3x1

2y5z3x122222

4y9x25z20yz6x1三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：5a7b8c5a7b8c

解：原式5a7b8c5a7b8c5a7b8c5a7b8c

2210a14b16c140ab160ac

四、变用: 题目变形后运用公式解题。 例5. 计算：xy2zxy6z 解：原式xy2z4zxy2z4z

222xy2z4z22

xy12z2xy4xz4yz五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

1.ab2aba2b22.ab2aba2b23.abab2a2b24.abab4ab

222222灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。 例6. 已知ab4，ab5，求a2b2的值。 解：a2b2ab2ab422526 例7. 计算：abcdbcda 解：原式bcad2222bcad

22bcad22

2a22b22c22d24bc4ad三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x-5)(2x-5)

分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a-b中的a，而“2x”则是公式中的b．

解：原式=(-5-2x)(-5+2x)=(-5)-(2x)=25-4x．

例2 计算(-a+4b)

分析：运用公式(a+b)=a+2ab+b时，“-a”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a)时，则“4b”是公式中的a，而“a”就是公式中的b．（解略） （二）、注意为使用公式创造条件 例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．

分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．

解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)-(y-z)=4x+20x+25-y+2yz-z．

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例5 计算(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)．

分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简． 解：原式=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1) =(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2-1)(2+1)(2+1) =（2-1）（2+1）=2-1

（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由(a+b)=a+2ab+b，可推广得到：(a+b+c)=a+b+c+2ab+2ac+2bc． 可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍． 例6 计算(2x+y-3)

解：原式=(2x)+y+(-3)+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x+y+9+4xy-12x-6y．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式

例7 (2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)的值．

分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x+y=(x+y)-2xy，x+y=(x+y)-3xy(x+y)，(x+y)-(x-y)=4xy，问题则十分简单． 解：(2)(x-2y)=(x+2y)-8xy=7-8×6=1．

例8 计算(a+b+c)+(a+b-c)+(a-b+c)+(b-a+c)．

分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)+(a-b)=2(a+b)，因而问题容易解决．

解：原式=[(a+b)+c]+[(a+b)-c]+[c+(a-b)]+[c-(a-b)]=2[(a+b)+c]+2[c+(a-b)] =2[(a+b)+(a-b)]+4c =4a+4b+4c

（五）、注意乘法公式的逆运用 例9 计算(a-2b+3c)-(a+2b-3c)．

分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多． 解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac． 例10 计算(2a+3b)-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)

分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便． 解：原式=(2a+3b)+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)=[(2a+3b)+(4a-5b)]=(6a-2b)=36a-24ab+4b．

四、怎样熟练运用公式： （一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z），若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）=a－2ab+b来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

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常见的几种变化是：

1、位置变化 如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．

2、符号变化 如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）

3、数字变化 如98×102，99，91等分别变为（100－2）（100+2），（100－1），（90+1）后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化 如（4m+

nnnn）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了． 24442

2

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5、项数变化 如（x+3y+2z）（x－3y+6z）变为（x+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了

（四）、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a+1）·（a－1），若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a+1）（a－1）]=（a－1）=a－2a+1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－－

1）（1224

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1111）（1－）…（1－）（1－），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注

102324292意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．

即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）×…×（1－

1212131311324911111111）（1+）=××××…×× =×=．

101022331010210202

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2

有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a+b=（a+b）－2ab，a+b=（a－b）+2ab等．

用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效． 如已知m+n=7，mn=－18，求m+n，m－mn+ n的值． 面对这样的问题就可用上述变式来解，

即m+n=（m+n）－2mn=7－2×（－18）=49+36=85，

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m2－mn+ n2= （m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．

下列各题，难不倒你吧？！ 1、若a+

11122

=5，求（1）a+2，（2）（a－）的值． aaa2

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32

2、求（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）+1的末位数字． （答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）

五、乘法公式应用的五个层次

乘法公式：(a＋b)(a－b)=a－b，(a±b)=a±2ab＋b，

(a±b)(a±ab＋b)=a±b．

第一层次──正用

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即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用． 例1计算

(2)(－2x－y)(2x－y)．

(2)原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y－4x．

第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用． 例2计算

2

2

(1)1998－1998·3994＋1997；

解(1)原式=1998－2·1998·1997＋1997=(1998－1997)=1

2

2

2

22

第三层次──活用 ：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．

例3化简：(2＋1)(2＋1)(2＋1)(2＋1)＋1．

分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．

解原式=(2－1)(2＋1)(2＋1)(2＋1)(2＋1)＋1

=(2－1)(2＋1)(2＋1)(2＋1)＋1=2． 例4计算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)

分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解．

解原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)

=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]=(2－3y)－(2x－3)=9y－4x＋12x－12y－5．

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第四层次──变用 ：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a＋b=(a＋b)－2ab，a＋b=(a＋b)－3ab(a＋b)等，则求解十分简单、明快．

例5已知a＋b=9，ab=14，求2a＋2b和a＋b的值．

解： ∵a＋b=9，ab=14，∴2a＋2b=2[(a＋b)－2ab]=2(9－2·14)=106，

a＋b=(a＋b)－3ab(a＋b)=9－3·14·9=351

第五层次──综合后用 ：将(a＋b)=a＋2ab＋b和(a－b)=a－2ab＋b综合， 可得 (a＋b)＋(a－b)=2(a＋b)；(a＋b)－(a－b)=4ab；

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3

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等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．

例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)． 解：原式=

1212

[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]442

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=(2x＋5)－(y－z)=4x＋20x＋25－y＋2yz－z

六、正确认识和使用乘法公式

1、数形结合的数学思想认识乘法公式：

对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a-b、完全平方公式：(a+b)=a+2ab+b；(a-b)=a-2ab+b，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a-b；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)与(a-b)，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)=a+2ab+b与(a-b)=a-2ab+b。

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2、乘法公式的使用技巧：

①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。 例1、 运用乘法公式计算：

（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)

解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=1-(3x)=1-9x. （2） (-2m-1)=[-(2m+1)]=(2m+1)= 4m+4m+1.

②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显. 例2、 运用乘法公式计算：

111a2

（1）(a-b )(-b - ); （2）(x-1/2)(x+1/4)(x+1/2)

3443111a1111

解：（1）(a-b )(-b - )=(-b+ a )(-b -a )

34434343

111112121212

=(b- a )(b +a )=(b)- (a) = b- a 434343169

(2) (x-1/2)(x+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x+1/4)

=(x-1/4) (x+1/4)= x-1/16.

③逆用公式

将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a-b = (a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得ab=(ab),等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。

例3、 计算：

（1）(x/2+5)-(x/2-5) ; （2）(a-1/2)(a+1/4)(a+1/2)

2

2

2

2

2

2

2

2

nn

n

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

解：（1）(x/2+5)-(x/2-5)=[(x/2+5)+(x/2-5)] [(x/2+5)-(x/2-5)]

=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x·10=10x.

（2）(a-1/2)(a+1/4)(a+1/2)

2

2

2

2

2

=[(a-1/2)(a+1/4)(a+1/2)]=[(a-1/2) (a+1/2) (a+1/4)]=[(a-1/4) (a+1/4)]=(a-1/16)

2

2

2

4

2

2 2 2

=a-a/8+1/256.

84

④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。

计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).

解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= [1+(x+y)][1-(x+y)]=1-(x+y)

=1-(x+2xy+y)= 1-x-2xy-y.

（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)

=[ (2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]

= (2x+5)-(y-z)=(4x+20x+25)-(y-2yz+z) = 4x+20x+25-y+2yz-z= 4x-y-z+2yz +20x+25 .

七、巧用公式做整式乘法

整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。

一. 先分组，再用公式

例1. 计算：(abcd)(abcd)

简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式(abcd)运用加法交换律和结合律变形为(bd)(ac)；将另一个整式(abcd)变形为(bd)(ac)，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。 解：原式(bd)(ac)

二. 先提公因式，再用公式 例2. 计算：8x2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

bdac

2(bd)2(ac)2b2bdda2acc222

y4x2y 4 简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x的系数成倍数，y的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为24xy，则可利用乘法公式。 4 解：原式24xy4x4y 422y24x4

y2232x8

三. 先分项，再用公式

例3. 计算：2x3y22x3y6

简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与2的和，将6分解成4与2的和，再

分组，则可应用公式展开。 解：原式=(2x4)(23y)

四. 先整体展开，再用公式 例4. 计算：(a2b)(a2b1)

简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即(a2b)1，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。

解：原式(a2b)(a2b)1

五. 先补项，再用公式

例5. 计算：3(31)(31)(31)(31)

简析：由观察整式(31)，不难发现，若先补上一项(31)，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。

8422x423y

(2x4)223y2224x16x1212y9y(a2b)(a2b)(a2b)a4ba2b22

(381)(341)(321)(31)(31) 解：原式3

2(381)(341)(321)(321)32(381)(341)(341)32(381)(381) 3

2(3161)32531622

六. 先用公式，再展开 例6. 计算：1111111…1 2222234102121 简析：第一个整式12可表示为1，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式，其它因式类

22似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。

解：原式111111…1121213131414111 1010 

31425311911 …223344101020七. 乘法公式交替用

例7. 计算：(xz)(x2xzz)(xz)(x2xzz)

简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。

2222 (xz)(xz)(xz)(xz)

22 解：原式(xz)(x22xzz2)(x22xzz2)(xz)

(xz)3(xz)3

(xz)(xz)(xz)2233

x63x4z23x2z4z6

八、中考与乘法公式 1. 结论开放

例1. （02年济南中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。

22分析：利用面积公式即可列出xyxyxy

22或xyxyxy或xyx22xyy2

2在上述公式中任意选一个即可。

例2. （03年陕西中考）

如图2，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（ab），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。

2222分析：利用面积公式即可列出ababab或ababab

2. 条件开放

例3. （03年四川中考）多项式9x21加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。

分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出

9x216x3x1 或9x216x3x1只要再动点脑筋，还会得出

8199x21x4x212 49x2113x22229x219x212 故所加的单项式可以是6x，或

3. 找规律

例4. （01年武汉中考） 观察下列各式：

814x，或1，或9x2等。 4x1x1x21x1x2x1x31 324x1xxx1x1……由猜想到的规律可得x1xnxn1xn2…x1____________。 分析：由已知等式观察可知 x1xnxn1xn2…x1xn11 4. 推导新公式

例5. 在公式a1a22a1中，当a分别取1，2，3，……，n时，可得下列n个等式

2112122112122222131232231……n22n1n12

将这n个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：

123…n__________（用含n的代数式表示）

分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两边分别相加，得：

n12122122…2nn 移项，整理得：

123…n

1nn12

例6. （04年临汾中考）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，

22实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：2abab2a3abb 就可以用图4或图5等图表

示。

（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

aba3ba24ab3b2

（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。

22解：（1）2ab2ba2a2b5ab

2）如图7

（