【新教材】5.2.1 三角函数的概念
三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。 三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。
课程目标
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号． 3.掌握公式一并会应用． 数学学科素养
1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义； 2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值； 3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号； 4.数算：诱导公式一的运用.
重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义； ②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号. 难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。
一、 情景导入
在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课
阅读课本177-180页，思考并完成以下问题
1．任意角三角函数的定义？
2．任意角三角函数在各象限的符号？ 3．诱导公式一？
要求：学生完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义
(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
图121 (2)结论
①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y； ②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x； yy
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)． xx
(3)总结
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．
思考：若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝x2＋y2＞0)． 三角函数 定义 定义域 名称 𝑦sinα R 正弦 𝑟cosα tanα 𝑥 𝑟𝑦 𝑥R παα≠kπ＋，k∈Z 2余弦 正切 正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 sin α cos α tan α 定义域 R R πx∈Rx≠kπ＋，k∈Z 2
4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：
图122
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 5．诱导公式一
四、典例分析、举一反三
题型一 三角函数的定义及应用
例1 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值． 255
【答案】当α的终边在第二象限时，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－2.
55255
当α的终边在第四象限时， sin α＝－，cos α＝，tan α＝－2.
55【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝所以sin α＝
－122552
＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－2.
55－155
2＝
－12＋22＝5，
当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－2)，则r＝12＋－2－2－22515
所以sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－2.
51555
5，
解题技巧：（已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法）
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．
yx
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α
rr
的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． 跟踪训练一
10
1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
10
310
【答案】当x＝1时，sin θ＝，tan θ＝3；
10310当x＝－1时，此时sin θ＝，tan θ＝－3.
10
xx
【解析】由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝＝2.
rx＋9
10x10
又∵cos θ＝x，∴2＝x.∵x≠0，∴x＝±1.
10x＋910
33103＝，tan θ＝＝3. 10112＋3233103当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3. 10－1－12＋32当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝题型二 三角函数值的符号
例2 (1)若α是第四象限角，则点P(cos α，tan α)在第________象限．
7π
(2)判断下列各式的符号：①sin 183°；②tan ；③cos 5.
47π
【答案】（1）四； （2） ①sin 183°<0；②tan <0；③cos 5>0.
4
【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cos α>0，tan α<0，∴点P(cos α，tan α)在第四象限．
(2) ①∵180°<183°<270°，∴sin 183°<0；
3π7π7π3π
②∵<<2π，∴tan <0；③∵<5<2π，∴cos 5>0.
2442
解题技巧：(判断三角函数值在各象限符号的攻略)
(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误． 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号． 跟踪训练二
1．确定下列式子的符号：
5π11πcos ·tan
66
(1) tan 108°·cos 305°；(2)；(3)tan 120°·sin 269°.
2πsin
35π11πcos ·tan
66
【答案】(1) tan 108°·cos 305°＜0；(2) ＞0；
2πsin
3
（3）tan 120°sin 269°＞0.
【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.
∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.从而tan 108°·cos 305°＜0.
5π11π2π
(2)∵是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，
663
5π11πcos ·tan 665π11π2π
∴cos ＜0，tan＜0，sin ＞0.从而＞0.
6632π
sin
3
(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.
从而tan 120°sin 269°＞0.
题型三 诱导公式一的应用
例3 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
23π15π7π13π－＋tan－cos. (2)sincos643335
【答案】（1）；（2）.
24
【解析】 (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
33＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
22
ππππ2π＋cos－4π＋＋tan－4π＋·cos4π＋ (2)原式＝sin3643
ππππ3315＝sincos＋tancos＝×＋1×＝. 332224解题技巧：（利用诱导公式一进行化简求值的步骤）
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z. (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值． 跟踪训练三
1．化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
11π12
－＋cosπ·tan 4π. (2)sin65
1
【答案】（1）(a－b)2 ； （2）.
2【解析】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0° ＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
1112
－π＋cosπ·tan 4π (2)sin65
π12π1－2π＋＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝. ＝sin6562
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计
5.2.1 三角函数的概念 1. 三角函数的定义 例1 例2 例3
2．三角函数在各象限的符号
3．诱导公式一
七、作业
课本179页练习及182页练习.
本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.
高考数学：试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。
考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。
二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。 审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。 三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。
对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。 四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。 对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。理综求准求稳求规范
第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。 第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。
第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太快。生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;
若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。
第四：客观题求规范。①用学科专业术语表达。物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。
