概率论第三章习题解答

1 在一箱子中装有12只开关，其中2 只是次品，在其中任取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。定义随机变量X，Y如下： X0,若第一次取出的是正品，

1，若第一次取出的是次品。0,若第二次取出的是正品，Y 1，若第二次取出的是次品。试分别就（1），（2）两种情况写出X，Y的联合分布律。

解 （1）放回抽样

由于每次抽取时都是12只开关，第一次取到正品有10种可能，即第一次取到正品的概率为 P{X0}105， 126第一次取出的是次品的概率为 P{X1}21 126105同理，第二次取到正品的概率P{Y0}

12621 第二次取到次品的概率为P{Y1}

126由乘法公式得X，Y的联合分布率为

P{Xi,Yj}P{Yj|Xi}P{Xi}P{Xi}P{Yj}，i0,1，j0,1。具体地有

5525515，P{X0,Y1}， P{X0,Y0}66366636155111 P{X1,Y0}，P{X1,Y1}

66366636用表格的形式表示为

X 0 1 Y 0 1 （2）不放回抽样 P{X0}，P{X1}255 363651 3636561 6因为第二次抽取时，箱子里只有11只开关，当第一次抽取的是正品，则箱子中有9只正品）。所以

920}， P{Y1X|0} 1111110 P{Y0|X1}， P{Y1X|1}

111159455210则P{X0,Y0} P{X0,Y1}， 611666116611010111 P{X1,Y0，P{X1,Y1} }6116661166 P{Y0X|用表格表示为

X 0 1 Y 0 1 4510 6666101 66662 （1）盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取

到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数，求X和Y的联合分布律。

（2）在（1）中求P{XY}，P{Y2X}，P{XY3}，P{X3Y}。 解 X可能的取值为0，1，2，3；Y的可能取值为0，1，2。 P{X0,Y7只球，每次取4只球，而红0}P{（因为盒子里总共只有}球2只，故不可能白球和黑球同时都取不到）

P{X0,Y1}P{}0， P{X0Y,220C2CC2312}4 C735112C3C2C26。 P{X1,Y0}P{}0 P{X1,Y1}35351212C3C2C26C32C23P{X1,Y2}。 P{X2,Y0}

35353535112C32C2C212C32C23P{X2,Y1}， ， P{X2,Y2}353535353131C3C2C3C222P{X3,Y0}， P{X3,Y1}，

35353535P{X3,Y2}P{}0

其联合分布律为

X 0 1 2 3 Y 0 1 2 3 356120 3535163 3535350 0 2 352 350 （2）P{XY}P{X1,Y0}P{X2,Y1}P{X2,Y1} P{X3,Y0}P{X3,Y1}P{X3,Y2} 031222190 3535353535Y0,P0X}Y{0}P{X P{Y2X}PX{ P{X61,； 2}352Y, {1}PXY3}P{X3,YY 2126204。 353535357P{X3Y}P{X3,Y0}P{X2,Y1}P{X1,Y2}

361102。 3535353573 设随机变量(X,Y)的概率密度为

k(6xy),0x2,2y4， f(x,y)

0,其它.（1）确定常数k； （2）求P{X1,Y3}； （3）求P{X1.5}； （4）P{XY4}。 解 由

f(x,y)dxdxy1得

2402f(x,y)dxdxydxk(6xy)dy

2y242k(6yxy)2dxk(62x)dxk(6xx2)08k

0022令8k1， 得k（2）P{X1,Y3}1。 81dx1(6xy)dy 8331111y23 dx(6xy)dy(6yxy)2dx

280802 117112713(x)dx(xx)0 08282281.541P{X1.5}P{X1.5,2y4}dx(6xy)dy

02811.512(62x)dx(6xx)0881.50 12727 84324x12 2y4x）dx(6xy)dy（积分区域为0x2，0281212 (x4x6)dx

802113116222 (x2x6x)0。

868334 设X，Y是非负的连续型随机变量，它们相互。

P{XY4}（1）证明 P{XY}0FX(x)fY(x)dx，其中FX(x)是X的分布函数，fY(y)是Y的

概率密度。

（2）设X，Y相互，其概率密度分别为

1e1x,x0,2e2x,y0, fX(x)， fY(y)

其它.其它.0,0,求P{XY}。

解 （1）因为X，Y是非负的连续型随机变量，且相互，所以f(x,y)fX(x)fY(y)，在区域(x,xy)内 P{XY}xyf(x,y)dxdyfX(x)dxfY(y)dy

x  fX(x)[FY(y)]dxfX(x)[FY()FY(x)]dx

xfX(x)[1FY(x)]dxfX(x)dxfX(x)FY(x)dx

 1fX(x)FY(x)dx1FY(x)d(FX(x))（分部积分）

 1FY(x)FX(x) FX(x)fY(x)dx

FX(x)fY(x)dx

（2） P{XY} 01ex2exdx1ex[ex]xdx

1212x001e()xdx12112e(12)x0112

5 设随机变量(X,Y)具有分布函数

1exeyc,x0,y0 F(x,y)，

其它0,求边缘分布函数。

解 当x0时

FX(x)limF(x,y)lim(1exeyexy)1ex

yy其它情形 FX(x)0，即

1ex,x0,FX(x)。

其它0,同理 当y0时

FY(y)limF(x,y)lim(1exeyexy)1ey

xx其它情形 FY(y)0，即

1ey,y0, FY(y)。

0,其它6 将一枚硬币掷三次，以X表示前两次中出现H的次数，以Y表示3次中出现H的次数，求X，Y的联合分布律以及(X,Y)的概率密度。

解 将一枚硬币掷三次，其H和T出现的情况为

｛HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT｝ X的取值为0,1，2，Y的取值为0，1,2，3则

11， P{X0,Y1}（TTH） P{X0,Y0}（TTT）

88P{X0,Y2}0， P{X0,Y3}0

P{X1,Y0}0 P{X1,Y1}2 （HTT，THT） 8P{X1,Y2}2 （HHT，THH） P{X1,Y3}0 81P{X2,Y0} P{X2,Y1}0

81P{X2,Y2} （HHT） P{X2,Y3}0（HHH）

8X p 0 1 2 .jY 0 1 2 3

1 0 0 812 0 88210 8810 0 81 83 83 81 8pi. 111 4247 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

) f(x,y(2x4.y80,),x0其它.1y,0x

求边缘概率密度。

解 当 0x1时

xfX(x)f(x,y)dy4.8y(2x)dy2.4y2(2x)02.4x2(2x)

022.x4 fX(x)0,x(x2x),其它.

1,当 0y1时

fY(y)1f(x,y)dx4.8y(2x)dy4.8y(2xx2)y211y2.4y(34yy2)

2.y4(3yy42y),0 fY(y)

0,其它.8 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

1,ey,0xy, f(x,y)

0,其它求边缘概率密度

解 当x0时，fX(x)f(x,y)dyeydyeyxxex

ex,x0, 于是 fX(x)

0,x0 当x0时fY(y)yf(x,y)dxeydxeyx0yey

0yyey,y0, 于是 fY(y)

0,y09设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

cx2y,x2y1 f(x,y)

其它.0,（1）确定常数c；

（2）求边缘概率密度

c1221解 （1） 因为 f(x,y)dxdycxdx2ydyxyx2dx

1x211c12626 (xx)dxc(xx)dx

021111743 c(xx)dxc

037211212122421xy,xy1令 c1，得c。即f(x,y)4214其它.0,（2） 当1x1时

1fX(x)f(x,y)dy2x21221xydyx2(1x4) 482124x(1x),1x1于是 fX(x)8

其它.0,当0y1时

y fY(y)f(x,y)dx21275xydxy2 y4275y2,0y1于是 fX(x)2

0,其它. 10 某一医药公司8月份和9月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X和Y。据

以往积累的资料知X，Y的联合分布律为

X Y 51 52 53 54 55 51 52 53 54 55 0.66 0.07 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.10 0.02 0.06 0.05 0.01 0.10 0.01 0.05 0.01 0.01 0.05 0.01 0.01 0.01 0.01 0.05 0.03 0.03 （1）求边缘分布律；

（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件概率。 解（1）边缘概率

X Y 51 52 53 54 55 51 52 53 54 55 0.06 0.07 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.10 0.02 0.06 0.05 0.01 0.10 0.01 0.05 0.01 0.01 0.05 0.01 0.01 0.01 0.01 0.05 0.03 0.03 p.j 0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 pi. 0.28 0.28 0.22 0.09 0.13 （2）由条件概率计算公式，得P{Y|X51}P{X51,Y}

P{X51} P{Y51|X51}P{X51,Y51}0.066

P{X51}0.2828P{Y52|X51}P{X51,Y52}0.077

P{X51}0.2828P{X51,Y53}0.055

P{X51}0.2828P{X51,Y54}0.055

P{X51}0.2828P{X51,Y55}0.055

P{X51}0.2828P{Y53|X51}P{Y54|X51}P{Y55|X51} Y pX51

51 52 53 54 55 67555 282828282811 以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男婴的个数。设X和Y的联合分

布律为

e14(7.14)m(6.86)nm P{Xn,Ym}，

m!(nm)!（1）求边缘分布律； （2）求条件分布律；

（3）写出X20时Y的条件分布律。

解 因为Y记录的是男婴的个数，他是当天出生全体婴儿的一个子集，故0mn

e14(7.14)m(6.86)nm pn.P{Xn}P{Xn,Ym}m!(nm)!m0m0nne14n!(7.14)m(6.86)nm m!(nm)!m0n!ne14 n!m0Cnmn(7.14)m(6.86)nm

e14e14nn(7.146.86)14，n0,1,2,。 n!n!e14(7.14)m(6.86)nm p.jP{Ym}P{Xn,Ym}m!(nm)!nmnme14(7.14)m(6.86)nm 

m!(nm)!nme14(7.14)m m!(6.86)j（令jnm） j!j0e14(7.14)m6.86x2xnxe （e1x） m!2!n!e7.14(7.14)m ，m0,1,2,。

m!（2）求条件概率

P{Xn,Ym}e14(7.14)m(6.86)nmm! P{Xn|YM}7.14P{Xm}m!(nm)!e(7.14)m

e6.86(6.86)nm nm,m1,m2,。 (nm)!P{Xn,Ym}e14(7.14)m(6.86)nmn!P{Ym|Xn}14n

P{Xn}m!(nm)!e14 n!7.14m6.86nm()()

m!(nm)!1414mnm7.14m6.86nmm)()Cn(0.51)m(0.49)m0,1,2,,n 1414 Cn(m（3）P{Ym|X20}C20(0.51)m(0.49)20m，m0,1,2,,20。

12 求§1例1中的条件分布律P{Yk|Xi}。

解 §1例1设随机变量X在1,2，3,4四个整数中等可能的取一值，另一个随机变量Y在1X中等可能的取一个整数值，则(X,Y)的分布律为 X Y 1 2 3 4 X Y 1 2 3 4 1 2 3 4 1111 4812161110 81216110 0 121610 0 0 16 1 2 3 4 其对应的边缘分布 p.j 1111 4812161110 81216110 0 121610 0 0 1625 4813 487 483 48pi. 1111 4444 其对应的条件分布律为 由P{Yk|Xi} P{Xi,Yk}得：

P{Xi}P{Y1|X1}P{X1,Y1}P{X1,Y2}， 1，P{Y2|X1}0，

P{X1}P{X1}P{Y3|X1}P{X1,Y3}P{X1,Y4}0，P{Y4|X1}0，即

P{X1}P{X1}k1 P{Yk|X1} 同理，由P{Yk|X2}1 1 P{X2,Yk}得：

P{X2}2Y,2}PX{2}P{XY2,2}3P}X{Y2,

PX{2} P{X2,Y1}P{XP{X2}P{X4} P{Y1|X P{Y2|X1P{X2,Y1}812}，

P{X2}1241P{X2,Y2}812}，

1P{X2}24P{X2,Y2}2}， 0P{X2}P{X2,Y2} 2}，即0P{X2} P{Y3|X P{Y4|Xk P{Yk|X2} 由P{Yk|X3}1 2 11 22P{X2,Yk}得：

P{X3}P{X3,Y1}11213}

P{X3}143 P{Y1|X P{Y2|XP{X3,Y2}11213}，

P{X3}143P{X3,Y3}11213}，

P{X3}143 P{Y3|X P{Y4|X3}P{X3,Y4}0，即

P{X3}k P{Yk|X3} 由P{Yk|X4}1 2 3 111 333P{X2,Yk}得

P{X4}P{X4,Y1}11614}，

P{X4}144P{X4,Y2}11614}，

P{X4}144P{X4,Y3}11614}，

P{X4}144P{X4,Y4}11614}，即

P{X4}144 P{Y1|X P{Y2|X P{Y3|X P{Y4|Xk P{Yk|X4} 13 在第9题中

1 2 3 4 1111 4444 （1）求条件概率密度fX|Y(x|y)，特别，写出当Y1时X的条件概率密度； 211（2）求条件概率密度fY|X(y|x)，特别，写出当X，X时Y的条件概

32率密度。

2122xy,xy1解 因为 f(x,y)4，

其它.0,2124x(1x),1x1fX(x)8

其它.0,75y2,0y1 fY(y)2

0,其它.2124xy,yxy,0y15（1） fX|Y(x|y)f(x,y) 7y2fY(y)20,其它323xy2,yxy,0y1 8。

0,其它特别地，Y1时X的条件概率密度 211232x,x,1 fX|Y(x|)22

20,其它212xy4,x2y1,1x1f(x,y)（2）fY|X(y|x) 21x2(1x4)fX(x)80,其它2y,x2y1,1x141x 0,其它 特别地，当X1时Y的条件概率密度 381y1,y1, fY|X(y|x)409，

其它0, 当X1时Y的条件概率密度 28y11,y1,fY|X(y|)154

2其它0,14 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)1,yx,0x1,0,其它.

求条件概率密度fY|X(y|x)。 解 （ⅰ） 当0x1时，fX(x)

f(x,y)dydy2x，

xx2x,0x1 fX(x)

0,其它当0x1时，于是对应的边缘概率密度为

1,yx,f(x,y)2x fY|X(y|x)

fX(x)0,y取其它值（ⅱ）当y1时，fY(y) fY(y)f(x,y)dydydx(1y)(1y)1y

yy111y,0x10,其它

当y1时，对应的边缘分布概率密度

1,0x1,f(x,y)fY|X(x|y)1yfY(y)x取其它值.0,

15设随机变量XU(0,1)，当给定Xx时，随机变量Y的条件概率密度为

1x,0y fY|X(y|x)x

0,其它求（1）X和Y的联合概率密度； （2）求边缘概率密度fY(y)； （3）求P{XY} 解 由乘法公式知

) f(x.yY|Xf(y|xX) f(x)又因为随机变量XU(0,1)，即

fX(x)1,0x1，所以

0,其它.x,0x1,0y1,f(x.y)fY|X(y|x)fX(x)

0,其它.（2） fY(y)1xdx,0y11,01113112(1y)dy(yy)0 022331

16 （1）问第1题中的两个随机变量X和Y是否相互。 （2）问第14题中的两个随机变量X和Y是否相互。 解 （1）第1题的两个随机变量为（放回抽样和不放回抽样）

0,若第一次取出的是正品，0,若第二次取出的是正品，X ，Y

1，若第一次取出的是次品。1，若第二次取出的是次品。对于放回抽样来说，由于样本空间的样本没有变化，所以第一次抽取的结果并不影响第

二次抽取的结果，所以两个随机变量X和Y是相互的。

对于不放回抽样来说，由于样本空间的样本发生了变化，所以第一次抽取的结果对第二次抽取的结果有影响，，所以两个随机变量X和Y不是相互的。

（2）因为两个边缘密度分别为

1y,yx1f(y)y1 当时， Y 0,其它. 当0x1时，fX(x)2x,yx0,其它.

fYy()x2y(1f)xy1， (而 fX(x)所以X和Y不是相互的。

17 （1）设随机变量(X,Y)具有分布函数

,)(1eax)y,x0,0y1 F(x,y)1eax,x0,y1，a0。

0，其它证明X和Y相互。

（2）设随机变量(X,Y)具有分布律

P{Xx,Yy}p(1p)问X和Y是否相互。

2xy2，0p1，x和y均为正整数。

(1eax)y,x0,0y1解 因为FX(x)F(x,)1eax,x0,y1（只有y1时才有y，

0，其它此时F(x,y)的表达式不含）；

y,x0,0y1x0,y1 FY(y)F(,y)1,0，其它)Yy()Fxy(，即,X和Y相互。 所以 FX(xF(2) 因为P{Xk,Yk}p(1p)

22(k1)，

P{Xk}p(1p)2y1yk2p(1p)2k1(1p)y1y1p2(1p)k1p(1p)k1， 1(1p)P{Yk}p(1p)2x1xk2p(1p)2k1(1p)x12x1p(1p)k1,

2(k1)所以 P{Xk,Yk}P{Xk}P{Yk}p(1p)具体地，其联合分布律（列表）如下： X Y 1 2 3 n 即X和Y相互。

1 2 3 „ n „ 22222n1 p p(1p) p(1p) „ p(1p) „ p2(1p) p2(1p)2 p2(1p)3 „ p2(1p)n „ p2(1p)2p2(1p)3 p2(1p)4 „ p2(1p)n1 „ „ „ „ „ „ „ p2(1p)n1p2(1p)np2(1p)n1 „ p2(1p)2(n1) „ „ „ „ „ „ „ P{X1}p2p2(1p)p2(1p)2p2(1p)n

p2p； p[1(1p)(1p)(1p)]1(1p)22nP{Y1}p2p2(1p)p2(1p)2p2(1p)n

p2 p[1(1p)(1p)(1p)]p

1(1p)22nP{X2}p2(1p)p2(1p)2p2(1p)3p2(1p)n1

p(1p)[1(1p)(1p)(1p)]p(1p)

223nP{Y2}p2(1p)p2(1p)2p2(1p)3p2(1p)n1

p(1p)[1(1p)(1p)(1p)]p(1p)

223nP{X3}p2(1p)2p2(1p)3p2(1p)4p2(1p)n2

p(1p)[1(1p)(1p)(1p)]p(1p)

2223n2P{Y3}p2(1p)2p2(1p)3p2(1p)4p2(1p)n2

p(1p)[1(1p)(1p)(1p)]p(1p) 一般地 2223n2Xk P{Xk} 1 2 3  k  p p(1p) p(1p)2  p(1p)k1  1 2 3  k  Yk P{Yk} p p(1p) p(1p)2  p(1p)k1  P{Xk,Yk}p2(1p)2(k1)P{Xk}P{Yk}

由此可知X和Y是相互的。 18

设X和Y是两个相互的，X在区间(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为

y12e,y0 fY(y)2，

0,y0（1）求X和Y的联合概率密度；

（2）设有a有二次方程a2XaY0，试求a有实根的概率。 解 （1）因为X在区间(0,1)上服从均匀分布，所以

2 fX(x)1,0x1

0,其它.又X和Y是两个相互的，故其联合分布概率密度为

y12e,0x1,y0f(x,y)fX(x)fY(y)2

0,其它.（2）方程a2XaY0有䙅的充分必要条件是4X4Y0，即YX2 P{YX}222dx0101x20y11y12edye2022x20dx(1e011x22)dx

dx2 12(101x2edx 21e2x221dx01e2x22dx)]

12((1)(0))]12(0.84130.5)。 12.50660.341310.85550.1445

19 进行打靶，设弹着点A(X,Y)的坐标X和Y相互，且都服从N(0,1)分布， 规定：点A落在区域D1{(x,y)|xy1}得2分；

点A落在区域D2{(x,y)|1xy4}得1分 点A落在区域D3{(x,y)|xy4}得0分；

以Z记打靶的得分，写出X，Y的联合概率密度，并求Z的分布律。

解 （1）因为X和Y相互，且都服从N(0,1)分布，所以X，Y的联合概率密

2222221x21y21xeee f(x,y)fX(x)fY(y)222 （2）以Z记打靶的得分，求Z的分布律

因为Z的取值为0，1，2 P{A}P{XY1}22222y22

f(x,y)dxdy4dxG011x2y201xe22y22dy

用极坐标计算：令xrcos,yrsin，则0r1，02，

ex2y22e2r22，dxdyrdrd，代入上式，得

P{XY1}2220dre01r22dr2012220er2210d

12 220er2210d2(e1)d220(1e)

1e12；

21x22P{1XY4}e2Gy221dxdy220dre12r22dr

121 2

20er2221121d(ee2)2220(ee2)

1x2222P{XY4}1P{XY4}1e2Gy22dxdy1220dre02r22dr1220(1e2)d

22 1(1e)e 即 z 0 1 2 e e212pk

e 1e 21220 设X和Y相互的随机变量，其概率密度分别为

ey,y0,ex,x0, fX(x)，fY(y)

0,y00,x0其中0，0是常数，引入随机变量

1,XY, Z

0,XY （1）求条件概率密度fX|Y(x|y)； （2）求Z的分布律和分布函数。

解 （1）X和Y相互的随机变量，所以

ex,x0f(x,y)fX(x)fY(y)fX(x) fX|Y(x|y)

fY(y)fY(y)x00,（2）X和Y相互的随机变量因为，所以其联合分布密度为

exey,x0,y0 f(x,y)fX(x)fY(y)

0.x0,y0 P{Z1}P{XY}Gf(x,y)dxdydyexexdx

00y  0yey(ex)0dyey(1ey)dy

00eyydye()ydyey00e()y0

1。

P{Z0}1P{Z1}1即



Z 0 1 p

  21 设随机变量的概率密度为

xy,0x1,0y1, f(x,y)

0,其它.分别求（1）Zxy，（2）Zxy的概率密度。 解 设所求的概率密度为fZ(z)，因为

xy,0x1,0y1,f(x,y)

0,其它.（1）ZXY fZ(z)f(x,zx)dx （ⅰ）

显然只有当f(x,zx)0时，fZ(z)0。而使f(x,zx)0的x与z的变化范围：当

0x10x1，即时，fZ(z)f(x,zx)dx中的被积函数不等于0 0zx1z1xz

fZ(z)z[x(zx)]dx,0z1,01f(x,zx)dx[x(zx)]dx,1z2z1 0,其它.即

fZ(z)z2,0z1,f(x,zx)dx2zz2,1z2,

0,其它.也可以用分布函数求fZ(z)

设ZXY的分布函数为FZ(z)，则 当z0时，FZ(z)0； 当0z1时，

FZ(z)P{Zz}P{XYz}

 (xy)dxdy 其中DD11{0x1,xyz,0z1}

10dyzy01(xy)dxz3

3当1z2时，因为f(x,y)只在矩形区域{0x1,0y1}上不等于0，故 FZ(z)P{Zz}1 1f(x,y)dxdy

D21z1dy11(xy)dxz2z3 zy331 其中D2{xyz,1z2}（位于矩形区域的右上的三角形区域） 当z2时，FZ(z)0

0,z01z2,0z13所以 FZ(z)

1z21z3,1z2,330,z2由此知 ZXY的概率密度为

z2,0z1 fZ(z)2zz2,1z2,。

0,其它.(2) ZXY

由教材P79之（5.8）知当ZXY时其概率密度为

fZ(z)1zf(x,)dx xx0x10x1 又仅当，即时，上述积分的被积函数不。由此可得 z0zx01x fz(z)1xzf(x,xz110(x)dx,0z1)d xxx其它.0,2(1z),0z1f(z) 即 z。 0,其它.

22设X和Y是相互的随机变量，其概率密度分别为

0x1ey,y01, fX(x) ，fY(y)

0,其它.0,其它.求随机变量ZXY的概率密度。

解 由卷积公式知ZXY的概率密度为 fZ(z)fX(x)fY(zx)dx

当0z1时，fZ(z)当z1时，fZ(z)z0ezxdxezx10z01ez；

10ezxdxezxez1ezez(e11)

当z0时，由fX(x)0知fZ(z)0。

1ez,0z1即 fZ(z)ez(e11),z1

0,其它.23某种商品一周的需求是一个随机变量，其概率密度为

tet,t0 f(t)

0,其它.设各周的量是相互的，求（1）两周，（2）三周的需求量的概率密度。 解 设第一周的需求量为X1，第二周的需求量为X2，则

x1ex1,x10x2ex2,x20 fX1(x1)，fX2(x2)。

0,x00,x012两周的需求量ZX1X2，

当z0时，fz(z)  z0fX1(x1)fX2(zx1)dx1

z0zx1ex1(zx1)e(zx1)dx1 x1(zx1)ezdx1

0z11z ez(zx1x12)dx1ez(zx12x13)00231313z3ze(zz)e

236zz3ze,z0 故 fz(z)6

0,z0. （2）设三周的需求量为wxz，则由（1）知当w0时

fW(w)fz(z)fX(wz)dz0ww0z3ze(wz)e(wz)dz 3!w0 w0z3(wz)w111edzew(wz4z5)3!3!45

w5w5w11515we e (ww)5!3!453!45w5we,w0 故 fW(w)5!。

0,w0. 24 设随机变量(X,Y)的概率密度为

1(xy),x0,y0(xy)e f(x,y)2

0,其它. （1）问X和Y是否相互？

（2）求ZXY的概率密度。 解 因为 fX(x) f(x,y)dy01(xy)e(xy)dy 21(xy)[(xy)e(xy)yedy] y0021x(xy)yx1x [xee]e y022 故X的概率密度为

x1xe,x0 fX(x)2

0,其它. 同理Y的概率密度为

y1ye,y0 fY(y)2

0,其它.)((x1yfYy()所以 fX(x)40,1)e(xy)x,0y,0不等于f(x,y)。

其它.即 X和Y不是相互的。 （2）由教材P76§3.5公式（5.1）知 fXY(z)f(zy,y)dy

而上述被积函数只有当 zy0yz，即 时才不等于0。所以

y0y0

z0zf(zy,y)dy,z0 f(zy,y)dy0其它.0,z1(zyy)dy,z00(zyy)e 2

0,其它.z1zzedy,z0 02

其它.0,12zze,z0 2。

0其它.25 设随机变量X，Y相互，且具有的分布，它们的概率密度均为

e1x,x1 f(x)

0,其它.求ZXY的概率密度。

解 因为X，Y相互独，所以f(x,y)fX(x)fY(y)，由卷积公式得 fz(z)fX(x)fY(zx)dx

e1y,y1e1x,x1 而fX(x)，fY(y)

0,其它.0,其它.仅当x1x1，即时，上述卷积不为0

zx1xz1z11x1z(xdx,)x1z,21ee 于是 fZ(z)

0,其它.z12z2z1edx,,z2e(z1),z2 。

其它.0,其它.0,26 设随机变量X，Y是相互的，它们的概率密度均为

ex,x0f(x)

0,其它. 求ZY的概率密度。 XY的概率密度为 X解 由教材P79公式（5.7）知Z fYX(z)|x|f(x,xz)dx

ex,x0ey,y0而fX(x)，fY(x)

0,其它.0,其它.y)fXx(fY)y所以( f(x,fYX(z)|x|fX(x),fY(xz)dx

又仅当x0x0，即时，上述积分不等于0，

z0xz0于是当z0时有 fz(z)0) xexexzdxxex(z1dx0  xx(z1)ezxx01x(z1)edx 0z1xx011z(x1)ez1z11

(z1)21,z02于是 fz(z)(z1)。

0,z027 设随机变量X和Y相互，它们都在区间(0,1)服从均匀分布。A是以X和Y为边长的矩形的面积，求A的分布概率密度。

解 由于面积A是随机变量X和Y的乘积，即AXY，所以A也是随机变量。问题实际上就是要求在X和Y的边缘分布概率密度时ZXY的概率密度。

因为 fX(x)0x11,1,0y1，fY(x)

0,其它.0,其它.由于随机变量X和Y相互，所以 fZ(z)1zfx(f)( )|x|XYxdx0x10x1又只有当，即时上述积分才不等于0。 z0zx01x 0Z1时 fZ(z)于是 fZ(z)11zxdxlnxzlnz

1lnz,0z1。

0,其它.228 设随机变量X和Y相互，它们都服从正态分布N(0,)，试验证随机变量

ZX2Y2具有概率密度（称为服从参数为的瑞利（Rayleigh）分布）

zz2e2,z0 fZ(z)2

0,其它.解 由于随机变量X和Y同分布，有 fZ(z)fX(x)fY(y)x222y22221e2

1e2

122e(x2y2)22当z0时，P{Zz}是不可能事件，FZ(z)P{Zz}0，fZ(z)0；

22当z0时，FZ(z)P{Zz}P{XYz}

P{XYz} 222GGf(x,y)dxdy，其中G:{x2y2z2,z0}。

1(x2y2)22 21102edxdy

r222 dzr2z22220edr

10(1e)d

z222 (1ez2)0

1e22

所以 当z0时，fZ(z)FZ(Z)22ze22z222

zz22e2,z0 fZ(z)

0,其它.即随机变量ZX2Y2服从参数为的瑞利（Rayleigh）分布。

29 设随机变量(X,Y)的概率密度为

be(xy),0x1,0y f(x,y)

0,其它. （1）试确定常数b；

（2）求边缘概率密度fX(x)，fY(y) （3）求函数Umax{X,Y}的分布函数。 解 （1）确定常数b

因为 1dxf(x,y)bdydxe(xy)dy

00yy01 bexey10dxbexdx

01 be 所以 b

x10b(1e1)

1e 11ee1 （2）求边缘概率密度fX(x)，fY(y)

1(xy)e,0x1,0y 因为f(x,y)1e1

0,其它. 所以 fX(x)  同理

f(x,y)dy1(xy)edy 101e1[e(xy)]yy0 11e1x ，0x1。 e11e11(xy)fY(y)f(x,y)dxedx 101e11 [e(xy)]xx0 （y0） 11e1 [eye(1y)] 11e1y1y 。 e(1e)e11eex,0x1即 fX(x)1e1；

0,其它ey,y0 fY(y)。

0,其它 （3）求函数Umax{X,Y}的分布函数

由于f(x,y)fX(x)fY(y)，故X与Y相互。

FX(x)0,x0,x0,0,xtxe1efX(x)dxdt,0x1,0x1。 101e11e1,x1x11, FY(y)于是

0,y0,0,y0,0,y0,。 fY(y)dyyttyy1e,y0edt,y0e0,y00 FU(u)P{Uu}P{Xu,Yu} P{Xu}P{Yu} FX(u)FY(u)

u00,u2(1e) ,0u1。 11eu1e,u130 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,20)分布，随机地抽取4只，求其中没有只寿命小于180的概率。

解 随机地取4只，其寿命记作X1，X2，X3，X4，由题设知，它们是同分布的，且

2XiN(160,202)，i1,2,3,4。

记Xmin{X1,X2,X3,X4}，事件“随机地抽取4只没有只寿命小于180”即

{X180}

P{X180}1PX{

4 [1F(180)] （由教材P81公式（5.14）） [1(1801604)] 2044 [1(1)](0.1587)0.000634

31 对某种电子装置的输出测量了5次，得到的结果为X1，X2，X3，X4，X5，设它们是相互的随机变量且都服从参数为2的瑞利分布， （1）求Zmax{X1,X2,X3,X4,X5}的分布函数； （2）求P{Z4}；

解 （1） 因为X1，X2，X3，X4，X5是相互且都服从参数为2的瑞利分布 即

xxe8,x0 fXi(x)4

0,其它.xxx28edx,x01e8,x0 所以 FXi(x)04 0,其它.0,其它 FZP{Zz}P{X1z}P{X2z}P{X3z}P{X4z}P{X5z}

z85 (1e),z0

0,其它.222 （2） P{Z4}1P{Z4}1F(4)1(1e 1(1e)0.5166

（注：e2254285)

。 0.1353，1e20.87，(1e2)0.4834）

32 设随机变量X和Y相互且服从同一分布，试证明：

P{amin(X,Y)b}[P{Xa}][P{Xb}]，（ab）。 证明 P{amin(X,Y)b}1P{min(X,Y)b}P{min(X,Y)a} 1P{Xb,Yb}[1P{min(X,Y)a}] P{Xa,Ya}P{Xb,Yb}

P{Xa}P{Ya}P{Xb}P{Yb}（X和Y相互） [P{Xa}][P{Xb}] （X和Y同分布）

2222 33 设随机变量X和Y相互，其分布律为 P{Xk}p(k),k0,1,2, P{Yr}q(r),r0,1,2,

证明随机变量ZXY的分布律为 P{Zi}p(k)q(ik),i0,1,2,

k0i证明 因为随机变量X和Y相互，则 P{Xk,Yr}p(k)q(r)，

所以P{Zi}P{Xk,Yik}

k0ii P{Xk}P{Yik}

k0i p(k)q(ik)，i0,1,2,。

k034 设X和Y相互的随机变量，X(1)，Y(2)，证明

ZXY(12)

证明 因为X和Y相互的随机变量，故P{Xk,Yr}P{Xk}P{Yr}

所以 P{ZXYi}P{Xk}P{Yik}

k02i k0i1ke2ike1i!1k2ike12 k!(ik)!k0i!k!(ik)!ie12 i!Ck0ikki12ik （Cik1k2ik是牛顿二项式的一般项。）

(12)i12e ，i0,1,2, i!即ZXY(12)（服从参数为12的泊松分布。）

35 设Xb(n1,p)Yb(n2,p)，证明

ZXY(n1n2,p)

证明 因为X和Y相互的随机变量，且 P{Xk}Cn1pqikkn1k，P{Yr}Cn2pqrrn2r，则

P{ZXYi}P{Xk}P{Yik}

k0kkn1kikikn2ik CpqCqn1n2pk0i  Cn1n2pq即ZXY(n1n2,p)。

36设随机变量(X,Y)的分布律

iin1n2i。

X 0 1 Y 0 0.00 0.01 1 0.01 0.02 2 0.01 0.03 3 0.01 0.02 2 3 4 5 0.01 0.04 0.05 0.04 0.05 0.05 0.05 0.06 0.07 0.06 0.05 0.06 0.09 0.08 0.06 0.05 （1） 求P{X2|Y2}，P{Y3|X0}； （2） 求Vmax(X,Y)的分布律； （3） 求Umin(X,Y)的分布律； （4） 求WXY的分布律。

解 由所给分布律可得对应的边缘分布律： X Y 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 0.00 0.01 0.01 0.01 0.01 0.02 0.03 0.02 0.03 0.04 0.05 0.04 0.05 0.05 0.05 0.06 0.07 0.06 0.05 0.06 0.09 0.08 0.06 0.05 P{Yj} 0.25 0.26 0.25 0.24 P{Xi} 0.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.28 （1）P{X2|Y2}P{X2,Y2}0.051

P{Y2}0.255P{Y3|X0}P{X0,Y3}0.011。

P{X0}0.033（2）P{Vi}P{max(X,Y)i}

P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}

由此得

P{Xi,Yk}P{Xk,Yi}

k1k1ii1i0,1,2,3,4,5

P{V0}P{X P{V1}P{X0Y,0Y, 0}0}PX{Y0,1P}X {Y 0.00.010.010.03； P{V2}P{X0Y,2}PX{Y1, 2P}X{Y P{X2,Y1}P{X2,Y2} 0.010.030.030.040.050.16

P{V3}P{X0,Y3}P{X1,Y3}P{X2,Y3}

P{X3,Y0}P{X3,Y2}P{X3,Y3}

0.010.020.040.050.050.050.060.28

P{V4}P{X4,Y0}P{X4,Y1}P{X4,Y3} 0.070.060.050.060.24

P{V5}P{X5,Y0}P{X5,Y1}P{X5,Y3} 0.090.080.060.050.29 Vmax(X,Y) 0 1 2 3 4 5 p 0 0.03 0.16 0.28 0.24 0.29 （3）

P{U}iP{minX(Y, i P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}



P{Xi,Yk}P{Xk,Yi}

k1k135i0,1,2,3

P{U0}P{X0,Y0}P{X0,Y1}P{X0,Y2}P{X0,Y3}

P{X1,Y0}P{X2,Y0}P{X3,Y0} P{X4,Y0}P{X5,Y0}

0.000.010.010.010.010.030.050.070.090.28

P{U1}P{X1,Y1}P{X1,Y2}P{X1,Y3}

P{X1,Y1}P{X2,Y1}P{X3,Y1} P{X4,Y1}P{X5,Y1}0.02|0.030.020.040.050.060.080.30

P{U2}P{X2,Y2}P{X2,Y3}P{X3,Y2}P{X4,Y2}P{X5,Y2} 0.05

0.040.050.0 6P{U3}P{X3,Y3}P{X3,Y2}P{X4,Y3}P{X5,Y3}

0.60.60.050.17 即

Umin(X,Y) 0 1 2 3 0.28 0.30 0.25 0.17 p （3）求WXY的分布律 因为P{WXYk}P{Xi,Yki}，所以

i0k P{W0}P{X0,Y0}0

P{W1}P{X0,Y1}P{X1,Y0}0.02 P{W2}P{X0Y,2}PX{Y1,1P}X{ ,Y2P{W3}P{X0,Y3}P{X1,Y2}

P{X2,Y1}P{X3,Y0}0.13

P{W4}P{X1,Y3}P{X2,Y2}

P{X3,Y1}P{X4,Y0}0.19

P{W5}P{X2,Y3}P{X3,Y2}

P{X4,Y1}P{X5,Y0}0.24 P{W6}P{X P{W7}P{X P{W8}P{X即

3Y,4Y,5Y,3}PX{3}PX{ 3}Y4,Y5, 92P}X{Y0.1 WXY 0 1 2 3 4 5 6 7 8

p 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05

注2012年2月2日晚23：05分完成本章全部习题解答。