考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷69 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设ε为f(x)=arctanx在[0,a]上使用微分中值定理的中值，则为（ ）。 A．1 B．1/2 C．1/3 D．1/4
正确答案：C
解析： 知识模块：一元函数微分学
2． 设f(x)在x=a处的左右导数都存在，则f(x)在x=a处（ ）。 A．一定可导 B．一定不可导 C．不一定连续 D．连续
正确答案：D
解析：因为f(x)在x=a处右可导，所以存在，于是，即f(x)在x=a处右连续，同理由f(x)在x=a处左可导，得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，由于左右导数不一定相等，选D. 知识模块：一元函数微分学
3． 设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)=4,f’(2)=,f’(4)=6,则g’(4)等于（ ）.
A．1/4 B． C．1/6 D．4
正确答案：B
解析：因为g’(4)=,所以选B。 知识模块：一元函数微分学
4． 函数f(x)在x=1处可导的充分必要条件是（ ）. A．存在 B．存在 C．存在 D．存在
正确答案：D
解析： 知识模块：一元函数微分学
5． 设f(x)二阶连续可导，,则（ ）。 A．f(2)是f(x)的极小值 B．f(2)是f(x)的极大值 C．（2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点 D．f(2)不是函数f(x)的极值，（2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点
正确答案：A
解析： 知识模块：一元函数微分学
6． 下列说法正确的是（ ）。
A．设f(x)在x0二阶可导，则f”(x)在x=x0处连续 B．f(x)在[a,b]上的最大值一定是其极大值 C．f(x)在[a,b]上的极大值一定是其最大值
D．若f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f(x)在（a,b）内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点
正确答案：D
解析：不存在，所以A不对；若最大值在端点取到，则不是极大值，所以B也不对，C显然不对，所以选D. 知识模块：一元函数微分学
7． 设函数f(x)在（-∞，+∞）内连续，其导数的图形如图所示，则f(x)有（ ）。
A．两个极大值点，两个极小值点，一个拐点 B．两个极大值点，两个极小值点，两个拐点 C．三个极大值点，两个极小值点，两个拐点 D．两个极大值点，三个极小值点，两个拐点
正确答案：C
解析：设当x＜0时，f’(x)与x轴的两个交点为（x1,0)（x2,0),其中x1＜x2；当x＞0时，f’(x)与x轴的两个交点为（x3,0)（x4,0)，其中x3＜x4.当x＜x1时，f’(x)＞0,当x∈(x1,x2)时，f’(x)＜0,则x=x1为f(x)的极大点值；当x∈(x2,0)时，f’(x)＞0,则x=x2为f(x)的极小值点；当x∈(0,x3)时，f’(x)＜0,则x=0为f(x)的极大值点；当x∈(x3,x4)时，f’(x)＞0,则x=x3为f(x)的极小值点；当x＞x4时，f’(x)＜0,则x=x4为f(x)的极大值点，即f(x)有三个极大值点，两个极小值点，又f”(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性，可得y=f(x)有两个拐点，选C. 知识模块：一元函数微分学
填空题
8． 设两曲线y=x2+ax+b与-2y=-1+xy3在点（-1,1）处相切，则a=_____,b=_____.
正确答案：a=3,b=3
解析：因为两曲线过点（-1,1），所以b-a=0,又由y=x2+ax+b得=a-2,再由-2y=-1+xy3得,且两曲线在点（-1,1）处相切，则a-2=1,解得a=b=3. 知识模块：一元函数微分学
9． 设f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1,f”(0)=2且f”(x)在x=0的邻域内连续，则=_________.
正确答案：1
解析：因为f(x)是偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0,又因为f”(x)在x=0的邻域内连续，所以f(x)=f(0)+f’(0)x+x2+o(x2)=1+x2+o(x2),于是. 知识模块：一元函数微分学
10． 设=_______.
正确答案：0
解析：当x=0时，t=0；当t=0时，由y+ey=1,得y=0. 知识模块：一元函数微分学
11． 设确定函数y=y(x),则=_______.
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数微分学
12． 设f(x)在（-∞，+∞）上可导，,则a=_______.
正确答案：1
解析： 知识模块：一元函数微分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13． 设f(x)连续，Φ（x)=.求Φ’（x),并讨论Φ’(x)在x=0处的连续性。
正确答案： 涉及知识点：一元函数微分学
14． 设且f”(0)存在，求a,b,c。
正确答案：因为f(x)在x=0处连续，所以c=0，即f(x)= 涉及知识点：一元函数微分学
15． 设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2）内二阶可导，且,又f(2)=,证明：存在ε∈（0,2），使得f’(ε)+f”(ε)=0.
正确答案：由罗尔定理，存在x0∈(c,2)(1,2),使得f’（x0）=0.令Φ（x)=exf’(x),
则Φ（1）=Φ（x0)=0,由罗尔定理，存在ε∈（1，x0)(0,2),使得Φ’(ε)=0,而Φ’(x)=ex[f’(x)+f”(x)]且ex≠0,所以f’(ε)+f”(ε)=0. 涉及知识点：一元函数微分学
16． 一质点从时间t=0开始直线运动，移动了单位距离适用了单位时间，且初速度和末速度都为零。证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4.
正确答案：设运动规律为S=S(t),显然S(0)=0，S’(0)=0，S（1）=1，S’(1)=0.由泰勒公式 涉及知识点：一元函数微分学
设f(x)在[0,1]上二阶可导，且|f(x)|≤a,|f”(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c为（0,1）内任一点。
17． 写出f(x)在x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式。
正确答案：f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+,其中ε介于c与x之间。 涉及知识点：一元函数微分学
18． 证明：|f’(c)|≤.
正确答案：分别令x=0,x=1得 涉及知识点：一元函数微分学
19． 设f（x)在[a,b]上连续，在（a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0,且.证明：存在ε∈（a,b)，使得f”(ε)﹤0.
正确答案：因为，所以存在δ＞0，当0＜x-a＜δ时，有,从而f(x)＞f(a),于是存在c∈(a,b),使得f(c)＞f(a)=0.由微分中值定理，存在ε1∈(a,c),ε2∈(c,b),使
得再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ε∈（ε1，ε2）(a,b)，使得 涉及知识点：一元函数微分学
20． 设f(x)在[0,+∞)内可导且f(0)=1,f’(x)﹤f(x)(x﹥0).证明：f(x)﹤ex(x﹥0).
正确答案：令Φ(x)=e-xf(x),则Φ（x)在[0,+∞)内可导，又Φ（0）=1，Φ’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]＜0(x＞0),所以当x＞0时，Φ（x)＜Φ(0)=1,所以有f(x)＜ex(x＞0). 涉及知识点：一元函数微分学
21． 设0﹤a﹤b，证明：. 正确答案：所以令f(x)=(x2+a2)(lnx-lna)-2a(x-a),f(a)=0f’(x)=2x(lnx-lna)+x+-2a=2x(lnx-lna)+＞0(x＞a).由得f(x)＞0(x＞a)，因为b＞a,所以f(b)＞f(a)=0,即. 涉及知识点：一元函数微分学
22． 设f（x)在[0,+∞)内二阶可导，f(0)=-2,f’(0)=1,f”(x)≥0.证明：f(x)=0在（0，+∞）内有且仅有一个根.
正确答案：因为f”(x)≥0,所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f’(x)≥f’(0)=1.因为x＞0时，f(x)-f(0)=f’(ε)x,从而f(x)≥f(0)+x,因为,所以.由f(x)在[0,+∞)上连续且f(0)=-2＜0,,则f(x)=0在（0，+∞）内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0,得到方程的根是唯一的。 涉及知识点：一元函数微分学
23． 设a﹥0,讨论方程aex=x2根的个数。
正确答案：aex=x2等价于x2e-x-a=0.令f(x)=x2e-x-a,由f’(x)=(2x-x2)e-x=0得x=0,x=2.当x＜0时，f’(x)＜0；当0＜x＜2时，f’（x)＞0；当x＞2时，f’(x)＜0,
于是x=0为极小值点，极小值为f(0)=-a＜0；x=2为极大值点，极大值为f(2)= 涉及知识点：一元函数微分学
24． 设f(x)二阶连续可导且f(0)=f’(0)=0,f”(x)﹥0,过曲线y=f(x)上任一点（x,f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求.
正确答案：曲线y=f(x)在点（x,f(x))处的切线方程为Y-f（x)=f’(x)(X-x), 涉及知识点：一元函数微分学
25． 设函数y=f(x)二阶可导，f’(x)≠0,且与x=Φ(y)互为反函数，求Φ”(y).
正确答案：因为函数的一阶导数与其反函数一阶导数互为倒数，所以 涉及知识点：一元函数微分学
设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,.证明：
26． 存在c∈(a,b),使得f(c)=0.
正确答案：令,则F(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且F’（x)=f(x),故存在c∈(a,b),使得=F(b)-F(a)=F’(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0,即f(c)=0. 涉及知识点：一元函数微分学
27． 存在εi∈(a,b)（i=1,2），且ε1≠ε2,使得f’(εi)+f(εi)=0,(i=1,2).
正确答案：令h(x)=exf(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理，存在ε1∈(a,c),ε2∈(c,b),使得h’(ε1)=h’(ε2)=0,而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0,所以f’(εi)+f(εi)=0(i=1,2). 涉及知识点：一元函数微分学
28． 存在ε∈(a,b),使得f”(ε)=f(ε).
正确答案：令Φ（x)=e-x[f’(x)+f(x)],Φ(ε1)=Φ(ε2)=0,由罗尔定理，存在ε∈(ε1，ε2)(a,b),使得Φ’(ε)=0,而Φ’（x）=e-x[f”(x)-f(x)]且e-x≠0,所以f”(ε)=f(ε). 涉及知识点：一元函数微分学
29． 存在η∈（a,b)，使得f”(η)-3f’(η)+2f(η)=0.
正确答案：令g(x)=e-xf(x),g(a)=g(c)=g(b)=0,由罗尔定理，存在η1∈(a,c),η2∈(c,b),使得g’(η1)=g’(η2)=0,而g’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]且e-x≠0,所以f’(η1)-f(η1)=0,f’(η2)-f(η2)=0,令Φ（x)=e-2x[f’(x)-f(x)],Φ(η1)=Φ(η2)=0,由罗尔定理，存在η∈（η1，η2）(a,b),使得Φ’(η)=0,而Φ’(x)=e-2x[f”(x)-3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0,所以f”(η)-3f’(η)+2f(η)=0. 涉及知识点：一元函数微分学
30． 求的最大项。
正确答案： 涉及知识点：一元函数微分学
