2016-2017学年上海市松江区高一（下）期末数学试卷
一、填空题：本大题共12小题，共54分） 1．（4分）方程9x﹣4•3x+3=0的解为 ．
2．（4分）已知一扇形的半径为5，弧长为2π，则该扇形的圆心角大小为 ． 3．（4分）若角α的终边经过点P（﹣2，1），则sin（α+
）= ．
4．（4分）若tanα、tanβ分别是方程x2+x﹣2=0的两个根，则tan（α+β）= ． 5．（4分）三角形的三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角是 ． 6．（4分）函数y=loga（x+2）+2的图象过定点 ． 7．（5分）函数f（x）=sinxcosx﹣
cos2x的单调递减区间为 ．
8．（5分）若数列{an}的前n项和为Sn=n2﹣3n+1（a∈N*），则该数列的通项公式为an= ．
9．（5分）函数f（x）=sinx﹣lgx的零点的个数是 ．
10．（5分）不等式cos2x﹣4sinx﹣a＜0有解，则实数a的取值范围是 ． 11．（5分）设f﹣1（x）为f（x）=+f﹣1（x）的值域为 ． 12．（5分）给出下列四个命题： ①在△ABC中，若C＞
，则sinA＜cosB；
cosx﹣sinx的图象上存在一点P，使得|PA|=1； sinx，x∈[﹣
，
]的反函数，则y=f（x）
②已知点A（0，3），则函数y=
③函数y=cos2x+2bcosx+c是周期函数，且周期与b有关，与c无关； ④设方程x+sinx=
的解是x1，方程x+arcsinx=
的解是x2，则x1+x2=π．
其中真命题的序号是 ．（把你认为是真命题的序号都填上）
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）将函数y=cos2x的图象向左平移A．y=cos（2x+﹣
个单位，所得的函数为（ ）
）
D．y=cos（2x
） B．y=cos（2x+） C．y=cos（2x﹣
）
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14．（5分）若等差数列{an}和{bn}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（ ）
A．{λan}（λ为常数） B．{an+bn} C．{an2﹣bn2} D．{{an•bn}} 15．（5分）如图，函数y=|tanx|cosx（x∈[0，
）∪（
，π]）的图象是（ ）
A． B． C．
D．
16．（5分）以圆形摩天轮的轴心O为原点，水平方向为x轴，在摩天轮所在的平面建立直角坐标系，设摩天轮的半径为20米，把摩天轮上的一个吊篮看作一个点P0，起始时点P0在﹣其角速度为
的终边上，OP0绕O按逆时针方向作匀速旋转运动，
（弧度/分），经过t分钟后，OP0到达OP，记P点的横坐标为m，
则m关于时间t的函数图象为 （ ）
A． B． C．
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D．
三、解答题：本大题共5题，共76分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．（14分）已知函数f（x）=log2（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当x为何值时，等式f（x）+log2（x﹣4）=1成立？ 18．（14分）已知函数f（x）=2sin（x﹣（1）用五点法作出函数y=f（x）在区间[连线）；
（2）若sinα=值
，α∈（
，π），求f（α+
）+sec2α﹣tanα的
．
）． ，
]上的大致图象（列表、描点、
．
19．（14分）如图，某广场中间有一块绿地OAB，扇形OAB所在圆的圆心为O，半径为r，∠AOB=
，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路；在AB上选一点
C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设所修建的小路CD与CE的总长为s，∠COD=θ．
（1）试将s表示成θ的函数s=f（θ）；
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（2）当θ取何值时，s取最大值？求出s的最大值．
20．（16分）数列{an}中，a1=，an+1=（1）求数列{bn}中前四项； （2）求证：数列{bn}是等差数列； （3）若cn=（an+2）（最小项．
（n∈N*），数列{bn}满足bn=．
）n，试判断数列{cn}是否有最小值，若有最小项，求出
21．（18分）若函数f（x）满足f（x）=f（x+∈R），则称函数f（x）为“M函数”．
）且f（+x）=f（﹣x）（x
（1）试判断f（x）=sinx是否为“M函数”，并说明理由； （2）函数f（x）为“M函数”，且当x∈[解析式，并写出在[0，
，π]时，f（x）=sinx，求y=f（x）的
]上的单调递增区间；
，
+π]（k∈N）时，关于x的方程f（x）
（3）在（2）条件下，当x∈[﹣
=a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S（k），求S（k）．
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2016-2017学年上海市松江区高一（下）期末数学试卷
参与试题解析
一、填空题：本大题共12小题，共54分）
1．（4分）方程9x﹣4•3x+3=0的解为 x=1，x=0 ．
【解答】解：设3x=t，则原方程为t2﹣4t+3=0，解得t=3或t=1， 所以3x=3或3x=1； 解得x=1或x=0； 故答案为：x=1，x=0．
2．（4分）已知一扇形的半径为5，弧长为2π，则该扇形的圆心角大小为 【解答】解：扇形的半径为5，弧长为2π， 设扇形的圆心角为α， 可得2π=5α， 解得α=故答案为：
3．（4分）若角α的终边经过点P（﹣2，1），则sin（α+
）= ﹣
．
，
．
．
．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣2，1），∴x=﹣2，y=1，r=|OP|=则sin（α+
）=cosα=
．
=﹣
，
故答案为：﹣
4．（4分）若tanα、tanβ分别是方程x2+x﹣2=0的两个根，则tan（α+β）= ﹣ ． 【解答】解：∵tanα、tanβ分别是方程x2+x﹣2=0的两个根， ∴tanα+tanβ=﹣1，tanα•tanβ=﹣2， 则tan（α+β）=
=﹣，
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故答案为：﹣．
5．（4分）三角形的三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角是 120° ． 【解答】解：根据题意设三角形三边分别为3x，5x，7x，且7x所对的角为α， ∴cosα=
∵α为三角形内角， ∴三角形最大内角α=120°． 故答案为：120°
6．（4分）函数y=loga（x+2）+2的图象过定点 （﹣1，2） ． 【解答】解：令x+2=1，解得：x=﹣1， 此时y=2，
故函数过（﹣1，2）， 故答案为：（﹣1，2）．
7．（5分）函数（fx）=sinxcosx﹣（k∈Z） ．
【解答】解：y=sinxcosx﹣=sin（2x﹣由得
≤x≤）﹣
=﹣，
cos2x的单调递减区间为 [+kπ，+kπ]，
cos2x=
，k∈Z， ，k∈Z． +kπ，
+kπ]，（k∈Z），
∴该函数的减区间为：[故答案为：[
+kπ，
+kπ]，（k∈Z），
8．（5分）若数列{an}的前n项和为Sn=n2﹣3n+1（a∈N*），则该数列的通项公式为an=
．
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【解答】解：∵Sn=n2﹣3n+1， 当n=1时，a1=S1=1﹣3+1=﹣1，
∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣3n+1﹣[（n﹣1）2﹣3（n﹣1）+1]=2n﹣4（n≥2）， ∵当n=1时，a1=﹣1≠2， ∴an=
，
故答案为：
9．（5分）函数f（x）=sinx﹣lgx的零点的个数是 3 ．
【解答】解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数． 在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lgx的图象， 由图得交点3个
故函数f（x）=sinx﹣lgx的零点的个数是3． 故答案为 3．
10．（5分）不等式cos2x﹣4sinx﹣a＜0有解，则实数a的取值范围是 （﹣5，+∞） ．
【解答】解：不等式cos2x﹣4sinx﹣a＜0有解，等价于存在实数x，使得关于x的不等式a＞cos2x﹣4sinx成立，
故只需a大于cos2x﹣4sinx的最小值即可，
令y=cos2x﹣4sinx=﹣2sin2x﹣4sinx+1=﹣2（sinx+1）2+3， 由二次函数可知当sinx=1时，y取最小值﹣5， ∴a的取值范围为：（﹣5，+∞），
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故答案为：（﹣5，+∞）．
11．（5分）设f﹣1（x）为f（x）=+f﹣1（x）的值域为 【解答】解：∵f（x）=∴f（x）的值域为[﹣
sinx，x∈[﹣ ． 在[﹣
]上为增函数，
]，
，
]的反函数，则y=f（x）
]，则其反函数的定义域为[﹣
]，
∴y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为[﹣又y=f﹣1（x）的单调性相同， 可得y=f（x）+f﹣1（x）在[﹣∴当x=﹣当x=
时函数有最小值为
]上为增函数．
；
． ]．
时函数有最大值为
∴y=f（x）+f﹣1（x）的值域为[故答案为：[
12．（5分）给出下列四个命题： ①在△ABC中，若C＞
]．
，则sinA＜cosB；
cosx﹣sinx的图象上存在一点P，使得|PA|=1；
②已知点A（0，3），则函数y=
③函数y=cos2x+2bcosx+c是周期函数，且周期与b有关，与c无关； ④设方程x+sinx=
的解是x1，方程x+arcsinx=
的解是x2，则x1+x2=π．
其中真命题的序号是 ①③ ．（把你认为是真命题的序号都填上） 【解答】解：①在△ABC中，若C＞以sinA＜sin（
，则A+B＜
，即A＜
﹣B
，所
﹣B，）sinA＜cosB；故①正确；
cosx﹣sinx=2cos（x+
）∈[﹣2，2]，所以它
②已知点A（0，3），则函数y=
的图象上不存在一点P，使得|PA|=1；故②错误；
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③函数y=cos2x+2bcosx+c是周期函数，且周期与b有关，与c无关；正确 ④设方程x+sinx=则x+arcsinx=
的解是x1，方程x+arcsinx=
，
则t，x1是方程x+sinx=
的两根，
的解是x2，设arcsinx2=t，则sint=x2，
变形为sint+t=
，t+sint=
观察得到x1+sinx1=
又因为，sint=x2，故x1，x2是方程的两根，故x1+x2=故答案为：①③
．故④错误；
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）将函数y=cos2x的图象向左平移A．y=cos（2x+﹣
）
个单位，所得的函数为
） B．y=cos（2x+
个单位，所得的函数为（ ）
）
D．y=cos（2x
） C．y=cos（2x﹣
【解答】解：由已知将函数y=cos2x的图象向左平移y=cos2（x+故选：A．
）=cos（2x+
）；
14．（5分）若等差数列{an}和{bn}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（ ）
A．{λan}（λ为常数） B．{an+bn} C．{an2﹣bn2} D．{{an•bn}} 【解答】解：等差数列{an}和{bn}的公差均为d（d≠0），
对于A，由λan+1﹣λan=λ（an+1﹣an）=λd为常数，则该数列为等差数列； 对于B，由an+1+bn+1﹣an﹣bn=（an+1﹣an）+（bn+1﹣bn）=2d为常数，则该数列为等差数列；
对于C，由an+12﹣bn+12﹣（an2﹣bn2）=（an+1﹣an）（an+1+an）﹣（bn+1﹣bn）（bn+1+bn） =d（2a1+（2n﹣1）d）﹣d（2b1+（2n﹣1）d）=2d（a1﹣b1）为常数，则该数列为等差数列；
对于D，由an+1bn+1﹣anbn=（an+d）（bn+d）﹣anbn=d2+d（an+bn）不为常数，则该
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数列不为等差数列． 故选：D．
15．（5分）如图，函数y=|tanx|cosx（x∈[0，
）∪（
，π]）的图象是（ ）
A． B． C．
D．
【解答】解：当x∈[0，当x∈（故选：B．
）时，y=tanxcosx=sinx，
，π]时，y=﹣tanxcosx=﹣sinx，
16．（5分）以圆形摩天轮的轴心O为原点，水平方向为x轴，在摩天轮所在的平面建立直角坐标系，设摩天轮的半径为20米，把摩天轮上的一个吊篮看作一个点P0，起始时点P0在﹣其角速度为
的终边上，OP0绕O按逆时针方向作匀速旋转运动，
（弧度/分），经过t分钟后，OP0到达OP，记P点的横坐标为m，
则m关于时间t的函数图象为 （ ）
A． B． C
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．
D．
【解答】解：根据题意可得，振幅A=20，角速度ω=横坐标m=20cos（故当t=0时，m=10结合所给的选项， 故选：B．
t﹣
），
，初相φ=﹣，点P的
，当t=时，m=20，为m的最大值，
三、解答题：本大题共5题，共76分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．（14分）已知函数f（x）=log2（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当x为何值时，等式f（x）+log2（x﹣4）=1成立？ 【解答】解：（1）由题意得：即（x﹣3）（x+2）＞0， 解得：x＞3或x＜﹣2，
故函数的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）； （2）f（x）+log2（x﹣4）=1， 即log2
+log2（x﹣4）=1，
＞0，
．
即，
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解得：x=8．
18．（14分）已知函数f（x）=2sin（x﹣（1）用五点法作出函数y=f（x）在区间[连线）；
（2）若sinα=值
，α∈（
，π），求f（α+
）+sec2α﹣tanα的
．
）． ，
]上的大致图象（列表、描点、
【解答】解：（1）将x﹣的取值，
x的取值及f（x）的取值情况列表如下：
0 x﹣ x y 作图如下：
0
π
2π
2
0
﹣2
0
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（2）sinα=，α∈（所以f（α+
，π），所以cosα=﹣
+
， =
．
）+sec2α﹣tanα=2sinα+
19．（14分）如图，某广场中间有一块绿地OAB，扇形OAB所在圆的圆心为O，半径为r，∠AOB=
，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路；在AB上选一点
C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设所修建的小路CD与CE的总长为s，∠COD=θ．
（1）试将s表示成θ的函数s=f（θ）；
（2）当θ取何值时，s取最大值？求出s的最大值．
【解答】解：（1）由扇形的半径为r，在△ODC 中，∠AOB=由正弦定理得∴CD=
rsinθ，同理CE=
rsinθ+
rsin（rsinθ+
，则∠CDO=，
，
，
﹣θ），θ∈（0，
rsin（
）； ﹣θ）=
rsinθ
∴s=f（θ）=
（2）∵s=
=
∵θ∈（0，∴∴当
+θ∈（+θ=
）， ，，即θ=
），
时，smax=f（
，θ∈（0，），
）=r．
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20．（16分）数列{an}中，a1=，an+1=（1）求数列{bn}中前四项； （2）求证：数列{bn}是等差数列； （3）若cn=（an+2）（最小项．
【解答】解：（1）an+1=bn=
，
=﹣，
（n∈N*），
（n∈N*），数列{bn}满足bn=．
）n，试判断数列{cn}是否有最小值，若有最小项，求出
a1=，可得b1=a2=2﹣3=﹣1， b2=
=﹣，
a3=2﹣（﹣1）=3， b3=
=，
a4=2﹣=， b4=
=；
（n∈N*），
（2）证明：an+1=当n≥2，n∈N*， bn==1+
=
=
=1+bn﹣1，
=
则数列{bn}是首项为﹣，公差为1的等差数列； （3）由（2）可得bn=即有an=1+
=
，
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=﹣+n﹣1=n﹣，
cn=（an+2）（
﹣1==
当n=1时，
）n=（•（，
）n+1•
+2）（）n=）n﹣1
•（）n．
•（
＜1，而c1＞0，则c2＜c1，
当n=2时，
﹣1＞0，由c2＞0，则c3＞c2，
当n=3时，
﹣1＜0，由c3＞0，则c4＜c3，
当n=4时，
﹣1＞0，由c4＞0，则c4＜c5，
当n≥5时，
﹣1＞0，即有cn＜cn+1．
则c1＞c2＜c3＞c4＜c5＜c6＜…＜cn＜cn+1． 由c2﹣c4=（即有c2＜c4．
则数列{cn}有最小值，且为c2=
21．（18分）若函数f（x）满足f（x）=f（x+∈R），则称函数f（x）为“M函数”．
（1）试判断f（x）=sinx是否为“M函数”，并说明理由； （2）函数f（x）为“M函数”，且当x∈[解析式，并写出在[0，
，π]时，f（x）=sinx，求y=f（x）的
）且f（
+x）=f（
﹣x）（x
．
）2﹣
•（
）4＜0，
]上的单调递增区间；
，
+π]（k∈N）时，关于x的方程f（x）
（3）在（2）条件下，当x∈[﹣
=a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S（k），求S（k）．
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【解答】解：（1）f（x）=sinx不是“M函数”． ∵f（x） ∴f（
+x）≠f（
﹣x）（x∈R），
+x）=sin
=sin（
），f（
﹣x）=sin
=sin（
﹣
∴f（x）=sinx不是“M函数”． （2）∵函数f（x）满足f（x）=f（x+∵f（①当x②当x∈[
+x）=f（
），∴函数f（x）的周期T=
﹣x）（x∈R），
）=sin（x﹣
）]=cos（x﹣
）
）
﹣x）（x∈R），∴f（x）=f（
时，f（x）=f（x﹣]时，（fx）=f[
﹣（x﹣
∴f（x）=
在[0，]上的单调递增区间：[，]，[π，]；
（3）由（2）可得函数f（x）在[﹣
，π]上的图象为：
①当0②当a=③当∴当x∈[﹣
或1时，f（x）=a（a为常数）有2个解，其和为时，f（x）=a（a为常数）有3个解，其和为
．
时，f（x）=a（a为常数）有4个解，其和为π ，
+π]（k∈N）时，记关于x的方程f（x）=a（a为常数）所
有解的和为S（k），
则S（k）=．
第16页（共17页）
第17页（共17页）
