语数外学习 Ｎｏ．０４．２０１２ ＹＵ Ｓｈｕ Ｗａｉ ＸＵｅ Ｘｉ ２年第４期 潦数外髻司 ２０１谈中学概率与统计教学对学生能力的培养 徐海青 （杭州市瓶窑中学，浙江摘杭州３１１１１５） 要：本文讨论了在中学概率与统计教学中，不但要向学生传授文化科学知识，还应注意加强学生能力培养的工作，主要在培养 学生的创新能力，建模能力，应用能力，概率直觉及信息技术的使用问题上阐述了自己的观点。 关键词＿、概率统计；创新能力；建模能力；应用能力 中图分类号：（３６３３ 一文献标识码：Ａ 的是“抽签原理”。 文章编号：１００５－６３５１《２０１２）一０４—００９２一Ｏ２ 、概率统计的概述及由来 （一）概率统计的概述 解法（２）：把３０只黑球和２Ｏ只白球都看做没有区别，仍把球 概率统计是运用统计方法研究随机现象，描述随机现象总体 逐个取出放在一直线的５０个位置上，因为若把２Ｏ个白球固定下 趋势的数学模型。它不把注意力停留在个别现象的特征上，而是 来，则其它位置必是黑球，一种排法就被确定，所以该试验共有 重点了解大量随机现象的总体变化趋势，并由此得出随机现象的 ｃ２０ 个等可能的排法，事件Ａ 为第５个位置上放白球，因为白球不 统计规律，进而可获得关于社会发展、科学发现的统计预测。 （二）概率统计的由来 加区别，故只有一种放法，其余４９个位置上放１９个自球共有ｃ岩 概率论是关于机遇的数学模型，其研究目的是寻找随机现象 的统计规律性。它主要侧重于理论上的研究，介绍随机现象反映 种放法，故所求概率为Ｐ（Ａ ）＝ ＝ ＝÷。 解法（３）：第５次取出白球与否显然与以后取球的情况无关， 的基本概念，建立相应的定理及公式，找出计算统计规律性的 故题目可改写：每次从５０个球中取出一球，取后不放回．共取５ 方法。 次．求第５次取出白球的概率。 数理统计是以概率论为基础，研究如何有效地收集、整理和 分析受随机因素影响的数据，对所观察的问题作出推断预测．它 ＝ ＝÷ 的研究内容概括起来可分为两类：一是研究如何对随机现象进行 解法（４）：尝试不是从摸球人的角度考虑，而是从球的角度来 观测，以便更合理、更有效地收集观测数据；二是研究如何对所得 考虑——看看哪个球在第５次被摸到？具体地说，我们把５０个球 到的观测数据进行加工整理，以便对所讨论的问题进行分析和推 都加以编号．于是第５次被摸到的球就有５０种等可能的结果，而 断。统计学的发展经历了漫长的历史，原始社会我们的祖先就懂 第５次摸到白球含其中２０种结果，于是Ｐ（Ａ，）＝ ＝÷。 得观ｉ受Ｉ猎物的日获量以及人均分配食品。最初统计的目的就是 采用课堂讨论的形式．启发、引导学生变换不同的角度寻求 了解统计对象的概况、现状和发展趋势，所涉及的数学方法几乎 并通过各种方法特点的反审、思辨．从中寻 都是算术知识。这个水平的统计必须观测研究对象的每一个个 问题解决的不同方法，这是培养学生创新能力和意识的一种可取的数 体。随着科学技术的进步和社会的发展，现实世界中的数量关系 求其本质的解法，越来越复杂，人们不可能也没有必要收集到涉及某一现象数量关 学解题教学方法。本例的不同解法，实质上是选取不同的“样本 ２、３都运用了一些排列、组合 系的所有数据，而经常会根据部分数据对总体作出推断。为了使 空间”求随机事件的概率。解法ｌ、解法４则抓住了欲求概率事件的本质特点，巧妙得选择 这种推断更加科学，于是吸收了概率论的成果和方法，产生了以 的技巧，样本空间，使问题解决变得很简单。 抽样推断为特征的统计学，即数理统计学。 二、概率统计教学中对学生能力的培养 （一）培养学生的创新能力 （二）培养学生的建模能力 随着科学技术的迅速发展，利用数学建模解决的实际应用问 题越来越多．在近年的高考中也作为一种重要题型而频繁出现， 并有进一步加强的趋势．在学生学习中提高这类问题的解题能力 就显得特别重要。因此从生活经验出发，将实际问题抽象成数学 数 学 教 育 模型并进行解释与应用的过程，进而获得对数学理解的同时，使 学生的思维能力、情感态度与价值观等方面得到发展，并提高解 决实际问题的能力。下面列举了三种主要的数学模型： １、“连续型”模型 例２、某地抽样调查，考生的英语成绩（按百分制计算）近似地 服从正态分布，平均成绩７２分，９６分以上的占考生的２．３％，求考 生英语成绩在６０—８４分之间的概率。 这是一个实际问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质 是一个“正态分布求连续型随机变量在某一范围内取值的概率”。 解：设考生的英语成绩为随机变量 ，则 ．一Ⅳ（ ， ），其中肛 ＝７２。由 ０．０２３＝Ｐ（ ＞９６）＝１一Ｐ（ ≤９６）＝ｌ一 ｆ Ｉ （等）一ｏ－９７７～ 则英语成绩在６ｏ一８４分之间的概率为： Ｐ（６０≤ ≤８４）＝Ｐ（ ≤８４）一Ｐ（ ＜６０）＝ （１）一 （一１）＝ 语数外学习 ＮＯ．０４．２０１２ Ｙｕ Ｓｈｕ Ｗｌａｉ Ｘｕｅ Ｘｉ ２０１２年第４期 ２ （１）一ｌ＝０６８２６。 教科书是教学大纲的具体化，是教师进行教学的主要依据， 中，应结合教学内容作适当的引伸，特别是教材中没有给出实际 将题目中的已知条件转化为标准正态分布表达式，对于一般 同时又是学生获得知识的主要源泉．在这门应用性较强的学科 正态分布Ｎ（／ｚ， ），取值小于 的概率Ｆ（ ）＝巾ｆ ｕ ，） ，这就建 问题的抽象概念，在教学过程中设计一些有趣的实例进行讲授。 立了概率值与函数的对等关系。 ２、“离散型”模型 这样既能让学生加深对概念的理解和掌握，又能唤起学生的好奇 心和强烈的求知欲，将老师的“教”转移到学生的“学”，变被动为 主动，进而从“学会”过渡到“会学”，有效地提高学生的应用能力。 １ 例３、某电器商由多年的经验发现本店出售的电冰箱的台数 培养学生应用知识的能力，光靠课堂教学是远远不够的，实 践对于知识的理解、掌握和运用起着重要的作用．因此应结合课 售出一台电冰箱，该台冰箱可获利３００元，若售不出则囤积在仓 程的特点，并根据知识点的要求，适当开展一些课外活动，让学生 库，每台需支４ｄ，４￣管费１００ 月，问：该电器商月初购进多少台电 在课后做些与生活实际联系较密切的应用问题，使学生的应用能 冰箱才能使自己的月平均收人最大？ 力得到训练和提高。只有认真学习和灵活应用，才能具备解决现 找出离散型随机变量月收入与的线性函数关系，用表格形式 实生活问题的能力，从而激起学生热爱数学、乐于实践的强烈愿 列出叼与ｆ的相关分布列，把月平均收入最大的实际问题转化为 望，鼓励他们提出不同凡响的见解，做到不求唯一，但求所有，将 月售电冰箱利润期望值的最大问题。 知识学活、学透。培养学生搜集信息、处理信息、应用信息的能 解：设电器商月初购进的电冰箱台数为，月收益为，则是随机 力。从知识的掌握到应用不是一件简单、自然而然就能实现的事 变量 的函数： 是一个随机变量，它的分布列Ｐ（ ＝ ）＝吉（ ＝１，２，…１２），设每 情。 ｒ３ｏｏｘ（￣￣＞ｘ）， 竹＝ 【３ＯＯ —ｔｏｏ（ｘ— ）（ ＜ｘ）， 其中１≤ ≤１２ ｌ —ｌ ＋ｌ １２ （四）培养学生对信息技术的使用 计算器、计算机的普遍应用不仅使信息越来越以数据的形式 表现，同时可以使学生将主要精力放在对概率与统计意义的理解 ３０ｏ ３ｏ０ ３ｏ０×１— ３００（ 一１）一 ３ｏ０ 上。计算器可以处理复杂的数据，计算机可以大大提高数据整理 和显示的效果．在建立、记录和研究信息方面，为学生提供了一个 良好的工具，可以使学生有充足的时间来研究现实世界中的问 １００（ｘ—Ｉ） Ｐ ｌ ｌ２ ｌｏ０×ｌ ｌ ｌ２ ｌ １２ Ｌ １２ ｔ １２ 题，理解统计的思想方法。当学生对一个随机现象进行实验时， 计算器和计算机可以产生足够的模拟结果，使学生理解随机现象 的特点。因此，教学中，应强调运用计算器来处理复杂的数据，以 则 ｆ＝［３００×Ｉ—１００（ 一１）］Ｘ ＋［３００ Ｘ２—１００（ 一２）】Ｘ 使学生有更多的精力来处理更为现实的问题。对于有条件的地 ｌ １ １ ● １二＋．－・＋［３００（ｘ一１）一１００］Ｘ吉＋３００ｘ（１３一 ）Ｘ音＝等（一 Ｌ‘ ｉ二 Ｊ 方．要充分开发和利用计算机。 “概率与统计”是实际应用性很强的数学知识，特别是在科技 ０２５ ２ ２＋３８ ）：一 （ 一 ） ＋９ｊ ７Ｏ 日新月异的现代信息社会．脱离新的科学技术，仍然一本书、一枝 笔、一个脑袋学习数学是行不通的使用计算器、计算机软件学习 所以当 ＝９或１Ｏ时．砌值最大。 入最大。 数学，在网上寻找数学学习的资源，将是未来数学教学发展的重 答：电器商月初购进９或ｍ台电冰箱时能使自己的月平均收 要课题。因此，教师应该树立先进的教学观念，在教学过程中注 意“概率与统计”的相关知识与计算机技术的整合。 计算机技术融人数学教学将会使数学的现实情境和虚拟情 变量的应用题．关键是找出相关变量之间的关系，而列表是一个比 境得到融会贯通，使数学学习更加魅力无限。教师应注意引导学 较好的方法，它能清晰地反映出变量之间的联系，有利于解题。在 生体验数学与信息技术结合发展的广阔前景及产生的社会价值。 实际问题中有时用期望或方差两个数学特征来反映事件的优劣。 这也是教学中数学文化的一种渗透。 （三）培养学生的应用能力 注重对离散随机型变量的数学期望意义的理解，关于离散随机 数 学 教 古 罔 每门学科都有其特有的学科思想，知识体系就是在这种学科思 想的指导下建立起来的。教育的目的是让人一生拥有自学的能力 的 和兴趣，不仅只是把知识灌输给学生，而是要教会他们用这种思想 的 潺数外 对 方法去思考问题、解决新的问题。概率与统计的产生和发展过程有 实 着耐人寻味、引人人胜的实际应用背景．这为激发学生的学习兴趣， 培养学生的应用意识提供了良好的教学条件。对于许多困难和抽 象的概念按严格的数学定义方式进行讲授，则学生恐怕只记住一些 据 进 概 定义、定理，知其然不知其所以然，学生也为考试去背公式、记步骤 时 而苦恼。却不知为什么要用这些公式和方法。如在讲授“事件的概 模 率”时，可以提出“掷一颗骰子，掷得６点的可能性有多大？掷得偶 极 数点的可能性有多大？掷两颗、三颗骰子的情况又会怎样”。 某人向篮球场的球篮投球一次，投进的概率为多少？”，两个 参 简单而又贴近生活的问题，把统计和概率的思想、结论的发现过 程予以还原。让学生讨论，这不仅营造了一个轻松愉快的教学氛 围，还加深了对“等可能性”的理解。通过熟悉的问题、朴素的想 ［１ 北 ［２ 法，创设诱人的知识情境，由浅人深，由特殊到一般的讲授，使学 学 生通过自己的思维再现知识发生过程的各个方面，懂得实际问题 ［３ 既是概率统计的来源，又是它们的归宿。让学生充分认识该课程 育 的应用性，培养他们的应用意识。
