线性系统理论复习大纲

Chapter 2 Mathematical Descriptions of Systems

定义2.1 一个系统在t0时刻的状态是一组信息的组合，它和系统的输入u(t)(tt0)一起可唯一确定系统的输出y(t)(tt0)

系统数学描述小结

系统类型 内部描述 外部描述

分布、线性

y(t)G(t,)u()dt0t

xA(t)xB(t)uty(t)t0G(t,)u()d 集中、线性 yC(t)xD(t)u

y(t)G(t)u()d0t分布、线性、定常 y(s)G(s)u(s)irrational

txAxBu0集中、线性、定常 yCxDu y(s)G(s)u(s)rational

y(t)G(t)u()dChapter 4 State-space Solutions and Realizations

线性定常系统状态方程的解

x(t)eAtx(0)eA(t)Bu()d0t

ty(t)CeAtx(0)CeA(t)Bu()dDu(t)0

x(s)(sIA)1[x(0)Bu(s)]y(s)C(sIA)1x(0)[C(sIA)1BD]u(s)

连续状态方程按采样时间T离散化

AdeATBdeABd0T

xAxBu定义4.1 设P为nn非奇异实矩阵，任等价变换xPx，那么方程yCxDu与原方程代

11APAP,BPB,CCP,DD） 数等价。（其中，

定理 4.1 两个线性定常系统状态方程为零状态态等价（具有相同的传递矩阵）的充分必

mm要条件CABCAB

(t,t0)X(t)X1(t0)X(t)xA(t)x定义4.2 设是的任一基本矩阵，那么称该方程的状态转移

矩阵，它同时也是方程'(t,t0)A(t)(t,t0)关于初始条件(t0,t0)I的唯一解。

线性时变系统状态方程的解

x(t)(t,t0)x(0)(t,)B()u()dt0t

y(t)C(t)(t,t0)x(0)C(t)(t,)B()u()dDu(t)t0tC(t)(t,t0)x(0)[C(t)(t,)B()D(t)]u()dt0t

其中C(t)(t,)B()D(t)G(t,)

定理4.3传递矩阵可实现的充分必要条件是该矩阵是正则有理矩阵。

时变系统等价状态方程

xA(t)xB(t)u考虑时变系统状态方程 yC(t)xD(t)u，引入nn时变矩阵P(t)，令xP(t)x，那么方程

xA(t)xB(t)uyC(t)xD(t)u与原方程代数等价，且X(t)P(t)X(t)，该等价变换过程为

A(t)[P(t)A(t)P(t)]P1(t),B(t)P(t)B(t),C(t)C(t)P1(t),D(t)D(t)

A0t1A0A(t)AP(t)eX(t)即可）0定理4.3存在一个等价变换使，其中是任一常矩阵（只需令。

若需

A01P(t)X(t)，此时方程简化为 为零阵，则应选择

1A(t)0,B(t)X(t)B(t),C(t)C(t)X(t),D(t)D(t)

1PP(t)P(t)定义4.3 在上述等价变换中，若满足非奇异、连续的条件，且和(t)有界，那么

该变换是李雅普诺夫等价变换。

AT1eX(0)X(T) A(t)A(tT)定理 4.4 若线性时变系统状态方程中，，

定理 4.5 一个qp脉冲响应矩阵G(t,)可实现的充分必要条件是能够分解成

G(t,)M(t)N()D(t)(t)

其中，M，N和D分别为qn,np,qp矩阵，该脉冲响应矩阵的n维实现是

x(t)0x(t)N(t)u(t) y(t)M(t)x(t)D(t)u(t) Chapter 5 Stability

单变量系统BIBO稳定性：

定理5.1 一个SISO系统

yg(t)u()d0t是BIBO稳定的充要条件是g(t)绝对可积：

0|g(t)|dtM（其中M为常数）

定理5.2 如果一个脉冲响应函数为g(t)的系统是BIBO稳定的，那么当t时：

1. 由u(t)a,(t0)激励的稳态响应为g(0)a。

2. 由u(t)sinw0t,(t0)激励的稳态响应为|g(jw0)|sin(w0tg(jw0))

定理5.3 若一个SISO系统的传递函数g(s)为正则有理函数，该系统是BIBO稳定的充要条件是g(s)的每个极点都具有负实部。

定理5.D1 一个SISO离散时间系统

y[k]g[km]u[m]m0k是BIBO稳定的充要条件是g[k]绝

对可加：

|g[k]|Mk0（其中M为常数）

定理5.D2 如果一个脉冲响应函数为g[k]的离散时间系统是BIBO稳定的，那么当t时：

1. 由u[k]a,(k0)激励的稳态响应为g(1)a。

2. 由

u[k]sinw0k,(k0)jw0jw0|g(e)|sin(wtg(e)) 0激励的稳态响应为

定理5.3 若一个离散SISO系统的传递函数g(z)为正则有理函数，该系统是BIBO稳定的充要条件是g(z)的每个极点都具有小于1的模。

多变量系统BIBO稳定性：

定理5.M1若一个多变量系统的脉冲响应矩阵为条件是每一个

gij(t)G(t)gij(t)，该系统是BIBO稳定的充要

绝对可积：0|gij(t)|dtMij

G(s)gij(s)为正则有理函数，该系统是BIBO定理5.M3 若一个多变量系统的传递矩阵

稳定的充要条件是每一个g(s)的每个极点都具有负实部。

定理5.MD1若一个多变量离散时间系统的脉冲响应序列矩阵为BIBO稳定的充要条件是每一个

gij[k]G[k]gij[k]，该系统是

绝对可积。

G(z)gij(z)为正则有理函数，该系统是定理5.M3 若一个多变量离散时系统的传递矩阵

BIBO稳定的充要条件是每一个g(z)的每个极点都具有小于1的模。

内部稳定性：

定义5.1 一个线性系统的零输入响应称为限界稳定或李雅普诺夫意义下的稳定是指每一个有限状态初态所引起的响应是有界的。该系统称为渐近稳定是指每一个有限状态初态所引起的响应是有界且当t时趋于零。

定理 5.4 （1）方程xAx限界稳定的充要条件是A的所有特征值具有零实部或负实部，并且零实部的特征值是最小多项式的单根。

（2）方程xAx渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有实部。

定理 5.D4 （1）方程x[k1]Ax[k]限界稳定的充要条件是A的所有特征值的模小于或等于1，并且模为1的特征值是最小多项式的单根。

（2）方程x[k1]Ax[k]渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有小于1的模。

定理 5.5 A的所有特征值均有负实部的充要条件是：给定任意正定对称阵N，李雅普诺夫方程

A'MMAN

具有唯一的解M，且M为正定、对称阵。

推论 5.5 一个nn维矩阵A的所有特征值均有负实部的充要条件是：给定任一mn矩阵

NNAranknn1NAN，其中N是扁矩阵，并有，即列满秩，则

Lyapunov方程A'MMAN'N:N具有唯一的解M，且M为正定、对称阵。

定理 5.6 若A的所有特征值均有负实部，则Lyapunov方程A'MMAN对任意N均有唯一解

MeA'tNeAtdt0

定理 5.D5 A的所有特征值的模均小于1的充要条件是给定任意正定对称阵N，方程

MA'MAN

具有唯一的解M，且M为正定、对称阵。

定理 5.D6 若A的所有特征值的模均小于1，则Lyapunov方程MA'MAN对任意N均有唯一解

M(A')mNAm0

线性时变系统稳定性

1. 线性时变系统BIBO稳定的充要条件是存在常矩阵M1,M2使得

||D(t)||M1，且0||G(t,)||dM2

2. 线性时变系统限界稳定的充要条件是存在有限常数M，使得||(t,t0)||M 3. 线性时变系统渐近稳定的条件是：当t时，||(t,t0)||0

注意线性时变系统渐近稳定与A的特征值是否具有负实部无关。

定理 5.7 xAx限界稳定性与渐近稳定性在李雅普诺夫变换下保持不变。

Chapter 6 Controllability and Observability

定义6.1 状态方程称为可控是指对于任意初态x0和任一末态x1，都存在一个输入在有限时间内使系统状态由x0转移到x1。否则该状态方程称为不可控。

定理 6.1 以下命题等价：

1. n维(A,B)是可控的。

2. nn矩阵

Wc(t)eBB'edeA(t)BB'eA'(t)d00tAA't是非奇异。

3. nnp可控性矩阵MC[BABA2BAn1B]满秩。

4. n(np)矩阵[AIB]对于任一A的特征值均满秩。

5. 若A所有特征值具有负实部，那么方程AWcWcA'BB'的唯一解是正定的：



x0WceABB'eA'd0

系统由转移至的输入信号：

x1u(t)B'eA'(t1t)Wc1(t1)[eAt1x0x1]x(t)ex(0)eA(t)Bu()du(t)0将此输入信号代入得x(t1)x1

Att能控性指数：

max(1,2,,p)。其中，

12pn

n/pmin(n,np1)

BAB推论6.1 n维（A，B）对是可控的充要条件是当(B)p时， AnpB满秩。

定理6.2 系统的可控性在等价变换下保持不变。

定理6.3 （A，B）对的可控性指数集在等价变换或任意调换B阵的各列的情况下保持不变。

定义6.O1 一个状态方程称为能观是指对于任何未知的状态初态x(0)，存在一个有限时间

t10使得在0t1已知的输入u和输出y可以唯一确定该状态初态x(0)。否则系统称为不能观。

定理6.4 一个状态方程能观的充要条件是nn维矩阵

Wo(t)eA'C'CeAd0t非奇异。

定理6.5 (A,B)对能控的充要条件是(A',B')对能观，该定理称对偶定理。

定理6.O1 以下命题等价：

1. n维(A,C)是可观的。

2. nn矩阵

Wo(t)eA'C'CeAd0t非奇异。

CCAMOn1nqnCA满秩。 3. 可控性矩阵

4. (np)n矩阵

[AIC]对于任一A的特征值均满秩。

5. 若A所有特征值具有负实部，那么方程A'WoWoAB'B的唯一解是正定的：

能观性指数：

WoeA'C'CeAd0

12qnmax(1,2,,p)。其中，

n/qmin(n,nq1)

CCAnq(C)q推论6.O1 n维（A，C）对能观的充要条件是当时， CA满秩。

定理6.O2 系统的能观性在等价变换下保持不变。

定理6.O3 （A，C）对的能观性指数集在等价变换或任意调换C阵的各行的情况下保持

不变。

P1[q1(Mc)n1nn定理 6.6 对于维状态方程，可构建非奇异矩阵

qn1qn]

其中前列为原列，后

n1nn11xPx,xPx使原方程变换为： 列任选。作等价变换或

xcAcxc0A12xcBcuAcxc0

yCcxcCcxDuc

p1Ppn2pn，其中前n2行为原定理 6.O6对于n维状态方程(Mo)n2n，可构建非奇异矩阵

行，后nn2行任选。作等价变换可使原方程变换为：

xoAoxoA210xoBouAoxoBo

yCoxo0Duxo

定理6.7 任意状态空间方程可同时作能控性和能观性分解，构造与原方程代数等价的状态方程。其中既能控又能观部分与原方程零状态等价，有相同的传递函数。当只考虑输入输出特性时，该方法可作为状态方程的化简。

定理6.8 （1）约当标准形状态方程能控的充要条件是B中相同特征值约当块的最后一行线性无关，若无相同特征值，则对应的约当块最后（下）一行为非零行向量。

（2）约当标准形状态方程能观的充要条件是C中相同特征值约当块的最后一列线性无关，若无相同特征值，则对应的约当块最前（左）一列为非零列向量。

推论6.8 （1）一个单输入约当形状态方程可控的充要条件是每个互异的特征值只对应一个约当块，且B阵对应每个约当块最后一行的元素非零。

（2）一个单输出约当形状态方程能观的充要条件是每个互异的特征值只对应一个约当块，且C阵对应每个约当块最前一列的元素非零。

三种可控性定义：

1. 将系统状态从任一初态转移至任意末态——本书定义的可控性

2. 将系统状态从任一初态转移至零——到原点的可控性

3. 将系统状态从零转移至任意末态——能达性

在连续时间系统中上述三定义等价，因为e总是非奇异。对于离散时间系统，若A非奇

At异，三者仍然等价，当A为奇异时却不是，此时，系统一定具有到原点的可控性。

定理 6.9 对于一个完全能控的连续时间系统以采样时间T进行离散化后，系统仍然能控的充分条件是对于所有满足该条件为充要条件。

Re[ij]的特征值，

T2k/Im[ij]，当系统为单输入情况时，

定理6.10 若连续时间系统不能控，那么以任何采样时间离散化后的系统仍不能控。

定理6.11 n维(A(t),B(t))对在t0可控的充要条件是存在有限时间t1t0使得Wc(t0,t1)非奇异。

Wc(t0,t1)(t1,)B()B'()'(t1,)dt0t1

Mn1(t1)n定理6.12 n维(A(t),B(t))对在t0可控的充分条件是rankM0(t1)M1(t1)dMm(t)dt

其中M0(t)B(t)，

Mm1(t)A(t)Mm(t)定理6.O11 (A(t),C(t))对在t0能观的充要条件是存在有限时间t1t0使得Wo(t0,t1)非奇异。

Wo(t0,t1)'(t1,)C'()C()(t1,)dt0t1

N0(t1)N(t)rank11nN(t)tn11定理6.O12 n维(A(t),C(t))对在0能观的充分条件是

其中N0(t)C(t)，

Nm1(t)Nm(t)A(t)dNm(t)dt

Chapter7 Minimal Realizations and Co-prime Fractions

1s32s23s4N(s)ˆ(s)g32D(s)s4ss3s4的能控标准型实现为 12传递函数

1210x0100y123341000xu0001004x

ˆ(s)N(s)/D(s)的能控标准型能观的充要条件是N(s),D(s)即约。 定理7.1 g定理7.2 状态方程(A,B,C,d)是传递函数g(s)的最小实现的充要条件是(A,B)可控且(A,C) 能观，即：dimAdegg(s)

定理 7.3 所有的最小实现是等价的。

ˆ(s)N(s)/D(s)，用分子与分母的系数构造sylvester阵，从左向右寻找线性定理 7.4 对于gˆ(s)线性无关N列的个数:，且即约分式的系数 无关列向量，我们有：deggND0N1D1 0ND

等于包含最初线性相关N列及其左手侧各列构成的子阵的首一零向量。

定理7.5 若(A,b,c)和(A,b,c)是等价的最小实现，那么WcWo和WcWo等价，具有正实特征值。

定理7.6 任一n维最小实现的状态方程均可等价于另一方程使得WcWo。

ˆ(s)的价为n的充要条件是： 定理7.7 严格正则有理传递函数g T(n,n)T(nk,nl)n(k,l1,2)

友型实现：

1. 计算T(n,n)MoMc

2. 令McI，则MoT(n,n)b[100]'，c[h(1)h(2)h(n)]

1AT(n,n)T(n,n) 3. 计算

定义7.1 正则有理矩阵G(s)的特征多项式是指G(s)所有子式的最小公分母。最小多项式是其所有元的最小公分母。

定理7.M2 状态方程(A,B,C,D)是传递矩阵G(s)的最小实现的充要条件是(A,B)可控且

(A,C) 能观，即：dimAdegG(s)

定理 7.M3 G(s)的所有的最小实现是等价的。

定义 7.2 一个方阵M(s)称为么模矩阵是指它的行列式的值非零且与S无关。

定义 7.3 一个方阵多项式R(s)是N(s),D(s)的最大右公因式(gcrd)是指：

1. R(s)是N(s),D(s)的右公因式

2. R(s)是N(s),D(s)所有右公因式的左倍式

若R(s)是么模矩阵，那么N(s),D(s)为右既约分式。

11G(s)N(s)D(s)D(s)N(s)分别为右既约和左既约，定义 7.4 正则有理矩阵则G(s)的特征

多项式定义为detD(s)或detD(s)，G(s)的阶定义为degG(s)degdetD(s)

定义 7.5 一个非奇异多项式矩阵M(s)称为列约是指degdetM(s)列阶之和，该矩阵称为行约是指degdetM(s)行阶之和。一个矩阵不能同时行列约。

一个多项式矩阵M(s)为列约的充要条件是它的列阶系数阵Mhc非奇异。

1N(s)D(s)正则的充要条N(s),D(s)D(s)qp,pp定理7.8 设是矩阵，且列约，则有理矩阵

件是ciN(s)ciD(s)，其中i1,2p。

1DN(s),D(s)D(s)qp,qq推论7.8设是矩阵，且行约，则有理矩阵(s)N(s)正则的充要条

件是riN(s)riD(s)，其中i1,2q

1定理 7.M4 对于左分式G(s)D(s)N(s)，用D(s),N(s)的系数阵构造sylvester阵，从左向右寻找线性无关列向量，令i(i1系数阵N0D0N1D1p)是线性无关

DNi列的个数，则

degG(s)ii1p且即约右分式的

N可由p个包含最初线性相关Ni列及其左手侧各列构成

的子矩阵的首一零向量求得。

算法7.1：由多项式矩阵既约分式求系统实现

ˆ(s)N(s)D1(s)G考虑严格正则传递矩阵，令D(s)DhcH(s)DlcL(s),N(s)NlcL(s)

s1H(s)0其中，

s1110,L(s)2s00000021s1

（1）计算

Dhc11b01，其中两行分别作为B阵的s1和s2最高次两行。

（2）计算

Dhc1Dlc，其中两行分别作为A阵的s和s最高次两行，A阵的左上、右块低

12次行按对角线顺序依次写入1，A阵的左下、右上低次行全补0。

（3）写下Nlc，作为C阵。

Chapter8 State Feedback and State Estimators

定理8.1 (Abk,b)可控的充要条件是(A,b)可控。即状态反馈不改变系统的能控性。

定理8.2 若可控的状态方程有4阶特征多项式为

s41s32s23s4，存在线性变换

QbxPx使之变为能控标准型。变换阵PQ，

1AbA2b112301123Ab00110001。

定理8.3 若n维状态方程能控，则通过状态反馈urkx,目标系统矩阵Abk可以任意配置特征值，其中复特征值共轭。

算法8.1 李雅普诺夫方法配置极点：AbkTFT

1 1 选择矩阵F使之具有期望特征值。 2 选择行向量k使(F,k)能观测。

3 求解方程ATTFbk。 4 计算反馈向量kkT

1定理8.4 若A与F无相同的特征值，则方程ATTFbk的解非奇异的充要条件是(A.b)可控且(F,k)可观。

ˆo(0)跟踪条件：p1/g，鲁棒跟踪条件：嵌入内模。

定理8.5 若(A.b)可控且传递函数无纯微分环节，那么状态反馈外加内模的单外反馈系统可

sIAbkdet(sIA)detc通过选择kka任意配置极点。闭环系统特征值

bks。

算法8.O1 李雅普诺夫方法求状态观测器：

1 选择矩阵F使之具有期望特征值。 2 选择行向量l使(F,l)能控。

1ˆzFzTbuly,xTz TAFTlc 3 求解方程。 4 状态观测器为

算法8.R1 李雅普诺夫方法求降维状态观测器：

1 选择(n1)(n1)矩阵F使之具有期望特征值。 2 选择行向量l使(F,l)能控。

1cyˆzFzTbuly,xTz 3 求解方程TAFTlc。 4 状态观测器为

定理8. 6 若A与F无相同的特征值，则方程TAFTlc的解非奇异的充要条件是(A.c)可观且(F,l)可控。

定理8.M1 (ABK,B)可控的充要条件是(A,B)可控。即状态反馈不改变系统的能控性。

定理8.M3矩阵ABK可以任意配置特征值的充要条件是(A,B)可控。

定理8.7 若n维p输入(A,B)对可控且A是循环的，那么存在p1向量v，单输入系统(A,Bv)是可控的。

定理8.8 若(A,B)可控，那么存在pn实常矩阵K，使ABK是循环阵。

循环设计思路：

1. 引入K1K1，使系统为循环系统

2. 引入v，使系统为单输入可控系统

3. 按照单输入系统设计法求k

4. 系统状态反馈阵为KK1K2K1vk

1算法8.M1 李雅普诺夫方法实现状态反馈 ABKTFT

1 选择nn矩阵F使之具有期望特征值。

2 选择pn矩阵K使(F,K)能观测。

3 求解方程ATTFBK。

4 若T为奇异，则重复上述步骤，若T非奇异，计算反馈向量KKT

1算法8.R1 李雅普诺夫方法求降维状态观测器：

1 选择(nq)(nq)矩阵F使之具有期望特征值，且与原阵特征值互异。

2 选择(nq)q矩阵L使(F,L)能控。

3 求解方程TAFTLC。

CPT奇异，则重复上述步骤，若非奇异，则状态观测器为 4 若

CyˆzFzTbuLy,xTz

1Chapter9 Pole Placement and Model Matching

定理9.1 A(s)D(s)B(s)N(s)F(s)对于任意F(s)均有解A(s),B(s)的充要条件是D(s)和N(s)互质。

定理9.2 单位反馈系统中，控制对象g(s)N(s)/D(s)是正则有理函数，N(s),D(s)互质，

degN(s)degD(s)n，设mn1，则对于任一(mn)阶多项式F(s)，存在一个正则的m阶补偿

器C(s)B(s)/A(s)，使闭环传递函数

ˆo(s)gpN(s)B(s)pN(s)B(s)A(s)D(s)B(s)N(s)F(s)

定理9.3 单位反馈系统可以实现鲁棒跟踪和噪声抑制，只需在补偿器极点中加入输入信号和干扰信号传递函数极点的最小公分母，并且和对象传递函数零点无对消。

定义9.1 设对象传递函数g(s)为正则有理函数，那么目标系统传递函数称可构建是指存在无对象泄漏的正则补偿器使得目标系统是适定和全稳定的。

go(s)定理9.4 对于控制对象g(s)，目标系统go(s)可构建的充要条件是g(s)正则且BIBO稳定。

推论9.4 设控制对象g(s)N(s)/D(s)，那么go(s)E(s)/F(s)可构建的充要条件是：

1. F(s)的所有根具有负实部。

2. degF(s)degE(s)degD(s)degN(s)

3. E(s)包含原系统所有不稳定零点。

算法9.1 模型匹配

1. 计算go(s)/N(s)E(s)/F(s)

ˆˆ2. 引入赫尔维茨多项式F(s)使F(s)F(s)的阶为2n1或更高

ˆ(s)N(s)E(s)FL(s)N(s)go(s)ˆ(s)A(s)D(s)B(s)N(s) F(s)F3. 重写

4. 计算L(s)E(s)F(s)

ˆˆ5. 求A(s)D(s)M(s)N(s)F(s)F(s)的解

6. 得到L(s)/A(s)和M(s)/A(s)