什么是全导数、偏导数、方向导数？
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全导数是多元函数中的一个概念。
我们知道一元函数的情况下，导数就是函数的变化率，从几何意义上看就是：
但是在多元的情况下比一元的复杂，下面我用二元函数来举例子（三元我也画不出来），比如这样一个曲面上的一点
：
在曲面上可以做无数条过
点的曲线（图上随便画了三根）：
每根曲线都可能可以（也有作不出来的情况，你想想一元的时候也有作不出切线的情况）作一根切线，比如（随便挑了一根切线来画，都画出来太乱了）：
全导数的意义：每一根切线都和一个全导数“相关”，
点有无数个全导数。
最精简的回答已经完了，后面我就要讲一些细节了，主要阐述下面两个细节：
• 方向导数、偏导数是特殊的全导数
• 每一根切线都和一个全导数“相关”，这个“相关”是什么意思？难道不就是切线的斜率就是全导数吗？
顺便说一下，如果所有这些切线共面的话，那么这个平面就是切平面（全微分），可以参考我之前的回答如何直观理解全微分？。
1 参数方程
为了继续讲下去，我们需要了解下所需要的技术手段：参数方程。
参数方程的用处很多，下面讲解下我们需要了解的部分。
1.1 通过参数方程来描述所有的曲线
要描述所有这些曲线，我们就需要一些数学手段，这就是参数方程。
我们来看一下，随便画一条过 点的曲线：
这条曲线也是一个关于 具有一一对应的关系：
的函数 ，因此它与 平面上的曲线
因此我们只需要描述 自然的可以使用参数方程了。
上的曲线就可以达到描述曲面的曲线的目的，这时候就很
举个具体的例子，对于
这个二元函数，函数图像是这样的：
注意此时的
都可以自由改变：
但是如果增加参数方程：
这有什么意义？此时的 的变化就受到 的约束：
我们来把这根参数方程决定的直线放到三维空间去：
根据之前的描述，这根直线可以决定一根曲面上的曲线：
这根曲面上的曲线就是刚才说过的：
1.2 参数方程可以拍扁三维图像
从另外一个角度看，参数方程可以把三维的图像一巴掌拍扁：
什么意思，我们来看看，还是
这个二元函数：
增加参数方程约束：
把 代入到 里面去，可以得到 ：
这就好比把 所以在这里先预热下。
空间的立体图形拍扁到了
平面，这个特性在后面会用到，
2 全导数、偏导数、方向导数
讲完“所有曲线”之后，我们要来讲这些曲线的切线了，不同的曲线有不同的切线，也就有不同类型的导数。
2.1 全导数
平面上有很多不同的曲线，这些曲线也总能决定曲面上的曲线。
比如这根 平面的曲线：
可以在某个曲面上决定一个空间曲线：
全导数就和这些空间曲线的切线“相关”（为什么是“相关”我之后再讲）：
2.2 偏导数
平面上不同类型的曲线中，有一种平行于
于
轴举例）：
轴或者 轴的直线（以平行
这根直线决定的空间曲线：
偏导数就是这根曲线的切线的斜率：
2.3 方向导数
平面不光有平行于坐标轴的直线，还有各种射线，由这些射线决定的曲线：
为什么是射线？我们回想一下一元函数中左可导、右可导的概念：
射线可以类比左可导、右可导中的“左”和“右”。
方向导数也就是这根曲线的“左导数”、“右导数”：
2.4 小结
这里总结一下：
• 过点 可以做无数条曲线
• 每根曲线的切线和一个全导数“相关”
• 偏导数、方向导数是其中的特殊的曲线的切线的斜率
• 偏导数、方向导数是特殊的方向导数
3 每根曲线的切线和一个全导数“相关”是什么意思？
之前我一直说，每根曲线的切线和一个全导数“相关”，这个“相关”是什么意思呢？
为什么“偏导数”、“方向导数”都是切线的斜率，而除此之外的全导数不是呢？
3.1 参数方程形式
根据之前我们对参数方程的介绍，全导数、偏导数、方向导数都可以写成参数方程的形式。
全导数：
偏导数（以平行于
轴的曲线为例， 为常数）：
方向导数（具体的意思我这里不解释了，自己参看书中关于“方向导数”的章节）：
3.1.1 拍扁并且变形了
因为都可以写成参数方程，而之前我说过参数有拍扁的特性。
在 平面中，偏导数的曲线其实位于平行于 轴的平面上（关于 的偏导
数）：
拍扁到
平面：
本身也就是平面，拍扁之后也不会发生变形。
因为偏导是特殊的全导，所以我们可以认为偏导就是 的斜率：
，也就是 平面上切线
因为没有拍扁过程中没有发生变形，所以 切线。
平面上切线也就是
空间中的
同样的道理，方向导数的曲线也是位于平面之中的，所以拍扁过程也不会变形。
但是，普通的全导（也就是曲线不在平面中的），拍扁的过程中会变形，比如说还是我之前举的决定全导数的曲线：
把它拍扁到
平面中去：
不得不说看起来还是有那么一点像，不过已经严重变形了。所以全导
在
平
面上还是切线的斜率：
但因为变形，已经不是 线）。
空间中的切线（实际上要是还原回去的话是一条曲
以及
、
共同决定。
空间的切线需要全导数
至于 空间中切线的斜率要怎么求，就是切向量的问题了，有机会我们接着说。
