第３１卷第２期 ２０１７年４月 江苏科技大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｎｇｓｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．３１ Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２０１７ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３—４８０７．２０１７．０２．０２１ 基于优化神经网络的桁架有限元模型修正 曾小燕，王 林 （江苏科技大学土木工程与建筑学院，镇江２１２００３） 摘 要：阐述了基于优化ＢＰ神经网络的桁架结构有限元修正原理，提出了用遗传算法对ＢＰ神经网络进行优化和编程，并 用超高塔架有限元模型算例验证了该方法的有效性和准确性．研究结果表明：未经修正的有限元模型的误差在４％，修正后 的误差降低到０．８４％以下，通过置信准则ＭＡＣ值验证了ＧＡＢＰ方法修正后ＭＡＣ值提高到０．９４以上，而未修正时ＭＡＣ值 在０．７以上．证明了优化ＢＰ神经网络修正过的桁架结构比未经过修正的结构更符合实际工程，该方法为日后同类型超高 桁架结构的有限元模型修正提供了一定的参考． 关键词：神经网络；桁架结构；模型修正；优化设计 中图分类号：Ｕ４８８ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３—４８０７（２０１７）０２—０２３７—０４ Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ ｕｐｄａｔｉｎｇ ｏｆ ａ ｔｒｕｓｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋ ＺＥＮＧ Ｘｉａｏｙａｎ，ＷＡＮＧ Ｌｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ ａｎｄ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｈｅｎｊｉａｎｇ ２１２００３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｔｒｕｓｓ ｓｔｕｃｔｒｕｒｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇ ＢＰ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｉｓ ｄｅ— ｓｃｒｉｂｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｔｏ ｏｐｔｉｍｉｚｅ ｔｈｅ ＢＰ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ，ａｎｄ ｔｈｅ ＢＰ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｉｓ ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ ｂｙ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａ ｉｆｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ａ ｈｉｇｈ ｔｒｕｓｓ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｏｄｉｉｆｅｄ ＢＰ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｉＳ ｍｏｒｅ ａｃｃｕｒａｔｅ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｗｉｔｈｏｕｔ ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ ｕｐｄａｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ｈｉｇｈ ｔｒｕｓｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｔｕｒｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ，ｔｒｕｓｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｍｏｄｅｌ ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ，ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｄｅｓｉｇｎ 有限元方法具有完整性、准确性和便于程序化 等优点，目前，广泛应用于结构分析领域．建立准确 的有限元模型对于结构分析至关重要，然而，建模 过程中引入的各种假设和诸多不确定因素导致结 构有限元模型必然存在误差．为了尽可能地减小误 差的有限元修正，然而实际工程结构难免出现较大 的误差 ．由于神经网络具有强大的非线性映射能 力，通过训练神经网络，能够得到结构参数与结构响 应之间复杂的非线性关系，考虑采用优化神经网络 的方法对有限元模型结构参数进行修正，以此达到 差，一般采用有限元模型修正．在工程建设中，有限 元模型修正的方法有很多，如矩阵型法、元素型法、 修正有限元模型的目的．因此，对初始有限元模型进 行修正，使其理论计算值趋近于结构的实际响应值 是一个具有重要理论和实用意义的研究方向． 子矩阵型法等 ．但是这些方法一般只适用于小误 收稿日期：２０１５—１０—２１ 基金项目：江苏省产学研联合创新项目（ＢＹ２０１２１８２） 作者简介：曾小燕（１９８８一），女，硕士研究生． 通信作者：王林（１９６３一），男，教授，研究方向为船舶与海洋工程结构力学．Ｅ ｍａｉｌ：ｗｌｉｎ４０＠１６３．ｃｏｒｎ 引文格式：曾小燕，王林．基于优化神经网络的桁架有限元模型修正［Ｊ］．江苏科技大学学报（自然科学版），２０１７，３１（２）：２３７—２４０．ｄｏｉ：１０ ３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３—４８０７．２０１７．０２．０２１． ２３８ 江苏科技大学学报（自然科学版） ２０１７年 １ 有限元修正的基本原理 确定性的有限元修正可以归结为优化问 题 ．网络理论，神经网络能量函数的极小点对应 于系统的稳定平衡点，只要找到网络系统的稳定平 衡点，就可确定结构优化问题的极值． 文献［４—５］对工程结构的优化设计数学模型 进行了定义，对于任何一个工程结构的优化设计数 学模型一般可写成： Ｆ（ ）一ｍｉｎ，Ｘ∈Ｒ （１） 式中： 为设计变量， （ ）为目标函数． 目标函数满足以下条件： （ ）≤０ ＝１，２，…， ， ｈ （ ）＝０ ＝１，２，…， 式中：ｇ （ ），ｈ （ ）为等式约束和不等式约束的 梯度； 为非上下限不等式约束的个数；Ｍ为非上 下限等式约束的个数． 通过外罚函数法，可以将有约束的最优化问题 转化成求解无约束的最优化问题．上述优化问题可 转化为求一个目标函数（能量函数）的极小值问 题，文献［６］给出神经网络能量函数的表达式为： Ｅ（ｘ， ）＝Ｆ（ ）十号｛∑［， ‘・ （ ）］ ＋∑［一 … … （ ）］。） （３） 式中：ｇ （ ）为惩罚算子，其值为正，ｇ （ ）： ｍａｘ ｛，、 ０， …、７ ｛ｆｇ０ （ ） （Ｘ）≤０１；＞０ｊ 对公式（３）求导，得 ＝｛ 叫耋 ＋ 腊＝ ｛７Ｆ（Ｘ）＋ ［∑ （ ）・ｒ￣（ｘ）＋∑＾ （ ）・Ｖ （ ）】 （４） 式中：Ｖ Ｆ（ ），Ｖ ｇ （ ），Ｖ ｈ （ ）为目标函数、不 等式约束和等式约束的梯度．寻找稳定平衡点，即 寻找一点使ｄＥ／ｄｔ≤０，该稳定平衡点即函数极小 值点． ２优化神经网络的建立 ＢＰ（Ｂａｃｋ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ）神经网络是目前应用最 广泛的神经网络模型之一．ＢＰ神经网络能学习和 存贮大量的输入一输出模式映射关系，而无需事前 揭示描述这种映射关系的数学方程．但是，ＢＰ神经 网络也有一定的局限性．ＢＰ神经网络学习收敛速 度慢、不能保证收敛到全局的最小值，特别是对于 多峰值的函数，ＢＰ神经网络得出的可能是局部的 一个最小值，降低了全局寻优能力．为了弥补ＢＰ 神经网络的缺陷，采用遗传算法（ＧＡ）进行优化． 文献［７］在Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ多层神经网络映射存 在定理的基础上，从理论上证明一个三层神经网络 可用来描述任一弹性结构的应力、位移等变量和结 构设计变量之间的映射关系，为利用人工神经网络 来进行结构近似分析提供理论基础．１９８９年，文献 ［８］证明了对于任何闭区间内的一个连续函数，都 可用一个隐含层的ＢＰ网络来逼近．因而一个三层 ＢＰ网络可完成任意的ｎ维到ｍ维的映照． 文中构造了一个输入层为２个节点，ｎ：＝２ｎ ＋ １隐含层的节点数，其中，ｎ 为输入层的节点数，即 隐层为５个节点，输出层为３个节点的三层ＢＰ神 经网络．网络结构如图１． 图１ ＢＰ神经网络模型 Ｆｉｇ．１ ＢＰ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｍｏｄｅｌ 为解决上述缺陷，采用遗传算法对ＢＰ神经网 络进行优化．遗传算法优化ＢＰ神经网络的步骤如 下： （１）确定编码方案，把数据表示成遗传空间的 基因结构串数据，采用实数编码方案，避免了传统 二进制编码的解码过程，在一定程度上提高了神经 网络的学习精度和速度． （２）初始群体的生成．随机产生，ｖ个初始串 结构数据，每个串结构数据称为一个个体，Ⅳ个个 体构成了一个群体，遗传算法采用这Ⅳ个串结构 数据作为初始点开始迭代． （３）计算神经网络的误差函数，从而得出遗传 算法所需的适应度函数；文中的适应度函数取神经 网络实际输出与期望输出误差平方和的倒数． （４）选择、交叉、变异，进行遗传迭代操作，直 至达到终止条件为止； （５）输出遗传迭代所得的网络最优权值到ＢＰ 网络迭代结构，进行神经网络训练，直至得到理想 的网络结构终止． ３塔架结构模型修正 ３．１ 塔架结构有限元模型的建立 塔架采用现场拼接的钢管扣件式塔架，塔架高 第２期 曾小燕，等：基于优化神经网络的桁架有限元模型修正 ２３９ ７５ ｍ，由２５个桁架单元组成，每个桁架单元长６ ｍ、 宽４ ｍ、高３ ｍ，由两个长３ ｍ，宽４ ｍ，高３ ｍ的桁 架单元对接而成．上下单元之间采用螺栓连接，桁 架采用Ｑ２３５钢管，钢管外径１００ ｍｍ，壁厚１６ ｍｍ． 桁架单元布置一个测点．塔架测点的布置情况如 图４．试验共采用１３个超低频加速度传感器获取 塔架各部位环境振动响应，由此分析结构的动态 特性．表１列出了塔架理论与实测的固有频率 塔架模型共采用１５４个节点，５５２个单元．桁架单 元模型如图２，塔架模型如图３．实际工程中，塔架 的下部与工作面上的预埋件之间采用焊接，有限元 值．随机选取５０组结构频率作为输入值，其中４０ 组作为训练样本，ｌ０组作为测试样本，待修正参 数经归一化处理后作为输出值，进而得到优化ＢＰ 模型的下部按照固结进行处理． 图２桁架单元模型 Ｆｉｇ．２ Ｔｒｕｓｓ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ 图３塔架模型 图４传感器的布置 Ｆｉｇ．３ Ｔｏｗｅｒ ｍｏｄｅｌ Ｆｉｇ．４ Ａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｓｅｎｓｏｒｓ ３．２模型修正 目前较常采用的模型修正方法是矩阵型和参 数型 ９ｊ．由于矩阵型方法需要借助结构质量和刚 度矩阵，对于大型结构计算比较复杂，有时因为 计算误差使得结构达不到修正的目的 ．因此， 采用参数型修正方法，主要考虑单根钢管截面面 积、质量、弹性模量等参数对结构的影响，将待修 正参数组成设计变量，即Ｘ＝［ ， ， ］，理论模 型固有频率的相对误差作为目标函数，其前４阶 固有频率作为状态变量．为了研究方便，塔架结 构与地面之间的连接作为刚性连接，且塔架模型 上所有节点位置的刚域均不予考虑．由于塔架结 构较高，如果采用相同大小的结构对实验带来很 大的不便．因此，实际用于做实验的是按照 １：２０的比例缩小之后的模型．振动试验是在塔架 上从最下面的一个桁架单元开始向上每隔一个 神经网络的权值和阀值． ３．３模型修正结果 模型修正前后自振频率的对比见表１． 由表１可以看出，经Ｍｉｄａｓ建立的模型与实验 值的相对误差在４％左右，经过优化ＢＰ神经网络 修正后模型的相对误差在０．８４％以下，比修正前 的模型的精度有了很大的提高．设计变量修正前后 的对比见表２． 表１ 自振频率修正前后对比 Ｔａｂｌｅ １ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｍｏｄｅｌ 表２设计变量修正前后对比 Ｔａｂｌｅ ２ Ｄｅｓｉｇｎ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｂｅｆｏｒｅ ａｎｄ ａｆｔｅｒ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ 模态置信准则（ｍｏｄａｌ ａｓｓｕｒａｎｃｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ， ＭＡＣ）是利用振型的正交性来分析比较两个振型 之间的关联性，采用ＭＡＣ值分别评估两个振型之 间的相关性．若ＭＡＣ＝０，则表示两个振型不存在 相关性，ＭＡＣ值越接近于１，表示振型的相关性越 大，若ＭＡＣ＝１，则表示两个振型是完全相同的． 分析振型与测量振型的相关性越大，就表示两种 振型越相似．根据文献［１１］给出了ＭＡＣ矩阵的 计算公式：ＭＡＣ（ ？ ， ）＝ Ｉｍ Ｉ ． ’ １，２，３，…，其中， 表示第ｉ阶的分析振型， 表 示第ｉ阶的测量振型．分别取模型修正前和 ＧＡＢＰ方法修正后的振型作为分析振型，分别计 算得出ＭＡＣ值，表３为修正前和修正后的ＭＡＣ 值对比． ２４０ 江苏科技大学学报（自然科学版） ２０ｌ７年 由表３可知，未修正模型的ＭＡＣ矩阵对角数 值均在０．７以上，而经过ＧＡＢＰ方法修正后ＭＡＣ 矩阵对角数值均在０．９４以上，说明修正后的结构 振型与测量振型具有高度相关性．证明ＧＡＢＰ方法 修正后的模型比未修正的模型具有更高的精度． ４ 结论 （１）基于遗传算法优化的ＢＰ神经网络方法 修正的结果使各阶频率的精度都有所提高，误差由 修正前的４％左右降低到０．８４％以下．设计变量 中，ＧＡＢＰ方法用于超高桁架结构有限元模型修正 是可行的．它能降低模型的误差，使模型更加准确 可行． （２）基于遗传算法优化的ＢＰ神经网络方法 修正后的ＭＡＣ矩阵的对角数值均在０．９４以上，未 修正时ＭＡＣ矩阵的对角数值在０．７以上，证明 ＧＡＢＰ修正后的分析振型与测量振型具有高度的 相关性，从而进一步证明了ＧＡＢＰ方法修正有限元 模型是可行的． 参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ） 李剑．有限元模型参数型修正方法的研究［Ｄ］．上 海：上海交通大学，２００７：１０—１２． ［２］ 王林，彭鑫．鄂尔多斯伊克昭大桥主桥拱肋整体吊 装的静力及稳定性分析［Ｊ］．江苏科技大学学报（自 然科学版），２０１４，２８（２）：１２０—１２４． ＷＡＮＧ Ｌｉｎ，ＰＥＮＧ Ｘｉｎ．Ｏｒｄｏｓ Ｙｉ Ｋｅ Ｚｈａｏ ｂｒｉｄｇｅ ａｒｃｈ ｒｉｂ ｈｏｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｃ ａｎｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ 『Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｎｇｓｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ），２０１４，２８（２）： １２０—１２４．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［３］ 姜东费，庆国，吴邵庆，等．基于摄动法的不确定性 有限元模型修正方法研究［Ｊ］．计算力学学报， ２０１４，３１（４）：４３１—４３７． ＪＩＡＮＧ Ｄｏｎｇｆｅｉ，ＱＩＮＧ Ｇｕｏ，ｗＵ Ｓｈａｏｑｉｎｇ，ｅｔ ａ１． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｎｏｎｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２０１４，３１（４）： ４３１—４３７．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［４］郭兴文，王德信．工程结构优化设计［Ｊ Ｊ．江苏力学， １９９７，２４（１３）：２２—２３． ＧＵＯ Ｘｉｎｇｗｅｎ，ＷＡＮＧ Ｄｅｘｉｎ．Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｄｅｓｉｇｎ ｏｔ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｊ］．Ｊｉａｎｇｓｕ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１ ９９７， ２４（１３）：２２—２３．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［５］程耿东．工程结构优化设计基础［Ｍ］．辽亍：大连删 工大学出版社，２０１２． ［６］ 章毅，周明天，王平安，等．关ｒ神经网络的能量 数［Ｊ］．计算机研究与发展，１９９９，３６（７）：７９４— ７９９． ＺＨＡＮＧ Ｙｉ，ＺＨＯＵ Ｍｉｎｇｔｉａｎ，ＷＡＮＧ Ｐｉｎｇａｎ，ｅｔ ａ１．Ｏｎ ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｔ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｒｅｓｅａｒｃｈ＆Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，ｌ ９９９，３６（７）： ７９４—７９９．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［７］ 陆金桂，余俊．基于人工神经网络的结构近似分析 方法的研究［Ｊ］．中国科学，１９９４，２４（６）：４—５． ＬＵ Ｊｉｎｇｕｉ．ＹＵ Ｊｕｎ．Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒａ［ａｐｐｒｏｘ— ｉｍａｔｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａｒｔｉｉｆｃｉａｌ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔ— ｗｏｒｋ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９９４，２４（６）：４—５．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［８］ ＮＥＬＳＯＮ Ｒ Ｂ．Ｓｉｍｐｌｉｉｆｅｄ ｅａｌｃ，ｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒ ｄｅ— ｒｉｖａｔｉｖｅｓ［Ｊ］．ＡＩＡＡ Ｊ，１９７６，１４（９）：１２０１一ｌ２０５． ［９］郑惠强，陈鹏程，宓为建，等．大型桥吊结构动力有 限元模型修正［Ｊ］．同济大学学报（自然科学版）， ２００１，２９（１２）：１４１２—１４１５． ＺＨＥＮＧ Ｈｕｉｑｉａｎｇ，ＣＨＥＮ Ｐｅｎｇｃｈｅｎｇ，ＭＩ Ｗｅｉｊｉａｎ． Ｌａｒｇｅ ｂｒｉｄｇｅ ｃｒａｎｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ ｕｐｄａｔｉｎｇ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ— ｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ），２００１，２９（１２）：１４１２—１４１５．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［１０］ 林琳，张云波．基于ＭＡＴＬＡＢ的桁架结构优化设计 ［Ｊ］．低温建筑技术，２００３，９１（１）：３４—３６． ＬＩＮ Ｌｉｎ，ＺＨＡＮＧ Ｙｕｎｂｏ．Ｔｒｕｓｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＭＡＴＩ ＡＢ［Ｊ］．Ｌｏｗ Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００３，９１（１）：３４—３６．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） 『１１］ ＡＬＬＥＭＡＮＧ Ｒ Ｊ，ＢＲＯＷＮ Ｄ Ｉ ．Ａ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｃｏｅｆｉ— ｃｉｅｎｔ ｆｂｒ ｍｏｄａｌ ｖｅｃｔｏｒ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ Ｉｎ— ｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｍｏｄａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ． Ｏｒｌａｎｄｏ： ＳＥＭ．１９８２：ｌ１０—１１６． （责任编辑：顾琳）
