弦上驻波实验

目的要求

(1)观察在两端被固定的弦线上形成的驻波现象。了解弦线达到共振和形成稳 定驻波的条件。 (2 )测定弦线上横波的传播速度。

(3)用实验的方法确定弦线作受迫振动时的共振频率与驻波波长，张力和弦线 线密度之间的关系。

(4 )对(3 )中的实验结果用对数坐标纸作图，用最小二乘法＜乍线性拟合和处理 数据z并给出结论。

仪器用具

弦音计装置一套(包括驱动线圈和探测器线圈各一个，lKg誌码和不同密 度的吉他线，信号发生器，数字示波器，千分尺，米尺)。

实验原理：

1.

横波的波速

横波沿弦线传播时,在维持弦线张力不变的情况下,横波的传播速度#与张 力FT及弦线的线密度(单位长度的质量)Q之间的关系为：

2. 两端固定弦线上形成的驻波

考虑两列振幅频率相同有固定相位差传播方向相反的间谐波=

Acos（kx-u）t- 0）和 〃2（X f） = Acos（kx+ajf）M中 k 为波数卩为〃i 与 s 之间 的相位差養加其合成运动为：

U（X, f ） = \"1（工,t） +

（）= 24 cos（ kx — —） cos（u?Z + —）

由上可知，时间和空间部分是分离的,某个X点振幅不随时间改变：

A（x） = 2-‘lcos （屁:一寺）|

振幅最大的点称为波腹,振幅为零的点,为波节，上述运动状态为驻波。驻 波中振动的相位取决于cos伙X-（P/2）因子的正负，它解过波节变号一次。所 以,相邻波长之间各点具有相同的相位,波节两侧的振动相位相反,即相差相位忑 对两端固定的弦（长为L）,任何时刻都有:

（«] + \"2）L=o = 0,则 cos（-寺）=0

■ 仙 + U2）\\X=L = 0,则cos（kL - y） = 0

由上式知,（p确定后,贝I」有kL = nn（n = 1, 2, 3, 4）或入二2 £ ,驻波的频 率为：

£

3 kv V f=

2^ = ^=n2L.

仏三讪三说=（金）

式中fl为基频,fn （ n>l）为n次谐波。

3. 共振条彳牛：对于两端固定的弦线上的每一列波在到达弦的另一端时都被反射, 通常多列反射波不总是同相位,并且丞加后幅度小。然而在某些确定的振动频

率下时，所有的反射波具有相同的相位时，就会产生很大的振幅，这些频率 称为共振频

率。通常波长满足下列条件：

3 11

实验装置

1.

实验装置的主体

弦音计装置由jitaxian f固定吉他弦的支架和基座#琴码z磋码支架f驱动

1 2 3 4 5

2. 信号发生器：

低功率信号发生器，型号DF1027B ,输出信号的频率从10Hz到ImH乙 3.

数字示波器：

型号为SS7802A ,双通道显示。

实验内容

1. 认识实验仪器,了解各部分功能,并进行实验前的调节。

2. 用三通接头将驱动线圈分别与信号发生器和示波器的一个通道连接,将 探测线圈连接到示波器的另一通道。

(2 )测量弦的长度和质量,求得线密度

(3 )诲圣T = 3mg(m = 1呦,L = 60.0c/n ,算得不同门值(即波腹数)时的 频率产理，然后实验测得相J宜的/•测,并求出相应的波速,不曜论值t液。 (3 )选择不同的L值(从40cm-70cm选择5-6个点僅出不同L值时的频率 f理然后实验测得相应的

数据与表格:

(1) 弦线的密度

do=l.O25mm

M=2.35g p=4.714xlO-3Kg/m

d 二 1.057mm L 二49.85cm

⑵f-n关系

L 二 60.0c

T=3Mg

ve=78.97m/s

z A ZC/ \\ ・z /亠、 AR 21 r QQ HQ 1 9A 9 1 22 2 9R4 9 A 9 4 1 A A Q A 2 2 4 n 7R A 7R 7 7R R 7Q Q 7R Q 7R 8 1 QI G 1 Q7 AQ r A 厂 Q9Q 2 25 QI A A 2\" Q

( (3) f-T关系

n = l T(Mg) 1 2 3 4 5 L=60.0cm Fc (Hz) 38.00 53.73 65.81 75.99 84.96 Fe (Hz) 38.37 52.81 .59 73.96 77.88 A(%) 1.0 1.7 1.9 2.7 83 Fe2 1472.26 2788.90 4171.87 5470.08 6065.29 1.00 1. 2.83 3.71 4.12 T (4)f・L关系

n = l L(cm) 40.0 43.0 47.0 51.0 56.0 T=3Mg Fc (Hz) 98.72 91.83 84.01 77.42 70.51 Fe (Hz) 95.86 .42 82.05 75.03 69.25 A(%) 2.9 2.6 2.3 3.1 1.8 Infe 4.56 4.49 4.41 4.32 4.24 0.88 0.81 0.72 0.63 0.55 InL 数据处理和结果

1. f・n关系

波速理论值为78.97m/s ,实际测得的波速平均值为75.8m/so测量值与理论值有 所偏差，但考虑此次实验的精度■此结果还是较合理的。 f・n关系图如下:

n

从图中可以看出，数据呈现了很好的线性关系，线性因子在0.9999以上，由斜率 可得到fo二63・3Hz ,与理论值有一定的偏差，但仍在允许范围10%以内。

2. f・T关系。

仁T\"的关系作图如下：

40・

10 Equati ony = a ♦ b*x

Wteight No Weight) n Residual Sum of 9.76051 Squares

Pearson's r Adj R-Square

f測

0 99531

0.98753

Value Standard Erro

Intercept 6.13848 3 20991 Slope 33.0358 185324

-■- f 测 Linear 2.4

60-

1.2 16 20 2.2

TV2(Mg)

此图的线性关系仍较为明显，但线性相关因子较上图稍差。并且从图可明显看 出,最后一组数据的偏差较明显。

若不考虑最后一组数据，作图如下:

(ZH) f 80-

Equation Wesght Residual Sum

of Squares Pearson^ r

—■— f 测 L

2.4

此时线性因子在0.999以上，具有很好的线性关系。这说明拉力增大到一定程度 时，误差也会较大幅度地增大。 3. f-L关系：

单纯做f・L关系如下图：

由于f与L并非线性关系,所以上图价值不大。本实验为了排除琴码处拉力的竖直

分量造成的误差，而选择用Inf和InL作为变量，作图如下:

InL

由上图可以看出,数据的线性关系非常好，线性因子在实验精确度内为lo这既验 证了 f与L之间的关系,又说明这组数据是非常好的。

I 1 I 1 I 1 I ' I 1 I 1 I 1.0 1.2 1.4

1.6 1.8 2.0 2.2

T\" (Mg)