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西宁市第四高级中学2019届高三第四次模拟试卷
数 学（理 科）
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A．
B．
，
C．
，则 D．
=（ ）
2．复数35i,1i和2ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为（ ）. A．5 B．4 C．3
D．2
3．已知实数
x0满足x2y0，则
yx1 D． -1
的最小值为（ ）
A． 0 B． C． 4．函数
的图象是( )
A． B． C． D．
sinCsin(AB)3sin2B．5．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，若
CA．
3，则
a（ ） b111 B．3 C．或3 D．3或 224的展开式中,含的项的系数是（ ） C．
D．
6．在二项式A．
B．
7．已知函数A． C．
，则（ ）
的最小正周期为π，最大值为4 的最小正周期为
，最大值为4
的最小正周期为π，最大值为3 B． 的最小正周期为
，最大值为3 D．
8．右图给出的是计算是（ ）
1111…的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件24620A．i10 B．i10 C．i11 D．i11
9．若函数ysinx(0,)在区间，π的简图如右
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图所示, 则,的值分别是（ ）
2
33112C．, D．,
2323A．2, B．2,10．平行四边形ABCD中， AB4,AD2,ABAD4, 点P在边CD上，则PAPB的取值范围是
A． [-1,8] B． 1, C． [0,8] D． [-1,0]
11．有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ）
A． 8种 B． 16种 C． 32种 D． 48种 12．如图，在直三棱柱别在A．
，
的中点，则异面直线
中，与
，
，，分
所成角的余弦值为（ ）
55103 B． — C． D． 5510312xblnx在1,上是减函数，则b的取值范围是__________． 2在
方向上的投影为________．
二、填空题(5×4＝20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13．若fx14．等边
的边长为2，则
x2y2315．已知椭圆C:221ab0的左右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直
ab3线l交C于A、B两点．若AF1B的周长为43，则C的方程为__________． 16．已知函数fx2xsinx，若正实数a,b满足faf2b10，则小值是__________．
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
14的最ab17.（本小题满分12分）已知正项数列是公差为2的等差数列，且成等比数列.
（1）求数列
的通项公式； （2）求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥中,，
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底面为梯形，，，且
; （2）求二面角
的余弦值.
，.
（1）求证：
19.（本小题共12分）今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．
（l）求每个家庭能中签的概率；
（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望.
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20.（本小题共12分）已知函数fxxlnx. （1）求曲线yfx在点1,f1处的切线方程； （2）求fx的单调区间； （3）若对于任意x,e，都有fxax1，
e求实数a的取值范围.
21.（本小题共12分）已知抛物线C： y22px(p0)，直线l:xy20与抛物线C交于A,B两点. （1）若直线l过抛物线C的焦点，求AB. （2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点M和N，求p的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题共10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》
1已知直线（为参数），曲线（为参数）.(1）线与曲线的
普通方程； (2)
，若直线与曲线相交于
两点（点在点的上方），求
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的值.
23．（本小题共10分）《选修4-5：不等式选讲》fx2x2x5.
（1）求函数fx的最小值m； （2）若不等式xax2m恒成立，求实数a的取值范围.
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数学（理科）四模答案
一、单选题 1．D 8．B
2．A 9．A
3．D
4．B 11.B
5．C
6．D
7．B
10．A 12．C
二、填空题 13．
14．
15．三、解答题 17．（1）
16．
；（2）
的两个方程，联立
，
分析：（1）利用已知条件可列出解出
，从而再由
是等差数列得通项公式；
（2）数列的前项和可用错位相减法求得.
是公差为2的等差数列，所以
，
详解：（1）因为数列则又解得所以故
（2）由（1）得所以所以即
. ，
成等比数列，所以或
，
为正项数列，所以，
.
，因为数列
， ，
，
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故18． （1）
试题解析：（1）连结∵又 ∵
，
, ∴
∴
∥平面
,交， ∴
于点,连结
，
.
，
∴ 在△BPD中，
（2）方法一：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.
设，则，，，，．
设为平面的一个法向量，
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则，，∴，
解得，∴．
设为平面的一个法向量，则，，
又，，∴，
解得，∴
∴二面角
方法二：在等腰Rt
的余弦值为．
中，取中点，连结
，则
∵面在平面得∴
⊥面，面面=，∴平面，由
． 、
，
内，过作平面
，故
直线于，连结
． 的平面角．
就是二面角
在中，设，，，
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，
由∴
，
可知：
∽．
， ，
， 代入解得：
在中，，
∴，．
∴二面角（2）. 19.(1)
的余弦值为．
详解：(1) 因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的， 所以每个家庭能中签的概率
.
（2）据题意知，的所有可能取值是0，1，2
，
的分布列为
，
的数学期望(2) 20．（1）
；（2）
的增区间是
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.
；
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递减区间是；（3）.
21．(1)16;(2) 的取值范围是.
. 22． (1)
,
.
23．（1）（2）
或
.
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