匀变速直线运动公式的推导

① 速度位移公式：vt2v02=2as ② 位移公式：s=v0tat2 ③ 位移中点的瞬时速度公式：vs22vt2v0 212④ 中间时刻的瞬时速度：vt=

2v0vt1v0at=v（某段时间内的平均22速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度） ⑤ 末速度公式：vtv0at ⑥ 加速度公式：avtv0 t⑦ 任意两个连续相等的时间内的位移差公式：x=aT2

⑧ 初速度为0时，那么末速度v=at，有1T末、2T末、3T末……的瞬时速度比为自然数比

⑨ 初速度为0时，那么位移sat2，有1T内、2T内、3T内……的位移比为自然数的平方比

同时还有第1个T内位的移比第2个T内的位移比第3个T内的位移……即位移差之比为奇数比

⑩从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比，有第1段位移的用时比第2段位移的用时比第3段位移的用时……即时差比为

12nn1的比

同时还有前一个位移所用时间比前二个位移所用时间比前三个位移所用时……即位移用时比为自然数开根比

同时还有第一段位移未、第二段位移未、第三段位移未……的瞬时速度比为自然数开根比

1

-

匀变速直线运动公式的推导

加速度即为一次函数图象的斜率；加速度的方向与斜率的正负一致 1、由速度公式和位移公式可以推导出的公式

22①vtv0=2as

1222222vt2v0=v0atv0=2v0atat=2av0tat=2as

2位移中点的瞬时速度 ∵vv2t20=

22vt2v0svt2v0 2as ∴s==

2a4a2②设位移中点瞬时速度是vs

22vt2v0vv222as2vv∵vsv0== ∴vs=vs=2 2222222t202t20③设初速度是v0,加速度a,时间是t

12at 2s1平均速度v==v0at

t2因为位移s=v0t因为中间时刻的瞬时速度vt=v0at=v02121at=v 2所以某段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度

④x=aT（做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间内的位移差为定值。设加速度为a，连续相等的时间为T，位移差为x）

证明：设第1个T时间的位移为x1；第2个T时间的位移为x2……第n个T时间的位移为

2xn

12at 212得：x1=v0TaT

21132x2=v02Ta2Tv0TaT2=v0TaT2

222112n1222xn=v0nTanTv0n1Tan1T=v0TaT

222由x=v0t2

-

2∴x=x2x1=x3x2=xnxn1=aTa=

x T22 ①因为初速度是0，那么末速度v=at

1T末、2T末、3T末……瞬时速度为aT,2aT,3aT…… 所以瞬时速度的比为

v1：v2：v3……＝1：2：3：……：n ②s=

12at 2所以1T内、2T内、3T内……nT内位移 为

12111222at,a2t, a3t……ant 22222

2

2

2

那么他们的比为

S1：S2：S3：……：sn＝1：2：3：……：n ③第一个T内位移=s1=

12aT （初速度为0） 2112322第二个T内位移=s2s1=a2TaT=aT （初速度为at）

222112252第三个T内位移=s3s2=a3Ta2T=aT （初速度为2at）

222……

第n个T内位移=snsn1=

11222n1（2n-1）at] anTan1T=aT2[初速度为

222所以第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内的位移之比为： SⅠ：SⅡ：SⅢ：……：sn＝1:3:5:……:2n1

④从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比 设每一个位移为s 对第一个s有s=

2s12 at1t1=a24s12=2t1 aT2T2=a221t1

对前两个s有2s=

因此t2=T2t1=

对前3个s,有3s=因此t3=T3T2=

6s12aT3T3==3t1

a232t1

对前4个s,有4s=3

8s12aT4T4==4t1

a2 -

因此t4=T4T3=4t1-3t1=

43t1

有第1段位移所用时间比第2段位移所用时间 得t1：t2：t3：……=1：

21：

32：

43：……

nn1

有前一个位移所用时间比前二个位移所用时间

得t1：T2：T3：T4：……=1：2：3：……n

对于从静止开始通过连续相等的位移有第一个s末、第二个s末、……第n个s末的速度之比：

v1：v2：v3……＝1：2：3：……n

22∵vtv0=2as 2∴vt1=2asvt1=2as 2 vt2=4asvt2=4as

…… 逐差法

是把连续的数据（必须是偶数个）s1、s2、s3……sn从中间对半分成两组，每组有m=

n2个数据，前一半为s1、s2、s3……sm，后一半为sm1、sm2……sn，将后一半的第一个数据减去前一半的第一个数据得

s1=sm1- s1，s2=sm2- s2……sm=sn-sm，则由这些差值求得加速度分别为：

a1=

sms1s2aa，=……=取这样得到的加速度的平均值 m2mT2mT2mT2a=

a1a2ams1s2sm= 22mmT

=

sm1s1sm2s2snsmm2T2=

sm1sm2sns1s2smmT22

逐差法的应用

如果有数据三组：s1，s2，s3，则加速度表达式为a=

s3s12T2，即舍去第二组数据。如

4

-

果有四组数据s1，s2，s3，s4，则加速度表达式为a=

s3s4s1s222T2。如果有五组

数据s1，s2，s3，s4，s5，则加速度表达式为a=

s3s4s1s26T2，即舍去了中间一

组数据。有六组数据s1，s2，s3，s4，s5，s6，则加速度表达式为

a=

s4s5s6s1s2s332T2

小结

1、对于时间来说，有时间、时间段和时刻，研究时，其相邻差恒等

①1T内、2T内是指连续时间内，对应的问题是连续时间内的位移，相邻时间差恒等，有

s=v0t12at 2当v0=0时，前后时间内的位移比等于自然数的平方比，（助记连续时间的位移比是自平比）

②第1个T时间、第2个T时间或第1个T时间内、第2个T时间内，是指某1时间段，相邻时间段恒等。对应的问题是位移，这一时间段的位移有

x=x2x1

相邻位移比为奇数比即第一个t秒内、第二个t秒内、……第n个t秒内的位移比等于奇数比应用比较广泛，应熟记（时间段的位移比是奇数比）

③1T末、2T末是指某1时刻，相邻时刻差恒等，对应的问题是瞬时速度，v0、vt即为瞬时速度，v0=0时，相邻瞬时速度比为自然数比（时刻速度比是自然比） 2、对于位移来说，研究时，位移由静止开始连续相等

①第1段位移所用时间比第2段位移所用时间（孤立位移用时比根大减根小） 得t1：t2：t3：……=1：

21：

32：

43：……

nn1

②前一个位移所用时间比前二个位移所用时间（连续位移用时比根自比）

得t1：T2：T3：T4：……=1：2：3：……n此特点应用比较广泛，应熟记 ③第一个s末、第二个s末、……第n个s末的速度之比（位移末的速度比根自比） 得v1：v2：v3……＝1：2：3：……n

匀变速直线运动的解题思路

1、加速度恒等不变，加速度等于0时，运动为匀速直线运动，速度、位移保持不变，问题简单，解题时应首先考虑加速度

2、时间、时间段和时刻对应的相邻差恒等，解题时应理解所给的时间条件或所求时间条件是什么时间概念，涉及瞬时时间时应想到中间时刻瞬时速度和中心位移时刻瞬时速度，5

-

时刻比较好理解，时间是连续的，时间段是孤立的，速度只与时刻有关，时间和时间段与位移有关

3、位移应分清是连续的还是孤立的，研究位移时初速度决定位移是连续的还是孤立的，应充分理解

4、相同时间的位移不同，相同位移所用时间不同

物体运动了10秒,前进了180米,最后1秒位移是多少？

1s=at2 2180=50a a=3.6 前9秒位移=

13.6×92=145.8m 2所以最后1秒位移=180-145.8=35.2m 6

-

竖直上抛运动

竖直上抛的物体只受重力作用，竖直上抛运动的加速度大小为g，方向竖直向下，初速度

v00，加速度为-g（通常规定以初速度v0的方向为正方向）

竖直上抛运动适应规律 速度公式：vt=v0gt 位移公式：h=v0t12gt 222速度位移关系式：vtv0=2gh

竖直上抛运动的处理方法 ①分段处理竖直上抛运动

竖直上升过程：初速度为v00，加速度为g的匀减速直线运动 基本规律：vt=v0gt h=v0t竖直下降过程：自由落体运动 基本规律：vt=gt h=

122=2gh gt vt2v0212gt vt2=2gh 2②整体处理竖直上抛运动

设抛出时刻t=0，向上的方向为下方向，抛出位置h=0，则有： 若vt＞0表明物体处于上升阶段

vtv0gt 若vt=0表明物体上升到最大高度

若vt＜0表明物体在抛出点下方

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