2019年全国各地中考数学试卷精选分类汇编 考点24平行四边形

2018中考数学试题分类汇编：考点24 平行四边形

一．选择题（共9小题）

1．（2018•宁波）如图、在▱ABCD中、对角线AC与BD相交于点O、E是边CD的中点、连结OE．若∠ABC=60°、∠BAC=80°、则∠1的度数为（ ）

A．50° B．40° C．30° D．20°

【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数、再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．

【解答】解：∵∠ABC=60°、∠BAC=80°、 ∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°、

∵对角线AC与BD相交于点O、E是边CD的中点、 ∴EO是△DBC的中位线、 ∴EO∥BC、 ∴∠1=∠ACB=40°． 故选：B．

2．（2018•宜宾）在▱ABCD中、若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E、则△AED的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【分析】想办法证明∠E=90°即可判断．

【解答】解：如图、∵四边形ABCD是平行四边形、 ∴AB∥CD、

∴∠BAD+∠ADC=180°、

∵∠EAD=∠BAD、∠ADE=∠ADC、 ∴∠EAD+∠ADE=（∠BAD+∠ADC）=90°、 ∴∠E=90°、

∴△ADE是直角三角形、

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故选：B．

3．（2018•黔南州）如图在▱ABCD中、已知AC=4cm、若△ACD的周长为13cm、则▱ABCD的周长为（ ）

A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm

【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．

【解答】解：∵AC=4cm、若△ADC的周长为13cm、 ∴AD+DC=13﹣4=9（cm）． 又∵四边形ABCD是平行四边形、 ∴AB=CD、AD=BC、

∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm． 故选：D．

4．（2018•海南）如图、▱ABCD的周长为36、对角线AC、BD相交于点O、点E是CD的中点、BD=12、则△DOE的周长为（ ）

A．15 B．18 C．21 D．24

【分析】利用平行四边形的性质、三角形中位线定理即可解决问题； 【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36、 ∴BC+CD=18、

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∵OD=OB、DE=EC、 ∴OE+DE=（BC+CD）=9、 ∵BD=12、 ∴OD=BD=6、

∴△DOE的周长为9+6=15、 故选：A．

5．（2018•泸州）如图、▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O、E是AB中点、且AE+EO=4、则▱ABCD的周长为（ ）

A．20 B．16 C．12 D．8

【分析】首先证明：OE=BC、由AE+EO=4、推出AB+BC=8即可解决问题； 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形、 ∴OA=OC、 ∵AE=EB、 ∴OE=BC、 ∵AE+EO=4、 ∴2AE+2EO=8、 ∴AB+BC=8、

∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16、 故选：B．

6．（2018•眉山）如图、在▱ABCD中、CD=2AD、BE⊥AD于点E、F为DC的中点、连结EF、BF、下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF、其中正确结论的个数共有（ ）

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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】如图延长EF交BC的延长线于G、取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG、BE⊥BG、四边形BCFH是菱形即可解决问题；

【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G、取AB的中点H连接FH．

∵CD=2AD、DF=FC、 ∴CF=CB、 ∴∠CFB=∠CBF、 ∵CD∥AB、 ∴∠CFB=∠FBH、 ∴∠CBF=∠FBH、

∴∠ABC=2∠ABF．故①正确、 ∵DE∥CG、 ∴∠D=∠FCG、

∵DF=FC、∠DFE=∠CFG、 ∴△DFE≌△FCG、 ∴FE=FG、 ∵BE⊥AD、 ∴∠AEB=90°、 ∵AD∥BC、

∴∠AEB=∠EBG=90°、 ∴BF=EF=FG、故②正确、 ∵S△DFE=S△CFG、

∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF、故③正确、 ∵AH=HB、DF=CF、AB=CD、

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∴CF=BH、∵CF∥BH、 ∴四边形BCFH是平行四边形、 ∵CF=BC、

∴四边形BCFH是菱形、 ∴∠BFC=∠BFH、

∵FE=FB、FH∥AD、BE⊥AD、 ∴FH⊥BE、

∴∠BFH=∠EFH=∠DEF、 ∴∠EFC=3∠DEF、故④正确、 故选：D．

7．（2018•东营）如图、在四边形ABCD中、E是BC边的中点、连接DE并延长、交AB的延长线于点F、AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形、你认为下面四个条件中可选择的是（ ）

A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF

【分析】正确选项是D．想办法证明CD=AB、CD∥AB即可解决问题； 【解答】解：正确选项是D．

理由：∵∠F=∠CDF、∠CED=∠BEF、EC=BE、 ∴△CDE≌△BFE、CD∥AF、 ∴CD=BF、 ∵BF=AB、 ∴CD=AB、

∴四边形ABCD是平行四边形． 故选：D．

8．（2018•玉林）在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC、从以上选择两个

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条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（ ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

【分析】根据平行四边形的判定方法中、①②、③④、①③、③④均可判定是平行四边形． 【解答】解：根据平行四边形的判定、符合条件的有4种、分别是：①②、③④、①③、③④． 故选：B．

9．（2018•安徽）▱ABCD中、E、F的对角线BD上不同的两点．下列条件中、不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ） A．BE=DF

B．AE=CF

C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF

【分析】连接AC与BD相交于O、根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC、OB=OD、再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形、只要证明得到OE=OF即可、然后根据各选项的条件分析判断即可得解．

【解答】解：如图、连接AC与BD相交于O、 在▱ABCD中、OA=OC、OB=OD、

要使四边形AECF为平行四边形、只需证明得到OE=OF即可； A、若BE=DF、则OB﹣BE=OD﹣DF、即OE=OF、故本选项不符合题意； B、若AE=CF、则无法判断OE=OE、故本选项符合题意；

C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等、从而得到OE=OF、故本选项不符合题意；

D、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等、从而得到DF=BE、然后同A、故本选项不符合题意； 故选：B．

二．填空题（共6小题）

10．（2018•十堰）如图、已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O、且AC=8、BD=10、AB=5、

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则△OCD的周长为 14 ．

【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题； 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形、 ∴AB=CD=5、OA=OC=4、OB=OD=5、 ∴△OCD的周长=5+4+5=14、 故答案为14．

11．（2018•株洲）如图、在平行四边形ABCD中、连接BD、且BD=CD、过点A作AM⊥BD于点M、过点D作DN⊥AB于点N、且DN=3∠PAB、则AP= 6 ．

、在DB的延长线上取一点P、满足∠ABD=∠MAP+

【分析】根据BD=CD、AB=CD、可得BD=BA、再根据AM⊥BD、DN⊥AB、即可得到DN=AM=3、

依据∠ABD=∠MAP+∠PAB、∠ABD=∠P+∠BAP、即可得到△APM是等腰直角三角形、进而得到AP=

AM=6．

【解答】解：∵BD=CD、AB=CD、 ∴BD=BA、

又∵AM⊥BD、DN⊥AB、 ∴DN=AM=3

、

又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB、∠ABD=∠P+∠BAP、 ∴∠P=∠PAM、

∴△APM是等腰直角三角形、 ∴AP=

AM=6、

故答案为：6．

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12．（2018•衡阳）如图、▱ABCD的对角线相交于点O、且AD≠CD、过点O作OM⊥AC、交AD于点M．如果△CDM的周长为8、那么▱ABCD的周长是 16 ．

【分析】根据题意、OM垂直平分AC、所以MC=MA、因此△CDM的周长=AD+CD、可得平行四边形ABCD的周长．

【解答】解：∵ABCD是平行四边形、 ∴OA=OC、 ∵OM⊥AC、 ∴AM=MC．

∴△CDM的周长=AD+CD=8、

∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16． 故答案为16．

13．（2018•泰州）如图、▱ABCD中、AC、BD相交于点O、若AD=6、AC+BD=16、则△BOC的周长为 14 ．

【分析】根据平行四边形的性质、三角形周长的定义即可解决问题； 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形、 ∴AD=BC=6、OA=OC、OB=OD、 ∵AC+BD=16、 ∴OB+OC=8、

∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14、 故答案为14．

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14．（2018•临沂）如图、在▱ABCD中、AB=10、AD=6、AC⊥BC．则BD= 4

．

【分析】由BC⊥AC、AB=10、BC=AD=6、由勾股定理求得AC的长、得出OA长、然后由勾股定理求得OB的长即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形、 ∴BC=AD=6、OB=D、OA=OC、 ∵AC⊥BC、 ∴AC=∴OC=4、 ∴OB=∴BD=2OB=4故答案为：4

15．（2018•无锡）如图、已知∠XOY=60°、点A在边OX上、OA=2．过点A作AC⊥OY于点C、以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC、点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点、过点P作PD∥OY交OX于点D、作PE∥OX交OY于点E．设OD=a、OE=b、则a+2b的取值范围是 2≤a+2b≤5 ．

． =2

、 =8、

【分析】作辅助线、构建30度的直角三角形、先证明四边形EODP是平行四边形、得EP=OD=a、在Rt△HEP中、∠EPH=30°、可得EH的长、计算a+2b=2OH、确认OH最大和最小值的位置、可得结论．

【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H、

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∵PD∥OY、PE∥OX、

∴四边形EODP是平行四边形、∠HEP=∠XOY=60°、 ∴EP=OD=a、

Rt△HEP中、∠EPH=30°、 ∴EH=EP=a、

∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH、

当P在AC边上时、H与C重合、此时OH的最小值=OC=OA=1、即a+2b的最小值是2； 当P在点B时、OH的最大值是：1+=、即（a+2b）的最大值是5、 ∴2≤a+2b≤5．

三．解答题（共12小题）

16．（2018•福建）如图、▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O、EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F．求证：OE=OF．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形、可得OA=OC、AD∥BC、继而可证得△AOE≌△COF（ASA）、则可证得结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形、 ∴OA=OC、AD∥BC、 ∴∠OAE=∠OCF、 在△OAE和△OCF中、

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、

∴△AOE≌△COF（ASA）、 ∴OE=OF．

17．（2018•临安区）已知：如图、E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点、AE=CF． 求证：（1）△ADF≌△CBE； （2）EB∥DF．

【分析】（1）要证△ADF≌△CBE、因为AE=CF、则两边同时加上EF、得到AF=CE、又因为ABCD是平行四边形、得出AD=CB、∠DAF=∠BCE、从而根据SAS推出两三角形全等； （2）由全等可得到∠DFA=∠BEC、所以得到DF∥EB． 【解答】证明：（1）∵AE=CF、 ∴AE+EF=CF+FE、即AF=CE． 又ABCD是平行四边形、 ∴AD=CB、AD∥BC． ∴∠DAF=∠BCE． 在△ADF与△CBE中

、

∴△ADF≌△CBE（SAS）．

（2）∵△ADF≌△CBE、 ∴∠DFA=∠BEC． ∴DF∥EB．

18．（2018•宿迁）如图、在▱ABCD中、点E、F分别在边CB、AD的延长线上、且BE=DF、EF

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分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG=CH．

【分析】利用平行四边形的性质得出AF=EC、再利用全等三角形的判定与性质得出答案． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形、 ∴AD=BC、∠A=∠C、AD∥BC、 ∴∠E=∠F、 ∵BE=DF、 ∴AF=EC、 在△AGF和△CHE中

、

∴△AGF≌△CHE（ASA）、 ∴AG=CH．

19．（2018•青岛）已知：如图、平行四边形ABCD、对角线AC与BD相交于点E、点G为AD的中点、连接CG、CG的延长线交BA的延长线于点F、连接FD． （1）求证：AB=AF；

（2）若AG=AB、∠BCD=120°、判断四边形ACDF的形状、并证明你的结论．

【分析】（1）只要证明AB=CD、AF=CD即可解决问题；

（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形、 ∴AB∥CD、AB=CD、 ∴∠AFC=∠DCG、

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∵GA=GD、∠AGF=∠CGD、 ∴△AGF≌△DGC、 ∴AF=CD、 ∴AB=AF．

（2）解：结论：四边形ACDF是矩形． 理由：∵AF=CD、AF∥CD、 ∴四边形ACDF是平行四边形、 ∵四边形ABCD是平行四边形、 ∴∠BAD=∠BCD=120°、 ∴∠FAG=60°、 ∵AB=AG=AF、

∴△AFG是等边三角形、 ∴AG=GF、 ∵△AGF≌△DGC、 ∴FG=CG、∵AG=GD、 ∴AD=CF、

∴四边形ACDF是矩形．

20．（2018•无锡）如图、平行四边形ABCD中、E、F分别是边BC、AD的中点、求证：∠ABF=∠CDE．

【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：在▱ABCD中、 AD=BC、∠A=∠C、

∵E、F分别是边BC、AD的中点、 ∴AF=CE、

在△ABF与△CDE中、

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∴△ABF≌△CDE（SAS） ∴∠ABF=∠CDE

21．（2018•淮安）已知：如图、▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O、过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE=CF．

【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO、AD∥BC、进而得出∠EAC=∠FCO、再利用ASA求出△AOE≌△COF、即可得出答案．

【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O、 ∴AO=CO、AD∥BC、 ∴∠EAC=∠FCO、 在△AOE和△COF中

、

∴△AOE≌△COF（ASA）、 ∴AE=CF．

22．（2018•南通模拟）如图、▱ABCD中、点E是BC的中点、连接AE并延长交DC延长线于点F．

（1）求证：CF=AB；

（2）连接BD、BF、当∠BCD=90°时、求证：BD=BF．

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【分析】（1）欲证明AB=CF、只要证明△AEB≌△FEC即可； （2）想办法证明AC=BD、BF=AC即可解决问题； 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形、 ∴AB∥DF、 ∴∠BAE=∠CFE

∵AE=EF、∠AEB=∠CEF、 ∴△AEB≌△FEC、 ∴AB=CF．

（2）连接AC．

∵四边形ABCD是平行四边形、∠BCD=90°、 ∴四边形ABCD是矩形、 ∴BD=AC、 ∵AB=CF、AB∥CF、

∴四边形ACFB是平行四边形、 ∴BF=AC、 ∴BD=BF．

23．（2018•徐州）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O、给出下列四个论断： ①OA=OC、②AB=CD、③∠BAD=∠DCB、④AD∥BC．

请你从中选择两个论断作为条件、以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论、完成下列各题：

①构造一个真命题、画图并给出证明； ②构造一个假命题、举反例加以说明．

【分析】如果①②结合、那么这些线段所在的两个三角形是SSA、不一定全等、那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合、和①②结合的情况相同；如果①④结合、由对边平行

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可得到两对内错角相等、那么AD、BC所在的三角形全等、也得到平行的对边也相等、那么是平行四边形；最易举出反例的是②④、它有可能是等腰梯形． 【解答】解：（1）①④为论断时： ∵AD∥BC、

∴∠DAC=∠BCA、∠ADB=∠DBC． 又∵OA=OC、 ∴△AOD≌△COB． ∴AD=BC．

∴四边形ABCD为平行四边形．

（2）②④为论断时、此时一组对边平行、另一组对边相等、可以构成等腰梯形．

24．（2018•大庆）如图、在Rt△ABC中、∠ACB=90°、D、E分别是AB、AC的中点、连接CD、过E作EF∥DC交BC的延长线于F． （1）证明：四边形CDEF是平行四边形；

（2）若四边形CDEF的周长是25cm、AC的长为5cm、求线段AB的长度．

【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC、2DE=BC、然后结合已知条件“EF∥DC”、利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；

（2）根据在直角三角形中、斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC、即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC、故BC=25﹣AB、然后根据勾股定理即可求得；

【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点、F是BC延长线上的一点、 ∴ED是Rt△ABC的中位线、

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∴ED∥FC．BC=2DE、 又 EF∥DC、

∴四边形CDEF是平行四边形；

（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形； ∴DC=EF、

∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线、 ∴AB=2DC、

∴四边形DCFE的周长=AB+BC、

∵四边形DCFE的周长为25cm、AC的长5cm、 ∴BC=25﹣AB、

∵在Rt△ABC中、∠ACB=90°、 ∴AB=BC+AC、即AB=（25﹣AB）+5、 解得、AB=13cm、

25．（2018•孝感）如图、B、E、C、F在一条直线上、已知AB∥DE、AC∥DF、BE=CF、连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．

2

2

2

2

2

2

【分析】由AB∥DE、AC∥DF利用平行线的性质可得出∠B=∠DEF、∠ACB=∠F、由BE=CF可得出BC=EF、进而可证出△ABC≌△DEF（ASA）、根据全等三角形的性质可得出AB=DE、再结合AB∥DE、即可证出四边形ABED是平行四边形． 【解答】证明：∵AB∥DE、AC∥DF、 ∴∠B=∠DEF、∠ACB=∠F． ∵BE=CF、 ∴BE+CE=CF+CE、 ∴BC=EF．

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在△ABC和△DEF中、∴△ABC≌△DEF（ASA）、 ∴AB=DE． 又∵AB∥DE、

∴四边形ABED是平行四边形．

26．（2018•岳阳）如图、在平行四边形ABCD中、AE=CF、求证：四边形BFDE是平行四边形．

、

【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形、判断出AB∥CD、且AB=CD、然后根据AE=CF、判断出BE=DF、即可推得四边形BFDE是平行四边形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形、 ∴AB∥CD、且AB=CD、 又∵AE=CF、 ∴BE=DF、

∴BE∥DF且BE=DF、

∴四边形BFDE是平行四边形．

27．（2018•永州）如图、在△ABC中、∠ACB=90°、∠CAB=30°、以线段AB为边向外作等边△ABD、点E是线段AB的中点、连接CE并延长交线段AD于点F． （1）求证：四边形BCFD为平行四边形； （2）若AB=6、求平行四边形BCFD的面积．

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【分析】（1）在Rt△ABC中、E为AB的中点、则CE=AB、BE=AB、得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC、得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°、得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD、又因为∠BAD=∠ABC=60°、所以AD∥BC、即FD∥BC、则四边形BCFD是平行四边形． （2）在Rt△ABC中、求出BC、AC即可解决问题；

【解答】（1）证明：在△ABC中、∠ACB=90°、∠CAB=30°、 ∴∠ABC=60°．

在等边△ABD中、∠BAD=60°、 ∴∠BAD=∠ABC=60°． ∵E为AB的中点、 ∴AE=BE． 又∵∠AEF=∠BEC、 ∴△AEF≌△BEC．

在△ABC中、∠ACB=90°、E为AB的中点、 ∴CE=AB、BE=AB． ∴CE=AE、

∴∠EAC=∠ECA=30°、 ∴∠BCE=∠EBC=60°． 又∵△AEF≌△BEC、 ∴∠AFE=∠BCE=60°． 又∵∠D=60°、 ∴∠AFE=∠D=60°． ∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°、 ∴AD∥BC、即FD∥BC． ∴四边形BCFD是平行四边形．

（2）解：在Rt△ABC中、∵∠BAC=30°、AB=6、 ∴BC=AB=3、AC=∴S平行四边形BCFD=3×

BC=3=9

、 ．

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