高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》知识点总复习有解析

一、选择题

1．在复平面内与复数z（ ） A．1i 【答案】D 【解析】 【分析】

根据复数的运算法则求出z1i，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】 由题zB．1i

C．1i

D．1i

2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为1i2i1i2i2i21i，在复平面对应的点为（1,1）， 1i1i1i2关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i. 故选：D 【点睛】

此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.

2．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是( ) A．直线 C．椭圆 【答案】A 【解析】 【分析】

设zxyi(x、yR)，代入z11iz，求模后整理得z在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】

设zxyi(x、yR)，

B．圆 D．抛物线

x1yi则x1y2＝2y2，1iz1ixyi2y12x2，

x12y1x2，得yx，

所以复数zxyi对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．

3．若复数zA．2 【答案】C 【解析】 【分析】

2i（i为虚数单位），则|z|（ ） 1iB．3

C．5 D．5

根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可. 【详解】

z22(1i)ii12i，|z|12225.故选C. 1i(1i)(1i)【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.

4．在复平面内复数83i、45i对应的点分别为A、B，若复数z对应的点C为线段

AB的中点，z为复数z的共轭复数，则zz的值为（ ） A．61 B．13 C．20 【答案】C 【解析】

由题意知点则

、

的坐标为

、,选C.

，则点

的坐标为

，从而

D．10

，

5．已知复数z满足1izA．1i 【答案】A 【解析】 因为zB．1i

3i，i为虚数单位，则z等于（ ）

C．

11i 22D．

11i 22|3+i|2(1i)1i，所以应选答案A． 1i(1i)(1i)

6．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A．第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

由题意得e2icos2isin2，得到复数在复平面内对应的点(cos2,sin2)，即可作出解答. 【详解】

由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，

∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈

，

∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，

∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】

本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.

7．若12i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则（ ） A．b2,c3 【答案】D 【解析】 【分析】

由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数

B．b2,c1

C．b2,c1

D．b2,c3

1bc0a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项

222b0【详解】

由题意12i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0

∴1+22i﹣2+b2bi+c＝0，即1bc222bi0

1bc0∴，解得b＝﹣2，c＝3 222b0故选：D． 【点睛】

本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题

8．已知复数z满足A．1 【答案】D 【解析】 【分析】

按照复数的运算法则先求出z，再写出z，进而求出z.

1iz2i（其中z为z的共轭复数），则z的值为( ) 1iB．2

C．3 D．5 【详解】

1i(1i)22iQi， 1i(1i)(1i)21i2iz2iiz2izi(2i)12i， 1iiz12i|z|(1)2225.

故选：D 【点睛】

本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.

9．若复数A．13 【答案】A 【解析】 【分析】

由题意首先求得实数a的值，然后求解3ai即可． 【详解】

由复数的运算法则有：

a2iaR为纯虚数，则3ai（ ） 1iB．13

C．10

D．10

a2i(a2i)(1i)a22ai, 1i(1i)(1i)22a20a2i复数， aR为纯虚数，则2a01i即a2,|3ai|32a213. 本题选择A选项. 【点睛】

复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.

10．已知两非零复数z1,z2，若z1z2R，则一定成立的是 A．z1z2R 【答案】D 【解析】 利用排除法：

当z11i,z21i时，z1z2R，而z1z21i2iR，选项A错误，

2z1B．R

z2C．z1z2R

z1D．R

z2z11iiR，选项B错误， z21i当z11i,z222i时，z1z2R，而z1z23iR，选项C错误， 本题选择D选项.

11．已知z是复数，则“z2为纯虚数”是“z的实部和虚部相等”的（ ） A．充分必要条件 C．必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】

设zabi，z2为纯虚数得到ab0，得到答案. 【详解】

设zabi，a,bR，则zab2B．充分不必要条 D．既不充分也不必要条件

222abi，

22ab02ab0，z的实部和虚部相等ab. z为纯虚数2ab0故选：D. 【点睛】

本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.

12．已知zC，zizi2，则z对应的点Z的轨迹为（ ） A．椭圆 【答案】D 【解析】 【分析】

由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z的轨迹. 【详解】

B．双曲线

C．抛物线

D．线段

zizi2的几何意义为复数z对应的点Z到点A0,1和点B0,1的距离之和为2，即ZAZBAB，另一方面，由三角不等式得ZAZBAB.

当且仅当点Z在线段AB上时，等号成立. 因此，点Z的轨迹为线段. 故选：D. 【点睛】

本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

1的共轭复数是 （ ） 1i1111A．i B．i

2222【答案】A 【解析】 【分析】

13．复数

C．1i D．1i

利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数结果. 【详解】 因为

1，进而可得1i11i11i， 1i1i1i22111的共轭复数是i，

221i故选：A. 【点睛】

所以

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

14．设zA．12i 【答案】A 【解析】 【分析】

根据复数的运算法则，求得z12i，再结合共轭复数的概念，即可求解． 【详解】

2i2i，则复数z（ ） 1iB．12i

C．2i

D．2i

2i1i2i2i2i12i， 由题意，可得复数z1i1i1i所以z12i． 故选：A． 【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．

15．若复数zA．1 【答案】A 【解析】 【分析】

ai，且z·i30，则实数a的值等于（ ） 1iB．-1

C．

1 2D．1 2由z·i30可判定z·i3为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】

Qzaiai1ia1a1i， 1i1i1i23所以z·ia1i3a1i42a1ia12，

因为z·i30，所以z·i3为实数，3a10 2i10,符合题意，故选A. 可得a1，a1时,z?【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

16．（2018江西省景德镇联考）若复数z上，则z（ ） A．2 【答案】B 【解析】

分析：化简复数z，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a的值，从而可得结果. 详解：因为复数z所以复数z由复数z可得

B．2

C．1

D．22 a2i在复平面内对应的点在直线xy02a2iai， 22a2ia在复平面内对应的点的坐标为,1， 22a2i在复平面内对应的点在直线xy0上， 2a10a2，z1i, 2z112,故选B.

17．复数zA．z5 C．z的实部与虚部之和为1 【答案】D 【解析】 【分析】

利用复数的四则运算，求得z得到结论． 【详解】 由题意z2i，i是虚数单位，则下列结论正确的是 1iB．z的共轭复数为

31+i 22D．z在复平面内的对应点位于第一象限

13i，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可222i2i1i13i13i， 1i1i1i1i222则z13123210z

zi， ，的共轭复数为()()22222复数z的实部与虚部之和为2，z在复平面内对应点位于第一象限，故选D． 【点睛】

复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数abi(a,bR)的实部为a、虚部为

b、模为a2b2、对应点为(a,b)、共轭为abi．

18．已知复数z1，则下列说法正确的是（ ） 34iB．复数z的虚部为

A．复数z的实部为3 C．复数z的共轭复数为【答案】C 【解析】 【分析】

直接利用复数的基本概念得选项. 【详解】

4i 2534i 2525D．复数的模为1

z134i34i， 34i252525所以z的实部为

34 ， ，虚部为25252234341z的共轭复数为i，模为， 252552525故选C. 【点睛】

该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.

19．已知复数z满足z1i1i，则z （ ） A．i 【答案】B 【解析】

B．1

C．i

D．1

1i1i2iz1i1i，则zi，z1，故选B.

1i1i1i22

20．若复数z满足iz22i（i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A．第一象限 【答案】B 【解析】

分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z的共轭复数，即可得到z在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，QzB．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

22i22ii22i, iiiz22i, 则z的共轭复数z对应的点在第二象限.

故选B.

点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．