海宁市第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

一、选择题

1． 已知α是△ABC的一个内角，tanα=，则cos（α+A．

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

2． 若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=1﹣x，则方程f（x）=log8|x|在[﹣10，10]内的根的个数为（ ） A．12

B．10

C．9

D．8

B．

C．

D．

）等于（ ）

x2y23． 已知直线l：ykx2过椭圆221(ab0)的上顶点B和左焦点F，且被圆

ab45，则椭圆离心率e的取值范围是（ ） x2y24截得的弦长为L，若L5（A） 0， （ B ） 0，5525 （C） 5350， （D） 5450， 5(2i)24． 复数z（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）

i A．-4+3i B．4+3i C．3+4i D．3-4i

【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 5． 已知f（x）=A．﹣1

6． 方程x=A．双曲线 C．双曲线的一部分

，则f（2016）等于（ ）

B．0 C．1 所表示的曲线是（ ） B．椭圆

D．椭圆的一部分

3

D．2

7． 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）

A.yex B.yx C.ylnx D.yx 8． 已知双曲线

﹣

=1的一个焦点与抛物线y2=4

x的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±x，则

该双曲线的方程为（ ） A．

﹣

=1

B．

22﹣y=1 C．x﹣

=1 D．﹣=1

9． 某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ） A．4320 B．2400 C．2160 D．1320

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131411122A、tt B、tt C、tt D、tt

336363311．已知A,B是球O的球面上两点，AOB60，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大

10．已知奇函数f(x)是[1,1]上的增函数，且f(3t)f(t)f(0)，则t的取值范围是（ ） 值为183，则球O的体积为（ ）

A．81 B．128 C．144 D．288

【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．

12．设x，y∈R，且x+y=4，则5x+5y的最小值是（ ） A．9

B．25

C．162

D．50

二、填空题

13．在平面直角坐标系中，a(1,1)，b(1,2)，记(,)M|OMab，其中O为坐标原点，给出结论如下：

①若(1,4)(,)，则1；

②对平面任意一点M，都存在,使得M(,)； ③若1，则(,)表示一条直线； ④(1,)(,2)(1,5)；

⑤若0，0，且2，则(,)表示的一条线段且长度为22． 其中所有正确结论的序号是 ． 14．命题p：∀x∈R，函数

的否定为 ．

15．若双曲线的方程为4x2﹣9y2=36，则其实轴长为 ．

16．正六棱台的两底面边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为 ． 17．函数f（x）=2ax+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是 ．

18．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：（1）f（2x）=2f（x）；（2）当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|，则集合S={x|f（x）=f（34）}中的最小元素是 ．

三、解答题

19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：

为参数），曲线C2：

=1．

（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）射线θ=

（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．

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20．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；

（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点． （1）证明：EF∥平面PAC； （2）证明：AF⊥EF．

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22．已知函数f（x）=sinx﹣2（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[0，

sin2

]上的最小值．

23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=

24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：

（1）直线EF∥平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD．

，求△ABC的面积．

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海宁市第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=， 则

=，又sin2α+cos2α=1，

解得sinα=，cosα=（负值舍去）． 则cos（α+故选B．

【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．

2． 【答案】D

【解析】解：∵函数y=f（x）为 偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x）， ∴偶函数y=f（x） 为周期为4的函数， 由x∈[0，2]时，

f（x）=1﹣x，可作出函数f（x）在[﹣10，10]的图象，

同时作出函数f（x）=log8|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求． 数形结合可得交点个为8， 故选：D．

）=cos

cosα﹣sin

sinα=

×（﹣）=

．

3． 【答案】 B

【解析】依题意，b2,kc2.

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4516,解得d2 55。

111612又因为d，所以解得,k1k254。 1k2设圆心到直线l的距离为d，则L24d2254c2c2120e.故选B． 0e,e2222，所以于是解得55abc1k4． 【答案】A

2(2i)2【解析】根据复数的运算可知zi(2i)23i4，可知z的共轭复数为z=-4+3i，故选A.

i5． 【答案】D

，

【解析】解：∵f（x）=

∴f（2016）=f（2011）=f（2006）=…=f（1）=f（﹣4）=log24=2， 故选：D．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．

6． 【答案】C 【解析】解：x=故选C．

22

两边平方，可变为3y﹣x=1（x≥0），

表示的曲线为双曲线的一部分；

【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想．

7． 【答案】B 【解析】

xx23试题分析：对于A，ye为增函数，yx为减函数，故ye为减函数，对于B，y'3x0，故yx为增函数，对于C，函数定义域为x0，不为R，对于D，函数yx为偶函数，在,0上单调递减，在0,上单调递增，故选B. 8． 【答案】B

2【解析】解：已知抛物线y=4

考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.

x的焦点和双曲线的焦点重合，

则双曲线的焦点坐标为（即c=

，

，0），

又因为双曲线的渐近线方程为y=±x，

222

则有a+b=c=10和=，

解得a=3，b=1． 所以双曲线的方程为：故选B．

2

﹣y=1．

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【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题．

9． 【答案】D

【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（根据分类计数原理，可得388+932=1320种， 故选D．

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．

10．【答案】A 【解析】

﹣

）•

=932

•

=388，

考

点：函数的性质。 11．【答案】D

【解析】当OC平面AOB平面时，三棱锥OABC的体积最大，且此时OC为球的半径．设球的半径为R，则由题意，得114R2sin60R183，解得R6，所以球的体积为R3288，故选D． 323

12．【答案】D

xy

【解析】解：∵5＞0，5＞0，又x+y=4，

xy∴5+5≥2

=2

=2=50．

故选D．

【点评】本题考查基本不等式，关键在于在应用基本不等式时灵活应用指数运算的性质，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】②③④

【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力．

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由ab(1,4)得21，∴，①错误；

124a与b不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；

记aOA，由OMab得AMb，∴点M在过A点与b平行的直线上，③正确；

1

由aba2b得，(1)a(2)b0，∵a与b不共线，∴，∴aba2b(1,5)，

2

∴④正确；

21xy2xy0x33设M(x,y)，则有，∴，∴且x2y60，∴(,)表示的一

11xy0y2xy33条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)，其长度为25，∴⑤错误．

14．【答案】 ∃x0∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3 ．

2

【解析】解：全称命题的否定是特称命题，即为∃x0∈R，函数f（x0）=2cosx0+

2

故答案为：∃x0∈R，函数f（x0）=2cosx0+sin2x0＞3，

15．【答案】 6 ．

22

【解析】解：双曲线的方程为4x﹣9y=36，即为：

sin2x0＞3，

﹣=1，

可得a=3， 故答案为：6．

则双曲线的实轴长为2a=6．

【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．

16．【答案】

cm2 ．

，

【解析】解：如图所示，是正六棱台的一部分， 取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1， 则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形． 根据正六棱台的性质得OC=∴CC1=

=

，O1C1=．

=

侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．

又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm． ∴正六棱台的侧面积：

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S===

2

（cm）．

．

故答案为： cm2．

【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

17．【答案】 （﹣1，﹣1） ．

【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1， 即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1）， 故答案为：（﹣1，﹣1）．

18．【答案】 6

【解析】解：根据题意，得； ∵f（2x）=2f（x）， ∴f（34）=2f（17） =4f（=16f（

）=8f（）；

）

又∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|， ∴f（

）=1﹣|

﹣3|=，

∴f（2x）=16×=2；

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当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|≤1，不存在； 当4≤x≤8时，f（x）=2f（）=2[1﹣|﹣3|]=2， 解得x=6； 故答案为：6．

【点评】本题考查了根据函数的解析式求函数值以及根据函数值求对应自变量的最小值的应用问题，是基础题目．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）曲线由（Ⅱ）射线射线所以

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得： 10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1， 解得a=0.03．

（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：

=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．

（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B， 数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F， 若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生， 则所有的基本事件有：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E）， （B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个， 如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内， 则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，

则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，

所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=

．

22

为参数）可化为普通方程：（x﹣1）+y=1，

22

可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ（1+sinθ）=2．

与曲线C1的交点A的极径为与曲线C2的交点B的极径满足

．

， ，解得

，

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【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图和列举法的合理运用．

21．【答案】

【解析】（1）证明：如图， ∵点E，F分别为CD，PD的中点， ∴EF∥PC．

∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 又ABCD是矩形，∴CD⊥AD， ∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD． ∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．

∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD． 又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC． ∵EF⊂平面PDC， ∴AF⊥EF．

【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

22．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2=sinx﹣2=sinx+

×cosx﹣）﹣

=2π；

sin2

=2sin（x+

∴f（x）的最小正周期T=（2）∵x∈[0，∴x+

∈[

]，

，π]，

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∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+

]上的最小值为：﹣

）﹣．

∈[﹣，2﹣

]，

∴可解得f（x）在区间[0，

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．

23．【答案】

2

【解析】解：（I）∵sinB=2sinAsinC， 由正弦定理可得：

2

代入可得（bk）=2ak•ck， 2

∴b=2ac，

＞0，

∵a=b，∴a=2c， 由余弦定理可得：cosB=

2

（II）由（I）可得：b=2ac，

==．

∵B=90°，且a=∴S△ABC=

，

．

222

∴a+c=b=2ac，解得a=c=

=1．

24．【答案】

【解析】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD． 又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD 所以直线EF∥平面PCD．

（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．

所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD． 因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD． 又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．

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【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．

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