高考二轮复习数学知识点专项练习：三角函数(1)

真题试做

π

x＋的值域为( )． 1．(2012·湖南高考，理6)函数f(x)＝sin x－cos6A．[－2,2] B．[－3，3]

33C．[－1,1] D．－，

22

2．(2012·大纲全国高考，理14)当函数y＝sin x－3cos x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.

A

3Acos x，cos 2x(A＞0)，函3．(2012·山东高考，理17)已知向量m＝(sin x,1)，n＝2数f(x)＝m·n的最大值为6.

(1)求A；

π

(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来12

5π1

0，上的值域． 的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在242

π

ωx－sin ωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0. 4．(2012·重庆高考，理18)设f(x)＝4cos6

(1)求函数y＝f(x)的值域；

3ππ

－，上为增函数，求ω的最大值． (2)若f(x)在区间22考向分析

三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容，主要从以下三个方面进行考查： 1．三角函数的概念与诱导公式，以选择题、填空题的形式为主．

2．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题，以选择题、填空题的形式为主，有时也会出现大题．

3．三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性质；或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质，既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题．

热点例析

热点一 三角函数的概念 【例１】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )．

4334A．－ B．－ C． D． 5555

规律方法 当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线固定时，通常先根据任意角三角函数的定义求这个角的三角函数．

特别提醒：(1)当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，根据定义求三角函数值时，要把这条直线看做两条射线，分别求解．

(2)在利用诱导公式和同角三角函数关系式时，一定要特别注意符号，要理解“奇变偶不变，符号看象限”的意思；同角三角函数的平方关系中，开方后的符号要根据角所在的象限确定．

变式训练1 (2012·福建莆田高三质检，11)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的

3

正半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标是－，若α∈(0，π)，则tan α＝__________.

5热点二 三角函数图象及解析式

【例２】如图，根据函数的图象，求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的解析式．

规律方法 由部分图象确定解析式问题解决的关键在于确定参数A，ω，φ，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)一般可由图象上的最大值、最小值来

2π

确定|A|，或代入点的坐标解A的方程；(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.可

|ω|

T

通过已知曲线与x轴的交点确定周期T，或者相邻的两个最高点与最低点之间的距离为；

2相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T；(3)从寻找五点法中的第一零点(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，或者在五点中找两个特殊点列方程组解出φ.(4)代入点的坐标，通过解三角方程，再结合图象确定ω，φ.

特别提醒：求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，最难的是求φ，第一零点常常用来求φ，只要找准第一零点的横坐标，列方程就能求出φ.若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，可用诱导公式变换，使其符合要求．

变式训练2 (2012·福建泉州质检，8)右图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一部分，则其函数解析式是( )．

ππ

x＋ B．y＝sinx－ A．y＝sin33ππ2x＋ D．y＝sin2x－ C．y＝sin66热点三 三角函数图象变换

【例３】(2012·四川绵阳高三三诊，10)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋

π

A>0，ω>0，|φ|<，x∈R在一个周期内的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可由函数y＝φ)2cos x的图象(纵坐标不变)( )．

1π

A．先把各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位

261π

B．先把各点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位

212

π

C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位

6π

D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位

12规律方法 图象变换理论： (1)平移变换

①沿x轴平移，按“左加右减”法则； ②沿y轴平移，按“上加下减”法则； (2)伸缩变换

1

①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的(纵坐标y不变)；

ω②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)为原来的A倍(横坐标x不变)． 特别提醒：对于图象的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x或在y的基础上改变了多少，尤其当x与y前的系数不为1时一定要将系数提出来再判断．

π

2x＋的图象，只需将y＝sin 2x的图象( )． 变式训练3 要得到y＝cos3

5π5π

A．向左平移 B．向右平移 12125π5π

C．向左平移 D．向右平移 66

热点四 三角函数图象与性质综合应用

【例４】(2012·上海浦东新区模拟，19)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x. (1)求函数f(x)的单调递增区间；

π

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝1

4的解．

规律方法 求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值、单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A＞0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质．

有关常用结论与技巧：

(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的单调区间时一定要注意ω的取值情况，若ω＜0，则最好用诱导公式转化为－ω＞0后再去求解，否则极易出错．

π

(2)①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；

2

π

②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；

2③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．

(3)对y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A＞0，ω≠0)结合函数图象可观察出如下几点：

①函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点；

②相邻两个对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期； ③图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期．

ωxπ变式训练4 (2012·重庆高三模拟，17)已知函数f(x)＝4sin ωxsin22＋4＋cos 2ωx，其中ω＞0.

(1)当ω＝1时，求函数f(x)的最小正周期；

π2π

－，上是增函数，求ω的取值范围． (2)若函数f(x)在区间23

思想渗透

整体代换思想——三角函数性质问题

(1)求函数的对称轴、对称中心； (2)求函数的单调区间． 求解时主要方法为：

(1)关于函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的对称性，一般可利用正弦曲线、余弦曲线的对称性，把ωx＋φ看成x，整体代换求得．

(2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A＞0，ω≠0)的单调区间的步骤如下：

ππ

①若ω＞0，把ωx＋φ看成一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解得x的集合，

22

π3π

所得区间即为单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解得x的集合，所得区间即

22为单调递减区间．

②若ω＜0，可先用诱导公式变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间为原函数的单调递增区间．

π1

x＋，g(x)＝1＋sin 2x. 【典型例题】已知函数f(x)＝cos2122

(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；

(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．

12x＋π. 解：(1)由题设知f(x)＝1＋cos62因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，

ππ

所以2x0＋＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－(k∈Z)．

66

π11

kπ－. 所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin622π113－＝1－＝； 当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin26441π15

当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝.

2412x＋π＋1＋1sin 2x (2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝1＋cos622

12x＋π＋sin 2x＋3 ＝cos6221331

＝cos 2x＋sin 2x＋ 2222

π31

2x＋＋. ＝sin322πππ5ππ

当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，

2321212

π31

2x＋＋是增函数． 函数h(x)＝sin322

5ππ

kπ－，kπ＋(k∈Z)． 故函数h(x)的单调递增区间是1212

π

x－的图象上各点的横坐标伸长到原来的21．(2012·山东青岛一模，8)将函数y＝cos3π

倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )．

6

ππ

A．x＝ B．x＝ 98

π

C．x＝π D．x＝ 2

π

A>0，ω>0，|φ|<在一个周期内的2．(2012·湖北孝感二模，8)若函数y＝Asin(ωx＋φ)2

ON0，图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·则A·ω＝( )．

A．

77π7

π B．π C． D．π 61263

π

x∈R，ω>0，|φ|<的3．(2012·天津宝坻质检，4)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)2最小正周期为π，且f(x)－f(－x)＝0，则( )．

π

0，上是增函数 A．f(x)在2π

0，上是减函数 B．f(x)在2ππ

－，上是增函数 C．f(x)在44ππ

－，上是减函数 D．f(x)在444．(2012·湖北武汉4月调研，7)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分图象如图所示，则f(0)＝( )．

13

A．－ B．－1 C．－ D．－3

22

5．已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m)(m＜0)是角α终边

上一点，则2sin α＋cos α＝________.

11

6．(原创题)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是__________．

22

31

7．已知函数y＝a－bcos 3x(b＞0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4asin 3bx

22的最大值和最小值．

π

A>0，ω>0，|φ|<的图象的一部分如图所示． 8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)2

(1)求函数f(x)的解析式；

2

－6，－时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值． (2)当x∈3

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