抛物线专题(附答案)

抛物线专题

考点1 抛物线的定义

题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

1.已知点P在抛物线y= 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

【[解析]过点P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，PQPFPQPR，当P点为抛物线与垂线l的交点时，PQPR取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3

2. 已知点A(3,4),F是抛物线y8x的焦点,M是抛物线上的动点,当MAMF最小时, M点坐标是 ( )

A. (0,0) B. (3,26) C. (2,4) D. (3,26)

[解析] 设M到准线的距离为MK,则|MA|MF|MAMK，当MAMK最小时，M点坐标是(2,4)，选C 考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程

3.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上

【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.

[解析] (1)设所求的抛物线的方程为y2px或x2py(p0), ∵过点(-3,2) ∴42p(3)或92p2 ∴p ∴抛物线方程为y2222

229或p 34491x或x2y,前者的准线方程是x,后者的准线方程为3239y

8 (2)令x0得y2，令y0得x4，

∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,2p4, 2p2 2 ∴p8，此时抛物线方程y16x;焦点为(0,-2)时 ∴p4，此时抛物线方程x8y.

2

∴所求抛物线方程为y216x或x28y,对应的准线方程分别是x4,y2. 4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） [解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.

5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且|AM|17,|AF|3，求此抛物线的方程

[解析] 设点A'是点A在准线上的射影，则|AA'|3，由勾股定理知|MA'|22，点A的横坐标为(22,32

p)，代入方程x22py得p2或4，抛物线的方程x24y或x28y 2考点3 抛物线的几何性质

题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 6.设A、B为抛物线y标为__________.

【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置

22px上的点,且AOB90(O为原点),则直线AB必过的定点坐

ykx2p2p) ［解析］设直线OA方程为ykx,由2解出A点坐标为(2,kky2px1k(x2pk2)yx2,令k解出B点坐标为(2pk,2pk)，直线AB方程为y2pk21ky22pxy0得x2p，直线AB必过的定点(2p,0)

【指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用1换k而得。 k2基础巩固训练

1.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线x4y上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 （ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

[解析] B 利用抛物线的定义，点P到准线y1的距离为5，故点P的纵坐标为4． 2.如果P„，P8是抛物线y4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，„，x8，1，P2，

2

F是抛物线的焦点，若x1,x2,,xn(nN)成等差数列且x1x2x945，则|P5F|=（ ）．

A．5 B．6 C． 7 D．9 [解析]B 根据抛物线的定义，可知PFxiipxi1（i1，2，„„，n），2x1,x2,,xn(nN)成等差数列且x1x2x945,x55,|P5F|=6

3、抛物线y4x的焦点为F,准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）

A．33

B．43 C．63 D．83

2[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设A(m,n)，则

AFABm1,FHOHOFm1，m12(m1)m3,n23

四边形ABEF的面积=[2(31)]2363

124、设O是坐标原点，F是抛物线y4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向

的夹角为60，则OA为 ．

2[解析]21.

过A 作ADx轴于D，令FDm，则FA2m即2m2m，解得m2．

A(3,23)OA32(23)221

综合提高训练

5.已知抛物线C:yax（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线c上一个动点，过点P且与抛物线c相切的直线记为l．

（1）求F的坐标；（2）当点P在何处时，点F到直线l的距离最小？ 解：（1）抛物线方程为x2211y 故焦点F的坐标为(0,) a4a2（2）设P(x0,y0) 则 y0ax0

y'2ax, 在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率 k2ax0

直线l的方程是 yax02ax0(xx0)即 2ax0x －yax00

220 d12ax04a(2ax0)2(1)214a4a2x0121 . 4a

当且仅当 x00 时上式取“＝” 此时P的坐标是(0,0) 当P在(0,0)处时，焦点F到切线L的距离最小.

9x2y226.椭圆221上有一点M（-4，）在抛物线y2px（p>0）的准线l上，抛物线

5ab的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；

（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.

x2y22解：（1）∵221上的点M在抛物线y2pxab（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. ∴c=-4，p=8„„① ∵M（-4，

916811……② ）在椭圆上∴225a25b2∵abc……③∴由①②③解得：a=5、b=3

22x2y2∴椭圆为1由p=8得抛物线为y216x

259设椭圆焦点为F（4，0），由椭圆定义得|NQ|=|NF| ∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|

2=(44)(0)95241，即为所求的最小值. 5