专题06 共点力的合成与分解
【基础回顾】
考点内容:
矢量和标量；力的合成与分解。 考纲解读：
1.会用平行四边形定则、三角形法则进行力的合成与分解. 2.会用正交分解法进行力的合成与分解．
考点一 力的合成方法及合力范围的确定 1．共点力合成的方法: （1）作图法
（2）计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力．
2．合力范围的确定：
（1）两个共点力的合力范围：|F1－F2|≦F≦F1＋F2，即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2. （2）三个共点力的合成范围：
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3.
②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力和的绝对值，即Fmin＝F1－|F2＋F3|（F1为三个力中最大的力）．
特别提醒：
1.二个分力一定时，夹角θ越大，合力越小． 2.合力一定，二等大分力的夹角越大，二分力越大． 3.合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力的大小．
考点二 力的分解方法
1．力的效果分解法：
（1）根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向； （2）再根据两个实际分力的方向画出平行四边形； （3）最后由平行四边形和数学知识求出两分力的大小． 2．按问题的需要进行分解：
（1）已知合力F和两个分力的方向，可以唯一地作出力的平行四边形，对力F进行分解，其解是唯一的．
（2）已知合力F和一个分力的大小与方向，力F的分解也是唯一的． （3）已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小，对力F进行分解， 则有三种可能（F1与F的夹角为θ）．如图所示：
①F2＜Fsin θ时无解．
②F2＝Fsin θ或F2≧F时有一组解． ③Fsin θ＜F2＜F时有两组解．
考点三 正交分解法
1．定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．
2．建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则（即尽量多的力在坐标轴上）；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
3．分解方法：物体受到多个作用力F1、F2、F3…，求合力F时， 可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解，如图所示．
x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋… y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋… 合力大小：
合力方向：与x轴夹角为θ，则
【技能方法】
1、共点力的合成： （1）力的运算法则
（2）合力范围的确定：
①两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2. ②三个共点力的合成范围
最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3.
最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值为Fmin＝F1－|F2＋F3|（F1为三个力中最大的力）． （3）共点力的合成方法： ①作图法 ②计算法
（4）解答共点力的合成问题时的两点注意
（1）合成力时，要正确理解合力与分力的大小关系．合力与分力的大小关系要视情况而定，不能形成合力总大于分力的思维定势．
（2）三个共点力合成时，其合力的最小值不一定等于两个较小力的和与第三个较大的力之差．
2、下表是高中阶段常见的按效果分解力的情形.
3、力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法，
一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以
上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定．
（1）力的正交分解是在物体受三个或三个以上的 共点力作用下求合力的一种方法，分解的目的是为了更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算． （2）一般情况下，应用正交分解法建立坐标系时，应尽量使所求量（或未知量）“落”在坐标轴上，这样解方程较简单．
【基础达标】
1．如图所示，吊环运动员将吊绳与竖直方向分开相同的角度，重力大小为G的运动员静止时，左边绳子张力为T1，右边绳子张力为T2。则下列说法正确的是（ ）
A．T1和T2是一对作用力与反作用力
B．运动员两手缓慢撑开时，T1和 T2都会变小 C．T2一定大于G D．T1+ T2=G
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▼
【答案】B 【解析】
T1和 T2是两边绳子作用在吊环上的力，不是一对作用力与反作用
力，选项A错误；因T1和T2的合力等于G，故当运动员两手缓慢撑开时，绳子与竖直方向的夹角减小，故T1和T2都会变小，选项B正确；因绳子与竖直方向的夹角不确定，故T2与G 的关系不能确定，选项C错误；T1和T2的矢量和等于G，故T1+ T2=G只在当绳子与竖直方向夹角为零时才是成立的，选项D错误；故选B.
2．小物块P沿光滑半圆曲面下滑，从a点下滑到最低点b的过程中，其重力G的切向分量为G1，如图所示G1的大小变化情况正确的是：（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
(点击空白处查看内容)
▼
【答案】B 【解析】
设物块与圆心连线与竖直方向的夹角为θ，则G1=Gsinθ，则随着物块的下滑，θ减小，sinθ减小，故G1逐渐减小，故选B.
3．如图所示，一轻杆水平放置，杆两端A、B系着不可伸长且光滑的柔软轻绳 ，绳上套着一小铁环。现将轻杆绕着杆中点O在竖直平面内顺时针缓慢转过一个角度，关于轻绳对杆端点A、B的拉力FA、FB，下列说法正确的是：（ ）
A. FA变大，FB变小 B. FA变大，FB变大 C. FA变小．FB变小 D. FA不变．FB不变 【答案】C 【解析】
如图，设绳子长度为2L，AB的长度是2L，AB水平时绳子与水平方向夹角为a，平衡时两根绳子的拉力相等，设绳子拉力为F1，有：2F1sina-mg=0，解得：
，由图可知：
将轻杆绕着O点在竖直平面内顺时针
缓慢转过一个角度时，绳子与水平方向的夹角为θ，平衡时两根绳子的拉力仍然相等，设绳子拉力为F2，则有：2F2sinθ-mg=0，联立解得：
设此时环到A的距离为L1，到B的距离为L2，则L1+L2=2L。而由图可知，
，故θ＞a结合以上分析可得：
F’A=F’B＜FA=FB，C正确。
。
4．粗细均匀的电线架在A、B两根电线杆之问。由于热胀冷缩。电线在夏、冬两季呈现如图所示的两种形状，若电线杆始终处于竖直状态，下列说法中正确的是：（ ）
A．冬季，电线对电线杆的拉力较大 B．夏季，电线对电线杆的拉力较大
C．夏季与冬季，电线对电线杆的拉力一样大 D．夏季，电线杆对地的压力较大 【答案】A 【解析】
对于电线，重心在最低点，受力分析如下图所示。
由共点力的平衡条件知，2Fcodθ=Mg，由于夏天气温较高，电线因长度膨胀而使夹角θ变小，F变小，而电线的质量一定，整体受力平衡，故夏季、冬季杆对地面的压力相等，选项A正确。
5．如图所示，拉B物的轻绳与竖直方向成60°角，O为一定滑轮，物体A与B间用跨过定滑轮的细绳相连且均保持静止，已知物体B的重力为100N，物体A的重力
为40N，绳和滑轮的摩擦及质量均不计，试求：
（1）物体B与水平地面间的摩擦力 （2）物体B对水平地面的压力 （3）求OP绳的拉力大小？ 【答案】（1）【解析】
（1）物体A所受的重力大小等于绳子的拉力:GA=T 对物体B受力分析如图:
（2）80N（3）
物体B与地面间的摩擦力为f,由平衡条件可知 f=Tsin60º 解得：
（2）物体B的受力平衡可得: Tcos60º+N=G 解得：N=80N
由牛顿第三定律：F压=N=80N
（3）对滑轮受力分析如图:
OP的拉力为TP，连接物体A.B的绳子拉力相等，由几何关系可知θ=30° 由力的合成可得Tp=2Tcosθ 解得：
【能力提升】
1．竖直放置的П形支架上，一根不可伸长的轻绳通过轻质滑轮悬挂一重物G，现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从与A点等高的B点沿支架缓慢地向C点移动，则绳中拉力大小变化的情况是：（ ）
A.先变小后变大 B.先不变后变小 C.先不变后变大 D.先变大后变小 【答案】B 【解析】
当轻绳的右端从B点移到直杆最上端时，设两绳的夹角为2θ，若绳的总长度为a，两直杆间距为b，则由几何知识可得：
，则当轻绳的右端从B点移到直
杆最上端时，θ保持不变 以滑轮为研究对象，分析受力情况，根据平衡条件得 2Fcosθ=mg，所以在轻绳的右端从B点移到直杆最上端时的过程中，F不变 当轻绳的右端从直杆最上端移到C点时，设两绳的夹角逐渐减小，由2Fcosα=mg可知F变小；故选项B正确；故选B.
2．如图所示，斜面上放有两个完全相同的物体a、b，两物体间用一根细线连接，在细线的中点加一与斜面垂直的拉力F，使两物体均处于静止状态。则下列说法正确的是：（ ）
A.a、b两物体的受力个数一定相同 B.a、b两物体对斜面的压力相同
C.a、b两物体受到的摩擦力大小一定相等 D.当逐渐增大拉力F时，物体b先开始滑动 【答案】B 【解析】
对ab进行受力分析，如图所示：
b物体处于静止状态，当绳子沿斜面向上的分量与重力沿斜面向下的分量相等时，摩擦力为零，b的摩擦力可以为零，而a的摩擦力一定不为零，所以b可能只受3个力作用，而a物体必定受到摩擦力作用，肯定受4个力作用，故A错误；ab两个物体，垂直于斜面方向受力都平衡，则有：N+Tsinθ=mgcosθ，解得N=mgcosθ-Tsinθ，则a、b两物体对斜面的压力相同，故B正确；对a分析沿斜面方向有：Tcosθ+mgsinθ=fa，对b分析沿斜面方向有：Tcosθ+mgsinθ=fb，正压力相等，所以最大静摩擦力相等，则a先达到最大静摩擦力，先滑动，故D错误。
3．（多选）一铁架台放在水平地面上，其上用轻质细线悬挂一小球，开始时细线竖直。现将水平F作用于小球上，使其缓慢地由实线位置运动到虚线位置，铁架台始终保持静止。则在这一过程中：（ ）
A．水平拉力F变大 B．细线的拉力不变
C．铁架台对地面的压力变大 D．铁架台所受地面的摩擦力变大 【答案】AD 【解析】
对小球受力分析，如图所示：
根据共点力平衡条件，有：F=mgtanθ，θ增大，水平拉力F变大，选项A正确；
增大，选项B错误；对于整体来说，铁架台对地面的压力等于总重力不
变，选项C错误；F=f，f变大，选项D正确。
4．如图所示，将一个已知力F分解为F1、 F2，已知F=10N ， F1与F的夹角为37º，则F2的大小不可能是：（sin37º=0．6，cos37º=0．8）：（ ）
A．4N B．6N C．10N D．100N 【答案】A 【解析】
根据力的合成分解三角形定则可知F2的最小值为当F2的方向与F1垂直时，由几何关系可得F2的最小值为F2=Fsin37º=10×0.6=6（N），由此可知A项中F2的大小不可能出现，故应选A。
5．如图所示，斜面倾角为θ=37º，在斜面上放着一重为100N的物体，问：
（1）重力沿斜面下滑方向的分力多大？
（2）重力沿斜面垂直方向的分力有多大？物体对斜面的压力有多大？ （3）如果物体静止不动，那么物体受到的摩擦力多大？方向如何？
（4）如果物体和斜面间的动摩擦因数为0.2，那么让物体下滑，在下滑过程中物体受到的摩擦力多大？（sin37º=0.6cos37º=0.8）
【答案】（1）60N；（2）80N；80N；（3）60N，方向沿斜面向上；（4）16N 【解析】
（1）如图，将重力分解，作出分解图如图．
则有F1=Gsin37º=60N，
（2）F2=Gsin37º=80N，物体对斜面的压力FNF2=Gsin37º=80N
（3）如果物体静止不动，根据平衡条件得物体受到的摩擦力 ，方向沿斜面向上，
（4）物体在下滑过程中物体受到的滑动摩擦力 f1=μFN=μF2=μGcos37º=0.2×100×0.8=16N、
【终极闯关】
1、【2015•广东•19】（多选）如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同，下列说法正确的有：（ ）
A．三条绳中的张力都相等 B．杆对地面的压力大于自身重力
C．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零 D．绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力.
【答案】BC 【解析】
因为杆静止，受力平衡，所以在水平、竖直面内的合力分别为零，故选项C正确；由于三条绳长度不同，因此三条绳与直杆间夹角不同，若三条绳中的张力都相等，在同一水平面内的分量因夹角不同而不同，所以水平面内杆受力不能平衡，故选项A错误；又因绳中拉力在竖直方向的分量均竖直向下，所以地面对杆的支持力大于杆的重力，根据牛顿第三定律可知，杆对地面的压力大于自身重力，故选项B正确；绳子拉力的合力与杆自身重力无关，属于杆受到的外力，在竖直方向上，它们的总合力与地面对杆的支持力为平衡力，故选项D错误。
2、【2014•山东卷】如图，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千。某次维修时将两轻绳剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变。木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木反拉力的大小，则维修后：（ ）
A．F1不变，F2变大 B．F1不变，F2变小 C．F1变大，F2变大 D．F1变小，F2变小 【答案】A 【解析】
前后两次木板始终处于静止状态，因此前后两次木板所受合力F1都等于零，保持不变，C、D错误；绳子剪去一段后长度变短，悬挂木板时绳子与竖直方向夹角 变大，将力沿水平方向和竖直方向正交分解，在竖直方向上，2F2cosθ=mg，而物体的重力不变，因此单根绳的拉力F2变大，A正确，B错误。
3、【2014•上海卷】如图，光滑的四分之一圆弧轨道A、B固定在竖直平面内，A端与水平面相切，穿在轨道上的小球在拉力F的作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为N。在运动过程中：（ ）
（A）F增大，N减小 （B）F减小，N减小 （C）F增大，N增大 （D）F减小，N增大 【答案】A 【解析】
受力分析如下图，设小球所在位置的半径与竖直方向夹角为α，沿半径和切线方向对受力进行正交分解，小球缓慢运动，两个方向均受力平衡，所以半径方向N=Gcosα，切线方向F=Gsinα，随小球缓慢移动，α逐渐变大，N变小，F增大，选项A对。
4、（2013•广东卷）（多选）如图所示，物体P静止于固定的斜面上，P的上表面水平。现把物体Q轻轻地叠放在P上，则：（ ）
A．P向下滑动 B．P静止不动
C．P所受的合外力增大 D．P与斜面间的静摩擦力增大 【答案】 BD 【解析】
由于物体Q轻轻地叠放在P上，相当于增大物体P重力，整体法分析受力知，P仍静止不动，P与斜面间的静摩擦力增大，故B、D正确。
